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2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式：
·如果事件A ，B 互斥，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B ) ．
·棱柱的体积公式V =Sh . 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高． ·球的体积公式V =
43
πR . 其中R 表示球的半径. 3
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合A ={1,2,6},B ={2,4},C ={1,2,3,4}，则(A B ) C = （A ）{2}（B ）{1, 2, 4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{1,2,3,4,6} （2）设x ∈R ，则“2-x ≥0”是“|x -1|≤1”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件
（3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫. 从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 （A ）
4231（B ）（C ）（D ） 5555
（4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为
（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3
x 2y 2
（5）已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF
a b
是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为
x 2y 2x 2y 2x 2y 222
=1（B ）-=1（C ）-y =1（D ）x -=1 （A ）-
41212433
1
（6）已知奇函数f (x ) 在R 上是增函数. 若a =-f (log2), b =f (log24.1), c =f (20.8) ，则a , b , c
5
的大小关系为
（A ）a
2π211π111π17π（A ）ω=, ϕ=（B ）ω=, ϕ=-（C ）ω=, ϕ=-（D ）ω=, ϕ=
[1**********]4
5π11π
) =2, f () =0, 且f (x ) 的88
⎧|x |+2, x
x ⎪
f (x ) ≥|+a |在R 上恒成立，a ∈R （8）已知函数f (x ) =⎨设，若关于的不等式x 2
2x +, x ≥1. ⎪x ⎩
则a 的取值范围是
（A ）[-2,2]（B
）[-（C
）[-（D
）[-
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共12小题，共110分。
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若
a -i
为实数，则a 的值为 . 2+i
（10）已知a ∈R ，设函数f (x ) =ax -ln x 的图象在点（1，f (1)）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 .
（11）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .
（12）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，学 科&网准线为l . 已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A . 若∠FAC =120︒，则圆的方程为 .
a 4+4b 4+1
（13）若a ，b ∈R ，ab >0，则的最小值为 .
ab
（14）在△ABC 中，∠A =60︒，AB =3，AC =2.若BD =2DC ，AE =λAC -AB （λ∈R ），且
AD ⋅AE =-4，则λ的值为 .
三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）
在△ABC 中，内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c . 已知a sin A =
4b sin B ，ac =a 2-b 2-c 2) . （I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2B -A ) 的值. （16）（本小题满分13分）
电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告. 已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍. 分别用x ，学&科网y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
（I ）用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？ （17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD =1，BC =3，
CD =4，PD =2.
（I ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； （II ）求证：PD ⊥平面PBC ；
（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.
（18）（本小题满分13分）
已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *) ，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，
b 2+b 3=12, b 3=a 4-2a 1, S 11=11b 4. （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *) . （19）（本小题满分14分）
设a , b ∈R ，|a |≤1. 已知函数f (x ) =x 3-6x 2-3a (a -4) x +b ，g (x ) =e x f (x ) . （Ⅰ）求f (x ) 的单调区间；
（Ⅱ）已知函数y =g (x ) 和y =e x 的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线， （i ）求证：f (x ) 在x =x 0处的导数等于0；
（ii ）若关于x 的不等式g (x ) ≤e x 在区间[x 0-1, x 0+1]上恒成立，求b 的取值范围. （20）（本小题满分14分）
x 2y 2
已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F (-c , 0) ，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,c ) ，
a b b 2
△EFA 的面积为.
2
（I ）求椭圆的离心率；
（II ）设点Q 在线段AE 上，|FQ |=
3
c ，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴2
上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c . （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程.
2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）答案
（1）B （2）B （3）C （4）C
（5）D （6）C （7）A
（8）A （9）−2
（10）1
（11）
9π2
（12
）(x +1) 2+(y 2=1
（13）4
（14）
311
（15）（Ⅰ）解：由a sin A =4b sin B ，及
a sin A =b
sin B
，得a =2b .
222
由ac =a 2-b 2-
c 2) ，及余弦定理，得cos A =b +c -a
=
2bc
ac =.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sin A =
5
，代入a sin A =
4b sin B ，得sin B =a sin A 4b =
5. 由（Ⅰ）知，A
为钝角，所以cos B ==
于是sin 2B =2sin B cos B =45，
cos 2B =1-2sin 2B =
3
5
，故
sin(2B -A ) =sin 2B cos A -cos 2B sin A =45⨯(3-5=⎧⎪70x +60y ≤600, ⎧7x +6y ≤60,
5x +5y ≥30, ⎪x +y ≥16. （Ⅰ）解：由已知，x , y 满足的数学关系式为⎪⎪⎪⎨x ≤2y , 即⎪
6, ⎨x -2y ≤0,
⎪⎪x ≥0, ⎪x ≥⎪y ≥0, ⎪0, ⎩⎪⎩y ≥0, 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：
（Ⅱ）解：设总收视人次为z 万，则目标函数为z =60x +25y . 考虑z =60x +25y ，将它变形为y =-线.
12z 12x +，这是斜率为-，随z 变化的一族平行直5255
z z
为直线在y 轴上的截距，当取得最大值时，z 的值最大. 又因为x , y 满足约束条件，2525
z
最大，即z 最大. 25
所以由图2可知，当直线z =60x +25y 经过可行域上的点M 时，截距
⎧7x +6y =60,
解方程组⎨得点M 的坐标为(6,3).
⎩x -2y =0,
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
（17）本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识. 考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力. 满分13分.
