摘要
本次课程设计是研究一阶带阻滤波器，以U0为响应，求频率响应函数，画出其幅频特性和相频特性曲线。首先，通过对滤波器背景理论的学习与理解，对设计题目进行分析并做出了数学模型，然后借助Matlab软件，画出题目所要求的幅频、相频图，并通过调整和设计参数画出了比较合理的图形。在设计中，我深刻理解到了滤波器的工作原理，而且发现理想和实际中的曲线有不小差距，与此同时，也熟练了Matlab的相关操作和应用，对信号理论和RLC串联谐振有了更新的认识。
最后，本文对此次课程设计中的收获和体会进行了总结。
关键词：滤波器 幅频 相频 Matlab 串联谐振
一阶无源带阻滤波器的分析和设计
1设计相关理论
1.1串联谐振电路
电路频率响应的最重要的特征是其在幅度特性上所呈现的峰值点（或尖峰点、谐振峰值点）。谐振的概念应用于科学和工程的多个领域之中。任何有复共轭极点对的系统都会产生谐振，这是振荡产生的根源。谐振峰值的现象用在通信网络中可以进行频率识别。在至少有一个电容和一个电感的任何电路中都可能产生储能由一种形式到另一种形式转换的谐振振荡。
谐振是RLC电路中的一种状态，该电路中电容和电感的电抗大小是相等的，结果呈现出纯电阻的阻抗性质。
串联或并联谐振电路的传递函数有很高的频率选择性，所以在设计和制作滤波器过程中是很有用的，其他许多应用中包括收音机的选台和电视机的选频道等。
1.1.1电路模型分析
考虑如图1.1.11所示的串联RLC频率电路。
图1.1.11
其输入阻抗是：
Z=H ω =
VS1
=R+jωL+ 1
Z=R+j ωL−
ωC
1.1.2电路谐振条件
若传递函数的虚部为零，则产生谐振，即：
Im Z =ωL−
1
ωC
=0
满足上述条件的值称为谐振频率，因此谐振的条件是：
ω0L=ω0=
又因
ω0=2πf0，
所以：
f0=
在谐振条件下，有：
1、阻抗是纯电阻Z=R。换言之，LC的串联组合相当于短路，整个电压都加在电阻R上。 2、电压VS和电流I是同相的，所以功率因数为1。 3、传递函数H ω =Z ω ，其量值最小。
4、电感上电压和电容上的电压可能比原电压高得多。 可由下列关系证实：
VL = VC =
式中Q是品质因数。
Vm
ωL=QVm 0
Vm1
= QVm
ω011 ω0C
1Hz
1.1.3电路频率响应
RLC电路的电流的频率响应是：
I= I =
V R2+ ωL−其图形如图1.1.31所示。
图1.1.31
该图说明了频率轴为对数坐标时的I大小的对称特性。
1.1.4电路品质因数
RLC电路所消耗的平均功率是：
P ω =
谐振频率时，
I=
电路消耗最大功率是：
P ω0 =
1Vm22
VmR
12IR
令ω=ω1，ω2时，消耗的功率是最大功率的一半，即：
Vm/ Vm2
P ω1 =P ω2 ==24则称ω1，ω2为半功率（点）频率。 半功率频率可以通过令Z= 求得，即：
R+ ωL−
2
2
1
2
=
解ω，得到：
RR1
ω1=−+ +
RR1ω2=+ +
由此可以得到半功率点频率与谐振频率的关系是：
ω0= 12
即谐振频率是半功率频率的几何平均值。一般来讲，频率响应并不对称于谐振频率，所以ω1，ω2也不是对称于ω0的。但是，认为半功率点频率对称于谐振频率是一个比较合理的近似。
图1.1.31中谐振曲线的峰值取决于电阻R，而该曲线的宽度取决于其频带宽度B，带宽定义为两个半功率点频率之差：
B=ω2−ω1
这种频带宽度的定义是几种常用的定义之一。严格地说，上式所定义的带宽称为半功率带宽，是半功率点频率之间的谐振曲线的频带宽度。
谐振曲线的“锐度”用品质因数Q这个量来度量。电路谐振时，电路中的电抗能量在电感和电容之间来回振荡。因质因数将电路储存的最大（峰值）能量与每振荡一个周期所消耗的能量间的关系连系起来，定义为：
Q=2π∙
电路存储的峰值能量振荡一个周期电路所消耗的能量
品质因数也是电路中储能的性能与耗能性能之间关系的一个度量。在串联RLC电路中，储能的峰值是LI2/2，一个周期的耗能是： I2R /2f，所以：
Q=2π12
LI=2πfL
I2R 1/f
R
或
Q=
ω0L1
=Rω0CR
品质因数是无量纲的值，带宽B和品质因数Q之间的关系由将式代入，并利用式关系得到：
B=
Rω0
=LQ
或者
B=ω02CR
谐振电路的品质因数是其谐振频率与带宽之比。 注：上述公式
ω0=
/s
RR1
ω1=−+ +
RR1
ω2=++ Q=
ω0L1
