2010年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）
文科数学
参考公式：
样本数据x 1, x 2 x n 的标准差 锥体体积公式
s =
1s h V =
3其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式
4
V =Sh S =4πR 2, V =πR 3
3
其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1
）已知集合A =x x ≤2, x ∈R , B =x |4, x ∈Z |，则A B =
（A ）（0，2） （B ）[0，2] （C ）|0，2| （D ）|0，1，2|
（2）a ，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于
881616
（A ） （B ）- （C ） （D ）-
65656565（3
）已知复数z =
(A)
z ︱= 11
（B ） （C ）1 （D ）2 42
（4）曲线y =x 2-2x +1在点（1,0）处的切线方程为 （A ）y =x -1 （B ）y =-x +1 （C ）y =2x -2 （D ）y =-2x +2
（5）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为 （A
） （B
（C
）
（D
） 22
（6）如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为p
1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为
(7) 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a, 其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
（A ）3πa 2 （B ）6πa 2 （C ）12πa 2 （D ） 24πa 2
（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于
5（A ）
44（B ）
56（C ）
55（D ）
6
(9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x -4 (x≥0），则
{x f (x -2)>0}=
（A ）
{x x 4}
（B ）
{x x 4}
（C ）{x x 6} （D ）{x x 2}
（10）若sin a = -
4π，a 是第一象限的角，则sin(a +) = 54
（A ）
-
（B
） （C
） - （D
） 10101010
（11）已知A B CD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ，
y ）在ABCD 的内部，则z=2x-5y的取值范围是
（A ）（-14，16） （B ）（-14，20） （C ）（-12，18） （D ）（-12，20）
⎧lg x 1,0≤x ≤10⎪
（12）已知函数f(x)= ⎨1若a ，b ，c 互不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，
⎪-x +6, x >0⎩2则abc 的取值范围是
（A ）（1，10） （B ）(5，6) （C ）(10，12) （D ）(20，24)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）圆心在原点上与直线x +y -2=0相切的圆的方程为 。
（14）设函数y =f (x ) 为区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有
0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y =f (x ) 及直线x =0，x =1，
y =0所围成部分的面积S ，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数
x 1, x 2..... x n 和y 1, y 2..... y n ，由此得到N 个点（x i ，y i ）（i =1，2，…，N ）. 再数出其中满足y y i ≤≤f f(x(x i )(i =1,2..... N ) 的点数N 1，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为___________
(15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱
(16)在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC =
3BD , AD =, ∠ADB =135ο.
若
AC =，则BD=________ .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
设等差数列{a n }满足a 3=5，a 10=-9。 （Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值。
（18）（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD , AC ⊥BD , 垂足为H ，PH 是四棱锥的高。
（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ；
（Ⅱ）若AB =, ∠APB =∠ADB =60°, 求四棱锥P -ABCD 的体积。
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （19）（本小题满分12分）
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：
（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。
（20）（本小题满分12分）
y 2
设F 1, F 2分别是椭圆E ：x +2=1（0﹤b ﹤1）的左、右焦点，过F 1的直线l 与
b
2
E 相交于A 、B 两点，且AF 2，AB ，BF 2成等差数列。 （Ⅰ）求AB
（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值。
（21）本小题满分12分） 设函数f (x )=x (e x -1)-ax 2 （Ⅰ）若a=
1
，求f (x )的单调区间； 2
（Ⅱ）若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于 如图：已知圆上的弧 AC =BD
E 点，证明：
（Ⅰ）∠ACE =∠BCD 。 （Ⅱ）BC 2=BE x CD。
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
⎧x =1+t cos α⎧x =cos θ
已知直线C 1：⎨（t 为参数），C 2：⎨（θ为参数），
y =t sin αy =sin θ⎩⎩
（Ⅰ）当α=
π
时，求C 1与C 2的交点坐标； 3
（Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的
参数方程，并指出它是什么曲线。
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数f(x)=2x 4 + 1。 （Ⅰ）画出函数y= f(x)的图像：
（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax 的解集非空，求n 的取值范围
2010年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学参考答案
一：选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是最符合题目要求的。 （1）D (2) C (3) B (4) A (5) D (6) C (7) B (8) D (9) B (10) A (11)B (12)C
二：填空题：本大题共4小题，每小题五分，共20分。
N
（13）x 2+y2=2 (14)1 (15)①②③⑤
N
三，解答题：接答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）解：
（Ⅰ）由a n = a1 +（n-1）d 及a 3=5，a 10=-9得
{
a 1+2d =5a 1+9d =-9
解得
{d =-2
n (n -1)
d=10n-n2。
2
a 1=9
数列{an }的通项公式为a n =11-2n。 ……..6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S n =na1+
因为S n =-(n-5)2+25.
