2.2空间区域的类型
由上一节已经可以看到,空间的区域有几种不同的类型,列入表5中。
表5:空间区域的类型
区域类型
所指范围
在无限大球面上的投影等特征
边界
代号
三维无限区域
全空间
有立体角Ω=4π
中心点或任一直线
∞3
全空间的一定比例
有立体角
Ω=α
1至多个互不平行平面或曲面
∞3'
二维无限一维有限区域
具有有限厚度的
无限大空间区域
所占据的立体角及体积比例为零
2个平行平面
∞2
一维无限二维有限区域
具有有限截面积的
无限长空间区域
所占据的立体角及体积比例为零
3个以上平面或曲面,其3条以上交直线互相平行,
∞1
三维有限区域
具有有限体积的多面体、椭球、三维环等等
(所占据的体积比例为零)
多个平面或闭合曲面
∞0
由表5所述可以形象地得出无穷大的阶的几何解释,即就体积而言,有如下一段绕口令:
代号为∞1的区域是∞0区域的∞倍,∞2区域又是∞1区域的∞倍,∞3 或∞3’区域又是∞2区域的∞倍。如果说∞1是对于∞0的1阶∞,那么∞2、∞3或∞3’就分别是对于∞0的2、3阶∞。
2.3锥角(立体角)的边界
立体角通常由锥角所限定。这里的锥角是指具有立体角的∞3'型三维无限区域,锥角的边界是无数条连续相邻的射线所构成的“射面”,由锥角的顶点,即所有这些射线的共同端点出发,无弯曲地通向无穷远处。
以顶点为球心,以这些射线为法线作任意球面,则它与锥角边界面的交线呈闭合曲线。而锥角在该闭合曲线内球面上投影区域的面积,占该球面总面积的比例的大小,就确定了该锥面的立体角的大小,因此立体角本质上是一个比值,和平面角一样,没有量纲。
2.3.1平面边界的锥角----多面角
锥角的边界面可以是3个以上平面(棱锥),或1个以上锥面(圆锥或椭圆锥等特殊曲面)。当其边界全由平面构成,不含锥面时,则称为多面角。多面角立体角的求法见“§3多面角----球面三角部分内容简介” 。
除锥角外,球面二角形也限定两个立体角。也可以把球面二角形视为最简单的多面角。注意:二面角不等于球面二角形所张的立体角,而其数值是后者的1/2,例如,作为其特例,当球面二角形所张的二面角达到2πrad时,它所占据的立体角就是全空间,4πsr。一般地,若该二面角为θrad,则其所占据的立体角为
Ω=2θsr 2.3.1
以后除非特别指明,类似式中立体角的单位均为sr,省去不写。
2.3.2曲面边界的锥角
即,锥角的边界为圆锥或椭圆锥等;先看圆锥面的情况,设圆锥所张的平面角为θ,参考球面半径为R,则圆锥所对球冠面积=2πr2(1-cos(θ/2)),根据球面度的定义,可知该圆锥所张立体角为
Ω=2π(1-cos(θ/2)) 2.3.2
椭圆锥角情况类似。
表6:不同类型立体角的计算公式
立体角类型
边界
特征
公式,Ω=
球面二角形
2个平面
二面角为θ
2θ
三面角
3个平面
二面角为α,β,γ
α+β+γ-π
推广:多面角
n个平面
(n-2)个三面角之和
椭圆锥角
椭圆锥
半长轴a,半短轴b
特例:圆锥角
圆锥
圆锥所张平面角为θ
2π(1-cos(θ/2))
其他
复杂的、组合的
可分区域及用积分求