【重点难点提要】 重点：
1．理解并掌握列方程解应用题的一般步骤，学会按步骤设未知数列方程求解；
2．初步学会分析应用题中数量间相等关系的方法，知道常见的数量关系式(如路程=速度⨯时间等) 和计算公式(如：三角形的面积=底⨯高÷2等) 都可以作等量关系式列方程求解。 难点：
1．学会寻找应用题中数量间相等关系的方法，能正确地找出应用题中的等量关系列方程求解；
2．初步学会恰当地设未知数列方程；
3．初步学会根据应用题中数量关系的具体情况，灵活选用算术解法或方程解法解答应用题。
【知识方法归纳】
1. 列方程解比较容易的两步应用题 (1)列方程解应用题的步骤
①弄清题意，找出未知数并用x 表示；
②找出应用题中数量间的相等关系，列方程； ③解方程；
④检查，写出答案。
(2)列方程解应用题的关键
弄清题意后，找出应用题中数量间的相等关系，恰当地设未知数，列出方程。 (3)运用一般的数量关系列方程解应用题 ①列方程解加、减法应用题。如：
甲乙两人年龄的和为29岁，已知甲比乙小3岁，甲、乙两人各多少岁？ 数量间的等量关系：
甲的年龄 + 乙的年龄 = 甲乙二人的年龄和
解：设甲的年龄是x 岁，则乙的年龄为：(x+3)岁。 x+(x+3)=29 x+x+3=29 2x=29-3 x=26÷2
x=13„„甲的年龄
13+3=16(岁) „„乙的年龄
答：甲的年龄是13岁，乙的年龄是16岁。 ②列方程解乘、除法应用题。如：
学校图书馆买来故事书240本，相当于科技书的3倍，买来科技书多少本？ 科技书的本数 ⨯ 3 = 故事书的本数 解：设买来科技书x 本 3x=240 x=80
答：买来科技书80本。
(4)用计算公式、性质、数位及计数单位等做数量间的等量关系，列方程解应用题 ①一长方形的周长是240米，长是宽的1.4倍，求长方形的面积。 ( 长 + 宽 )⨯2=周长
解：设宽是x 米，则长是(1.4x)米。 (1.4x+x)⨯2=240 2.4x=240÷2 x=120÷2.4
x=50„„长方形的宽
50⨯1.4=70(米) „„长方形的长
70⨯50=3500(平方米)
答：长方形的面积是3500平方米。
②三角形ABC 中，角A 是角B 的2倍，角A 与角B 的和比角C 小18°。求三个角的度数。这是一个什么三角形？
角A + 角B + 角C = 180度 解：设角B 是x 度，
则角A 是(2x)度，角C 是[(2x+x)+18]度。 2x+x+[(2x+x)+18]=180 6x+18=180 6x=180-18 x=162÷6
x=27„„角B 的度数
27⨯2=54(度) „„角A 的度数 54+27+18=99(度) „„角C 的度数
答：角A 是54度，角B 是27度，角C 是99度。
因为：角B
③一个两位数，十位数字与个位数字的和是6。若以原数减去7，十位数与个位数字相同，求原数。
十位上的数字 个位上的数字
解：设原数的个位数字为x 。则原数十位上的数字为：6-x ；若从原数中减去7，则个位上的数字变为：10+x-7、十位上的数字变为：6-x-1。 6-x-1=10+x-7 5-x=3+x 2x=2
x=1„„原数的个位数字 6-1=5„„原数的十位上的数 因此，原数是：51。
2．列方程解二、三步计算的应用题 广水电影院原有座位32排，平均每排坐38人；扩建后增加到40排，可比原来多坐584人。扩建后平均每排可以坐多少人？ 解：设扩建后平均每排坐x 人。 x⨯40-38⨯32=584 40x-1216=584
40x=584+1216 x=1800÷40 x=45
答：扩建后平均每排可以坐45人。 3．列方程解含有两个未知数的应用题
某班学生合买一种纪念品，每人出1元，多4元6角；每人出9角，就差5角。求这件纪念品多少钱？这个班共有多少名学生？ 解：设这个班共有x 名学生 x-4.6=9÷10⨯x+5÷10 x-4.6=0.9x+0.5 0.1x=5.1
x=51„„这个班学生人数
