一阶偏微分方程完全积分概念的起源
贾小勇１，２，张小芳３
（１．西北大学数学与科学史研究中心，陕西西安７１００６９；２．重庆文理学院数学与计算机科学系；３．重庆文理学院图书馆，重庆永川４０２１６０）
摘要：目的探讨和分析拉格朗日（Ｊｏｓｅｐｈ Ｌ０ｕｉｓ Ｌａｇｒａｎｇｅ，１７３６－１８１３）重新定义一阶偏微分方程完 全积分概念的原因和背景。方法历史分析和文献考证。结果拉格朗日从欧拉的完全积分定义 出发，在用常数变易法探讨一阶偏微分方程积分的过程中受到启发，萌生了关于积分“完全性”的 新思想。随后，他把这种新思想运用于常微分方程，成功解释了奇解现象，受此驱动，提出了一阶偏 微分方程完全积分的新定义。结论拉格朗日的完全积分新定义是他追求方程一般性解法的体现 和产物。
关键词：拉格朗日（Ｊ０ｓｅｐｈ Ｌ０ｕｉｓ Ｌａｇｒａｎｇｅ，１７３６－１８１３）；一阶偏微分方程；完全积分；常数变易 法；奇解
中图分类号：０２１１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００－２７４Ｘ（２００７）０４－０６７５－０
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Ａ ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ
ａ ｆｉｒｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ
ＪＩＡ Ｘｉａｏ－ｙｏｎｇ１，２， ＺＨＡＮＧ Ｘｉａｏ－ｆａｎｇ３
（１． Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｃｅｎｔｅｒ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｈｉｓｔｏｒｙ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｘｉ＇ａｎ ７１００６９， Ｃｈｉｎａ；２． Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍ－
ｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ， ．Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｒｔｓ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ；３． Ｌｉｂｒａｒｙ， Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｒｔｓ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， Ｙｏｎｇ－
ｃｈｕａｎ ４０２１６０， Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ａｉｍ Ｔｏ ｅｘｐｌｏｒｅ ｔｈｅ ｒｅａｓｏｎｓ ｗｈｙ Ｌａｇｒａｎｇｅ ｒｅｄｅｆｉｎｅｄ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ ａ ｆｉｒｓｔ－ｏｒｄｅｒ
ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ． Ｍｅｔｈｏｄｓ Ｈｉｓｔｏｒｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ ｒｅｖｉｅｗ． Ｒｅｓｕｌｔｓ Ｌａｇｒａｎｇｅ ｈｉｔ ｕｐｏｎ ｔｈｅ ｎｅｗ
ｉｄｅａ ．ｔｏ ｒｅｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｗｈｅｎ ｈｅ ｒｅｃｅｉｖｅｄ ｔｈｅ ｉｎｓｐｉｒａｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｈｉｓ ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒ－
ｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎｓｔａｎｔｓ． Ｗｈｅｎ ｈｅ ｕｓｅｄ ｔｈｉｓ ｎｅｗ ｉｄｅａ ｔｏ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｔｈｅ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｄｉｆ－
ｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ， ｈｅ ．ｅｘｐｌａｉｎｅｄ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｌｙ． Ｉｎｓｐｉｒｅｄ ｂｙ ｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ， Ｌａｇｒａｎｇｅ ｆｏｒｍａｌｌｙ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ ｈｉｓ ｎｅｗ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ Ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ Ｌａｇｒａｎｇｅ＇ｓ ｎｅｗ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｓｈｏｗｅｄ ｈｉｓ ｓｐｉｒｉｔｓ ｏｆ ｐｕｒ－
ｓｕｉｎｇ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ．
Ｋｅｙ－ ｗｏｒｄｓ： Ｌａｇｒａｎｇｅ （ １７３６－１８１３ ） ； ｆｉｒｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ； ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ； ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎ－
ｓｔａｎｔｓ ；ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ＇