所以当n=5时，S n 取得最大值。 ……12分
(18)解：
（Ⅰ）因为PH 是四棱锥P-ABCD 的高。
所以AC ⊥PH, 又AC ⊥BD,PH,BD 都在平面PBD 内, 且PH BD=H. 所以AC ⊥平面PBD.
故平面PAC ⊥平面PBD. ……..6分
（Ⅱ）因为ABCD 为等腰梯形，A B ∥CD,AC ⊥
所以
因为∠APB=∠ADB=600
所以
可得
等腰梯形ABCD 的面积为S=
1
……..9分 2
所以四棱锥的体积为V=x （
13 ……..12分 （19）解：
（Ⅰ）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助, 因此该地区老年
70
=14%. ……4分 人中需要帮助的老年人的比例的估计值为500
500⨯(40⨯270-30⨯160) 2
≈9.967 （Ⅱ） k =
200⨯300⨯70⨯430
2
由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. …………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好. ……12分 （20）解：
（Ⅰ）由椭圆定义知|AF 2|+|AB|+|BF 2|=4 又2|AB |=|AF 2|+|BF 2|,得|AB |=
4 3
（Ⅱ）L 的方程式为y=x+c
，其中c = 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A ，B 两点坐标满足方程组
y =x +c
{2 y x 2+=1
b 化简得(1+b 2) x 2+2cx +1-2b 2=0.
-2c 1-2b 2
, x 1x 2=. 则x 1+x 2=
1+b 21+b 2
因为直线AB 的斜率为1
，所以|x 2-x 1|
即
4
=x 2-x 1| . 3
84(1-b 2) 4(1-2b 2) 8b 42
则=(x 1+x 2) -4x 1x 2= -=2222
9(1+b ) 1+b 1+b 解得
b =
. 2
（21）解：
11
（Ⅰ）a =时，f (x ) =x (e x -1) -x 2，f '(x ) =e x -1+xe x -x =(e x -1)(x +1) 。
22当x ∈(-∞, -1)时f '(x ) >0; 当x ∈(-1,0)时，f '(x ) 0。故f (x ) 在(-∞, -1)，(0, +∞)单调增加，在（-1，0）单调减少。
a a
（Ⅱ）f (x ) =x (x e x -1-ax e x -1-ax --）ax 。令g (x ) =x （--ax ），则g '(x ) =e x -a 。
若a ≤1，则当x ∈(0, +∞)时，g '(x ) >0，g (x ) 为增函数，而g (0)=0，从而当x ≥0时g (x ) ≥0，即f (x ) ≥0.
若a >1，则当x ∈(0, ln a )时，g '(x )
x ∈(0, ln a )时g (x ) ＜0，即f (x ) ＜0. 综合得a 的取值范围为(-∞,1]
（22）解: （Ⅰ）因为
=
,
所以∠BCD =∠ABC .
又因为EC 与圆相切于点C ，故∠ACE =∠ABC
所以∠ACE =∠BCD . ……5分 （Ⅱ）因为∠ECB =∠CDB , ∠EBC =∠BCD ,
BC CD
=所以∆BDC ∽∆ECB ，故. BE BC
⨯即 B C 2=B E
C . D ……10分
（23）解：
（I ）当α=
π
3
时，C 1
的普通方程为y x -1) ，C 2的普通方程为x 2+y 2=1.
联立方程组
{
y x -1),
1 x =x 2+y 2=1, 解得C 1与C 2的交点为（1,0
），(, 2（II ）C 1的普通方程为x sin α-y cos α-sin α
=0.
A 点坐标为(sin2a , -cos a sin a ) ，故当a 变化时，P 点轨迹的参数方程为
sin 2a ⎧x =1
2⎨y =-1
sin a cos a （a 为参数） ⎩2
11
P 点轨迹的普通方程为(x -) 2+y 2=
41611
故P 点轨迹是圆心为(,0) ，半径为的圆
44
（24）解：
（Ⅰ）由于f (x )=
{
-2x +5, x
2x -3, x ≥2. 则函数y =f (x )的图像如图所示
。
……5分
1
2
⎛1⎫
值范围为(-∞, -2)⋃ , +∞⎪。
⎝2⎭
……10分