51-4.6=46.4(元) „„纪念品的单价
答：这件纪念品46.4元；这个班共有学生51名。 4. 用方程解和用算术法解应用题的比较
用方程解应用题和用算术法解应用题有什么区别，它们之间的主要区别在于思路不同。 用方程解应用题，要设未知数x ，并且把未知数x 与已知数放在一起，分析应用题所叙述的数量关系，再根据数量关系和方程的意义，列出方程式。
用算术法解应用题，要把已知数集中起来，加以分析，找出已知数与未知数之间的联系，列出算式表示未知数。例如：
小华身高160厘米，比小兰高15厘米。小兰的身高是多少厘米？ 用方程解：
解：设小兰的身高x 厘米 160-x=15 x=160-15 x=145 或：x+15=160 x=160-15 x=145 用算术法解：
160-15=145
通过比较，同学们可以看出，这两种方法的主要区别是未知数参加不参加到列式之中。列算术式，是根据题中的条件，由已知推出未知，用已知数之间的关系来表示未知数。未知数是运算的结果，已知与未知数用等号隔开。列方程式，是根据题目叙述的顺序，未知数参加列式，未知数与已知数用运算符号相连接，从整体上反映数量关系的各个方面，所以，解题方式灵活多样，适用面广，用来解答那些反叙的问题更显得方便。
【典型范例剖析】
例1 甲乙两桶油，甲桶里有油45千克，乙桶里有油24千克，问从甲桶里倒多少千克的油到乙桶里，才能使甲桶里的油的重量是乙桶里的1.5倍？ 分析：根据变动以后“甲桶里油的重量是乙桶的1.5倍”，可以列出等量关系式： 现在乙桶里油的重量 ⨯ 1.5 = 现在甲桶里油的重量
设从甲桶里倒x 千克的油到乙桶里，那么，现在甲桶里的油是(45-x)千克，现在乙桶里的油是(24+x)千克。
解：设从甲桶里倒x 千克油到乙桶里。 (24+x) ⨯1.5=45-x 36+1.5x=45-x 36+1.5x+x=45 36+2.5x=45
x=(45-36)÷2.5 x=3.6
答：从甲桶里倒3.6千克的油到乙桶里，才能使甲桶里油的重量是乙桶的5倍。
例2 一位三位数，个位上的数字是5，如果把个位上的数字移到百位上，原百位上的数字移到十位上，原十位上的数字移到个位上，那么所成的新数比原数小108，原数是多少？ 分析：原三位数中只知道个位数字，百位和十位上的数字都不知道。如果设原三位数中的百位数字与十位数字拼成的二位数为x ，则原三位数可表示为“10x+5”，那么新数就可以表示为“5⨯100+x”。
解：设原三位数中的百位数字与十位数字拼成的二位数为x ，可得方程： 10x+5=5⨯100+x+108 10x-x=500+108-5 9x=603 x=67
10⨯67+5=675„„原三位数 答：原三位数是675。
例3 某校附小举行了两次数学竞赛，第一次及格人数是不及格人数的3倍还多4人，第二次及格人数增加5人，正好是不及格人数的6倍，问参加竞赛的有多少人？ 分析：本题所求的参赛人数包括了及格的和不及格的人数，而第二次的参赛人数与第一次参赛人数有直接关系的条件，总人数又不变。所以我们设第一次参赛的不及格人数为x 人，那么第一次参赛及格的人数可以用“(3x+4)”人来表示，总数是(4x+4)人，第二次参赛
及格的人数是(3x+4+5)人，不及格的人数是(x-5)人，根据“第二次及格人数是不及格人数的6倍”，这一等量关系，可列方程。
解：设第一次参赛不及格的人数为x ，依据题意可得方程： 3x+4+5=(x-5) ⨯6 3x+9=6x-30 3x=39 x=13
则 4x+4=13⨯4+4=56„„参加竞赛的人数 答：参加竞赛的有56人。
【易错题解举例】
例1 吉阳村有粮食作物84公顷，比经济作物的4倍多2公顷，经济作物有多少公顷？ 错误：设经济作物有x 公顷 x=(84-2)÷4 x=82÷4 x=20.5
答：经济作物有20.5公顷。
