设A、B为两个集合。则AB是指: xAxB ① 即有:"xA"是"xB"的充分条件, "xB"是"xA"的必要条件。 反过来,若"xA"是"xB"的充分条件,即xAxB,则AB。 设A、B为两个集合,则A=B是指: xAxB ② 即有:"xA"是"xB"的充要条件。 反过来,若"xA"是"xB"的充要条件,即xAxB,则A=B。 设p,q为含有变量x的语句,我们引入如下两个集合: A=, B= 如果AB,那么每个使p成立的变量x也使得q成立,即:若p成立,则q也成立,也就使说,从而p是q的充分条件,q是p的必要条件。 反过来,如果p是q的充分条件,那么由p成立可以推出q成立,也就是说,若xA,则一定有xB,从而有AB。 这样一来,要判断p是q的什么条件,只需判断集合A与集合B的关系即可。有如下结论: ① 若AB,则A是B的充分条件: ② 若A=B,则A是B的充要条件:③除①②外的情况都是既不充分也不必要条件。 总结:小充分大必要,相等是充要。 例题讲解: 例1 已知全集U={1,2,3,4,5,6},命题p:A={1,2},命题q:B={1,2,3,4}。试问:①p是q的什么条件?;②的什么条件? 解:①由A={1,2},B={1,2,3,4}得 AB 所以p是q的充分不必要条件 ②从补集角度去分析:p:A在U中的补集,q:B在U中的补集。 即:p :={3,4,5,6},q:={5,6} 有 (小的补变大,大的补反而小) 所以的必要补充分条件 例2 已知命题p:|x-2|≥6,q:,若"pq"与"q"同时为假,求x的值。 解:由|x-2|≥6得 P:x≥8,或x≤-4 又 "pq"与"q"同时为假, 所以 p假 q真 从而x的取值范围就是p与q的集合的公共部分,即: x的值为-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8。 例3 已知命题p:|4-x|≤6,q:x2-2x+1-a2≥0(a>0)若非p是q的充分不必要条件,求a的取值范围。 解:由|4-x|≤6解得 -2≤x≤10 所以 p:x10 记p:A={x|x10} 由q:x2-2x+1-a2≥0解得x≥1+a,或x≤1-a 记q:B={x|x≥1+a,或x≤1-a} 因为非p是q的充分不必要条件,即: 从而由。 例4命题方程有两个不等的正实数根,命题方程无实数根。若"或"为真命题,求的取值范围。 解:由方程有两个不等的正实数根得: 解得 得:p: 由方程无实数根得: 得:q:-3 法一:因为"或"为真命题,有:真假,或p假q真,或和都真。 ① 当真q假时,m的范围是p与q对应集合的交集.即: ②当p假真时,m的范围是p与q对应集合的交集,即: ③当和都真时,m的范围是p、q对应集合的交集,即: 综合①②③(取并集)得:m 法二:直接将p、q解出的m在数轴上表示出来取并集即可。 由数轴可得:m 例5 已知:p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围。 解:由方程x2+mx+1=0有两个不等的负根得: 得:p:m>2 由方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根得:得得:q:1 法一:由p或q为真,p且q为假得:p真q假,或p假q真两种情况。 ①当p真q假时,有 ②当p假q时,有 由①②(取并)得: 法二:直接将p、q解出的m呈现在数轴上取并集后挖去公共部分剩于部分。 由数轴可得:
小议集合与充分条件.必要条件.充要条件间的关系
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