= ω0Rω0B==只适用于RLC串联电路。
图1.1.41 电路的Q值越高，其带宽越小
如图1.1.41所示，Q值越高，电路的频率选择性越强，
而其频带也越窄。RLC电路的选频特性是电路对每个频率的响应，并排除其它频率的一种能力，如果要选用或要排斥的
频带很窄，品质因数必须很高，反之若频带较宽，则谐振电路的品质因数应该低一些。
品质因数也是电路电路性（或谐振“锐度”）的一个度量。
通常谐振电路总是工作在其谐振频率处或其邻近处，当电路的品质因数等于或大于10时，称为高Q电路。在高Q电路（Q≥10）的所有实际应用中，其半功率频率都可认为是对称于谐振频率的且可挖地按下式表示：
BB
ω1≈ω0−,ω2≈ω0+高Q电路经常在通信网络中使用。
综上所述，谐振电路可以用以下五个相关的参数来表征：两个半功率点的频率ω1和ω2，谐振频率ω0，带宽B和品质因数Q。
1.2无源滤波器
滤波器的概念从开始就一直是电子工程进展中的一个主要组成部分，没有电子滤波器的参与，某些技术成果将是不可能的。
滤波器是一个被精心设计的电路，它只允许一些特定频率的信号通过，而阻止或衰减其他频率的信号。
作为一个频率选择装置，滤波器可以用来将信号的频谱限制在某个指定的频带宽度范围内，在无线电接收机和电视机中，从空间许许多多广播信号中选出所需要的信号频道所用的电路就是滤波器。
如果滤波器电路的组成元件只有无源元件R，L和C，则称为无源滤波器；如果除了无源元件R，L和C外，还有有源器件（例如晶体管、运算放大器等），则称为有源滤波器。本文讨论无源滤波器。
1.2.1低通滤波器
低通滤波器是只通过从直流到截止频率ω0的滤波器。一个RC电路取其电容器上的电压作为输出，就构成一个典型的低通滤波器。一个RL电路以电阻两端作为输出也构成了一个低通滤波器。
1.2.2高通滤波器
高通滤波器是通过所有高于其截止频率ω0的滤波器。一个RC电路以电阻两端作为输出，
就构成了一个高通滤波器。若RL电路以电感两端作为输出也构成了一个高通滤波器。
1.2.3带通滤波器
带通滤波器是通过频带（ω1
两端为输出，就是一个带通滤波器。
1.2.4带阻滤波器
一个滤波器阻止两个指定值（ω1和ω2）之间的频带通过，则称之为带阻滤波器、带止滤波器或陷波器。当一个串联RLC谐振电路取其LC串联的组合为输出时，即构成了带阻滤波器。
图1.2.41
0(t)
如图1.2.41所示，其传递函数是：
H ω =
由式可见：
H 0 =1，H ∞ =1。
图1.2.42所示为|H ω |的幅频特性，其中心频率为：
ω0=
u0j ωL−1/ωC
=
uiR+jωL−1/ωC
1
同样，滤波器的半功率频率、带宽和品质因数，仍然可以用上述串联谐振电路的公式来计算，例如：
RR1
ω1=−+ +
RR1ω2=+ +
B=
Rω0
=LQ
这里的ω0称为抑制频率，而对应的带宽 B=ω2−ω1 称为抑制带宽。 带阻滤波器是抑制或消除在频率ω1
注意：对于相同R，L和C值的带通滤波器的传递函数与带阻滤波器的传递函数相加得到的结果是在任何频率下都为1。这是因为这两个电路其中一个电路的特性是另一个的反特性，当然，一般情况下，上述结果是不成立的。
无源滤波器的最大增益是1，要想得到大于1的增益，应该用有源滤波器。
2设计内容
本次课程设计的内容是研究一阶带阻滤波器。如图2.1，以U0为响应，求频率响应函数，画出其幅频响应（幅频特性）|H ω |和相频的响应（相频特性）θ(ω)。
图2.1
0(t)
2.1原理分析
如图2.1，一个串联RLC谐振电路取其LC串联的组合作为输出，构成了带阻滤波器，其传递函数，即频率响应函数是：
H ω =
中心频率为：
ω0=
带宽B和品质因数Q之间的关系：
B=
Rω0
=1u0j ωL−1/ωC =i2.2数学建模
频率响应函数：
u0j ωL−1/ωC
H ω ==i令x=ωL−ωC，则：
jxjRx+x2
H ω ==
R+jxR+xx2Rx=+jR+xR+x于是，有：
22
xRx
H ω 2= + R+xR+x
2
1
x2(R2+x2)
=故其幅频响应（幅频特性）为：
H ω =
x
R+x
=
1ωL− R2+ ωL−相频响应（相频特性）：
R−1 θω=tan
R−1
=tanωL−2.3参数推导
经过反复尝试和推算，分析得出当R=1Ω，L=10mH，C=10μF时得出的曲线是比较合理的。由：
RR21
ω1=−+ +RR21ω2=+ +2L2LLC
求得半功率点频率：