分析：这题列出的式子是一个算术式，不是方程。错误在于没有弄清方程和算术式的区别。算术式是由已知数和运算符号组成的，用来表示未知数，如本题的“x=(84-2) ÷4”；而在方程里，未知数则是参加运算的，本题中的“x ”则没有参加运算。 改正：设经济作物有x 公顷 4x+2=84(或4x=84-2) 4x=82 x=20.5
答：经济作物有20.5公顷。
例2 食堂运来一批煤，原计划每天烧210千克，可以烧24天。改进炉灶后这批煤可烧28天。问：改进炉灶后平均每天比原计划节约多少千克？ 错误：设每天比原计划节约x 千克 28x=210⨯24 x=180
210-180=30(千克)
答：改进炉灶后平均每天比原计划节约30千克。
分析：题中所设未知数x 与方程式中的x 所表示的意义不同。题目中的方程式的“x ”所表示的是“改进炉灶后平均每天烧煤数”，并不表示“节约”的数。本题可以采用“间接设未知数法”或“直接设未知数法”。 改正：(1)间接设未知数
解：设改进炉灶后每天烧煤x 千克，则每天比原计划节约(210-x)千克。 28x=210⨯24 28x=5040 x=180
210-x=210-180=30 (2)直接设未知数
解：设改进炉灶后平均每天比原计划节约x 千克。 (210-x)⨯28=210⨯24 210-x=180 x=210-180 x=30
答：改进炉灶后平均每天比原计划节约30千克。
例3 王兰有64张画片，雷江又送给她12张，这时王兰和雷江的画片数相等。雷江原有画片多少张？(用方程解)
错误：设雷江原有画片x 张
x-12=64 x=76
分析：雷江送12张画片给王兰后，两人的画片数才相等。也就是说，雷江减少12张，王兰增加12张之后，他们的画片数才同样多。此解法把等量关系弄错了，误认为雷江的画片减少12张后与王兰原有的画片数相等。 改正：设雷江原有画片x 张。 x-12=64+12 x=76+12 x=88
答：雷江原有画片88张。
【解题技巧指点】
1. 列方程解应用题时，往往列出来的是一个算术式，误以为是方程。如：广水市吉阳村有粮食作物84公顷，比经济作物的4倍多2公顷，经济作物有多少公顷？ 解：设经济作物有x 公顷 x=(84-2)÷4 x=82÷4 x=20.5
答：经济作物有20.5公顷。
本题中的“x=(84-2) ÷4”是一个算术式。出现上述错误，原因在于没有弄清方程式和算术式的区别。算术式是由已知数和运算符号组成的，用来表示未知数；而在方程里，未知数则是参加运算的。本题的方程应该列为： 4x+2=84或4x=84-2或84-4x=2
2．按照题意，恰当地设未知数。如：第一教工食堂运来一批煤，原计划每天烧煤210千克，可烧24天，改进炉灶后这批煤可烧28天。问：改进炉灶后平均每天比原计划节约多少千克？
设未知数时一般有两种方法：一种是直接设未知数为x ，题目中问什么，就设什么为x ；另一种是间接设未知数为x ，再通过这个量与所求问题的关系，求出应用题中要求的未知量。 如果按直接设未知数为x 的方法解答，那么本题中所列方程应该是： 解：设每天比原计划节约x 千克煤 (210-x) ⨯28=210⨯24 210-x=180 x=210-180 x=30
如果采用间接设未知数x 的方法：
解：设改进炉灶后每天烧煤x 千克，则每天比原计划节约(210-x)千克。 28x=210⨯24 x=180 210-180=30(千克)
答：每天比原计划节约30千克。
【课本难题提示】
[P112-113 练习二十七]
12．分析：被除数是一个数的3倍，为3x ，被除数等于商乘以除数加上余数。 3x=4⨯5+4这个方程是正确的，这个数是8。
13．分析:等边三角形的每个角是60°，因此：∠2=60°÷2=30°，∠4=60°÷2=30°，∠2+∠4=x°=180°。x 是多少就很容易求出来了。30+30+x=180 x=120 [P116-117 练习二十八] 14.2x+3⨯3=17 x=4 [P119-120 练习二十九]
13．分析：甲乙两人所走路程的和是860-300。37⨯7+7x=860-300 x=43