（Ⅰ）解：如图，由已知AD //BC ，学|科网故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角. 因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD . 在Rt △PDA
中，由已知，得AP =
故cos ∠DAP =
AD =. AP
所以，异面直线AP 与BC
（Ⅱ）证明：因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD . 又因为BC //AD ，所
以PD ⊥BC ，又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PB C.
（Ⅲ）解：过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角.
因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角.
由于AD //BC ，DF //AB ，故BF =AD =1，由已知，得CF =BC –BF =2.又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，在Rt △DCF
中，可得DF =在Rt △DPF
中，可得sin ∠DFP =所以，直线AB 与平面PBC
PD =. DF 18. （Ⅰ）解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2+b 3=12，得
b 1(q +q 2) =12，而b 1=2，所以q 2+q -6=0. 又因为q >0，解得q =2. 所以，b n =2n .
由b 3=a 4-2a 1，可得3d -a 1=8①. 由S 11=11b 4，可得a 1+5d =16②，联立①②，解得，由此可得a n =3n -2. a 1=1, d =3
所以，{a n }的通项公式为a n =3n -2，{b n }的通项公式为b n =2n . （Ⅱ）解：设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n ，由a 2n =6n -2，有
T n =4⨯2+10⨯22+16⨯23+ +(6n -2) ⨯2n ，
2T n =4⨯22+10⨯23+16⨯24+ +(6n -8) ⨯2n +(6n -2) ⨯2n +1，
上述两式相减，得-T n =4⨯2+6⨯22+6⨯23+ +6⨯2n -(6n -2) ⨯2n +1
12⨯(1-2n )
=-4-(6n -2) ⨯2n +1=-(3n -4)2n +2-16.
1-2
得T n =(3n -4)2n +2+16.
所以，数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n -4)2n +2+16. 19. 【解析】（I ）由f (x ) =x 3-6x 2-3a (a -4) x +b ，可得
f ' (x ) =3x 2-12x -3a (a -4) =3(x -a )(x -(4-a )) ，
令f ' (x ) =0，解得x =a ，或x =4-a . 由|a |≤1，得a
(a , 4-a ) .
x 0
⎧g (x ) =e ⎪0
（II ）（i ）因为g' (x ) =e x (f (x ) +f ' (x )) ，由题意知⎨， x 0
⎪⎩g' (x 0) =e x x
⎧⎧f (x 0) =1⎪f (x 0)e 0=e 0
所以⎨x ，解得. ⎨x 00
⎩f ' (x 0) =0⎪⎩e (f (x 0) +f ' (x 0)) =e
所以，f (x ) 在x =x 0处的导数等于0.
（ii ）因为g (x ) ≤e x ，x ∈[x 0-1, x 0+1]，由e x >0，可得f (x ) ≤1.
又因为f (x 0) =1，f ' (x 0) =0，故x 0为f (x ) 的极大值点，由（I ）知x 0=a . 另一方面，由于|a |≤1，故a +1
由（I ）知f (x ) 在(a -1, a ) 内单调递增，在(a , a +1) 内单调递减，
故当x 0=a 时，f (x ) ≤f (a ) =1在[a -1, a +1]上恒成立，从而g (x ) ≤e x 在[x 0-1, x 0+1]上恒成立.
由f (a ) =a 3-6a 2-3a (a -4) a +b =1，得b =2a 3-6a 2+1，-1≤a ≤1. 令t (x ) =2x 3-6x 2+1，x ∈[-1,1]，所以t' (x ) =6x 2-12x ， 令t' (x ) =0，解得x =2（舍去），或x =0.
因为t (-1) =-7，t (1)=-3，t (0)=1，故t (x ) 的值域为[-7,1]. 所以，b 的取值范围是[-7,1].
1b 2
（20）（Ⅰ）解：设椭圆的离心率为e . 由已知，可得(c +a ) c =. 又由b 2=a 2-c 2，可得
222c 2+ac -a 2=0，即2e 2+e -1=0. 又因为0
1
. 2
所以，椭圆的离心率为
1. 2
1. m
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为x =my -c (m >0) ，则直线FP 的斜率为由（Ⅰ）知a =2c ，可得直线AE 的方程为联立，可解得x =由已知|FQ |=
x y
+=1，即x +2y -2c =0，与直线FP 的方程2c c
(2m -2) c 3c (2m -2) c 3c
, y =, ) . ，即点Q 的坐标为(
m +2m +2m +2m +2
3c (2m -2) c 3c 23c 4
+c ]2+() =() 2，整理得3m 2-4m =0，所以m =，即，有[
2m +2m +223
3
直线FP 的斜率为.
4
x 2y 2
（ii ）解：由a =
2c ，可得b =，故椭圆方程可以表示为2+2=1.
4c 3c
⎧3x -4y +3c =0, ⎪
由（i ）得直线FP 的方程为3x -4y +3c =0，与椭圆方程联立⎨x 2消去y ，整理y 2
⎪2+2=1, ⎩4c 3c
得7x 2+6cx -13c 2=0，解得x =-
3c 13c
（舍去），或x =c . 因此可得点P (c
, ) ，进而可得
27
|FP |=5c 5c 3c
=，所以|P Q |=|FP |-|FQ |=-=c . 由已知，线段PQ 的长即为
222
3c 3c 9⨯=，所以△F Q N 的面积为248
PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .
因为Q N ⊥|FQ |⋅|∠t QFN a n =，所以|QN =F P
2
12c 775c 2|F Q ||Q =N ，同理△FPM 的面积等于，由四边形PQNM 的面积为3c ，得23232
75c 227c 2
-=3c ，整理得c 2=2c ，又由c >0，得. 所以，椭圆的方程为. 3232