思考题：分析：从第一个条件可以推断：小明所跑的路程的2倍比爸爸的路程长，从第二条件可以推断：妈妈跑的路程的2倍比爸爸跑的路程短。由此可以推断：小明跑的路程的2倍比妈妈跑的路程的2倍长，所以，小明比妈妈跑的路程长。 [P122-124 练习三十]
16. 设每本《故事大王》x 元 (1.6+x) ⨯4=20-7.6 x=1.5
17. 设杏树x 棵，则桃树为3x+20棵。
x+3x+20=340 x=80 3⨯80+20=260(棵) 18．乙车每小时行x 千米，则甲车每小时行2x 千米。 (x+2x) ⨯4=480 x=40 [P126-127 练习三十一] 1.(1)× (2)× (3)√
2.S=ah 20⨯15=300(平方厘米) S=ah 2.3x÷2=2.07 x=1.8
9. 第一个x 表示甲数，第二个x 表示乙数，第三个x 表示甲数，都符合题意。 10.设宽为x 厘米，则(2x+x)=30÷2 x=5，则面积为：5⨯2⨯5=50 思考题：分析：一共取了x 次，乒乓球比羽毛球多取了6个。 5x-3x=6 x=3 3⨯5=15(个)
【同步达纲练习】 1．填空
(1)______________叫方程；____________叫解方程；____________叫方程的解。 (2)用含有字母的式子表示。
①甲比乙大a ，甲是x ，乙是______；如果乙是x ，那么甲是_______。 ②与a 相邻的两个整数是______、______；它们的和是_______。
③长方形的周长是x ，长是a ，宽是______，正方形的周长是x ，边长是______。 ④甲骑自行车每小时行x 千米，5小时行______千米，a 小时行______千米，行24千米要______小时，行s 千米要_______小时。
⑤食堂买来200千克的煤，烧了a 天，还剩b 千克，平均每天烧煤______千克。 ⑥x 的一半与y 的3倍的差是_______。 ⑦m 与n 的和的3.5倍是_______。 ⑧3与a 的7.43倍的差是_______。
(3)先写出应用题中数量间的相等关系，再列方程。 ①粮店运来大米和面粉480包，大米的包数是面粉的3倍，运来大米和面粉各多少包？ ( ) ( )=( ) ______ ②阿姨买4块肥皂、2条毛巾共用去2.8元，已知肥皂每块0.26元，毛巾每条多少元？ ( ) ( )=( ) ______
③爷爷今年71岁，比小华年龄的6倍还多5岁，小华今年几岁？ ( ) ( )=( ) ______
④甲乙两站相距255千米，一列客车从甲站开出，一列货车从乙站开出，2.5小时后相遇。客车每小时行48千米，货车每小时行多少千米？ ( ) ( )=( )______
2. 选择(把正确答案的序号填在横线上) (1)下面各式中_____是方程。
①8x+7
(2)83-12x=23，在0、1、2、3、4、5、6、7各数中，______是方程的解。
①0 ②1 ③2 ④4 ⑤4 ⑥5 ⑦6 ⑧7 (3)4x-13.5=85.5，x=_____是方程的解。 ①24.75 ②18 3．化简
(1)(5x+7)-(4x+0.18) (2)6x-28-2.5x+30.5
(3)6x⨯(3+0.8) (4)8a-(5a+8)
4．解方程
(1)3⨯(x+2)-96=0 (2)0.3⨯7+4x=12.5
(3)(x+3)÷5=1.5 (4)3⨯(x+2)=4⨯(x+1)
5．列方程并求解
(1)某数的8倍加上10等于它的10倍减去8，求这个数。
(2)4.9减去2.9与0.5的积比x 的5倍少1.65，求x 。
(3)一个数加它的1.8倍是0.56，求这个数。
6．列方程解应用题
(1)要运走一堆土，每天运36车，需要15天运完，现在要求提前5天运完，每天应多运几车？
(2)三个数的平均数是13.5，甲是乙的4倍，丙比甲多4.5，求三个数各是多少？
(3)一个长方形周长是240米，长是宽的1.5倍，这个长方形的面积是多少？
(4)一个三角形ABC 中，角A 是角B 的3倍，角C 比角A 与角B 的和还大12°。求三个角的度数。(先用算术法，再用方程解。)
(5)每边长度相差5厘米的三角形周长是120厘米，最短的一边是几厘米？最长的呢？
(6)有一分、二分、五分三种硬币共10元，已知每种硬币的个数相同，求三种硬币共有多少个？
【思维拓展训练】
三年前母亲的岁数是儿子的6倍，今年母亲33岁，儿子今年几岁？
参考答案
【同步达纲练习】 1. 填空：
(1)含有未知数的等式；求方程的解的过程；使方程左右两边相等的未知数的值 (2)用含有字母的式子表示
①x-a ；x+a ②a-1；a+1；3a ③x ÷2-a ；x ÷4
④5x ；ax ；24÷x ；s ÷x ⑤(200-b)÷a ⑥x ÷2-3y ⑦(m+n)×3.5 ⑧3-7.43a
(3)先写出应用题中数量间的相等关系，再列方程
①(大米的包数)+(面粉的包数)=(大米和面粉的总包数) 解：设运来面粉x 包，大米则是3x 包
3x+x=480
②(肥皂的总价)+(毛巾的总价)=(一共用去的钱数) 解：设毛巾每条x 元
0.26×4+2x=2.8
③(小华的年龄×6)+(5岁)=(爷爷的年龄) 解：设小华今年x 岁
6x+5=71
④(客车的速度+货车的速度) ×(相遇时间)=甲、乙两站间的距离 解：设货车每小时行x 千米
(48+x)×2.5=255 2. 选择： (1)(③、④) (2)(⑥) (3)(①) 3. 化简：
(1) (5x+7)-(4x+0.18) =5x+7-4x-0.18 =5x-4x+7-0.18 =x+7-0.18 =x+6.82
(2) 6x-28-2.5x+30.5 =6x-2.5x-28+30.5 =3.5x+30.5-28 =3.5x+2.5 (3) 6x×(3+0.8) =6x×3.8
=22.8x
(4) 8a-(5a+8)
=8a-5a-8 =3a-8 4. 解方程
(1)3×(x+2)-96=0 解： 3x+6-96=0
3x-90=0
3x=90 x=30
(2)0.3×7+4x=12.5 解： 2.1+4x=12.5
4x=12.5-2.1 x=10.4÷4 x=2.6
(3)(x+3)÷5=1.5 解： x+3=1.5×5
x=7.5-3 x=4.5
(4)3×(x+2)=4×(x+1) 解： 3x+6=4x+4
4x-3x=6-4
x=2
5. 列方程并求解： (1)解：设这个数为x 8x+10=10x-8 10x-8x=10+8
2x=18 x=9
(2)解：5x-2.9×0.5=1.65
5x-1.45=1.65
5x=1.65+1.45 x=3.1÷5 x=0.62
(3)解：设这个数为x x+1.8x=0.56 2.8x=0.56
x=0.56÷2.8 x=0.2
6. 列方程解应用题：
(1)解：设每天应多运x 车 (36+x)×(15-5)=36×15
(36+x)×10=540
36+x=540÷10
x=54-36 x=18
(2)解：设乙为x ，则甲数为4x ，丙数为(4x+4.5) x+4x+4x+4.5=13.5×3
9x+4.5=40.5
9x=40.5-4.5
x=36÷9 x=4
(3)解：设长方形的宽为x 米，则长为1.5x 米 (x+1.5x)×2=240 2.5x ×2=240
2.5x=240÷2 x=120÷2.5 x=48 48×1.5=72
72×48=3456(平方米) „„面积 (4)解法一：算术方法：
(180-12)÷(1+3+4) =168÷8
=21(度) „„∠B
21×3=63(度) „„∠A 21×4+12 =84+12
=96(度) „„∠C 解法二：方程：
解：设∠B 为x 度，则∠A 为3x 度，∠C 为(4x+12)度 x+3x+4x+12=180 8x+12=180
8x=180-12 x=168÷8 x=21 21×3=63 21×4+12 =84+12 =96
(5)解：设最短边是x 厘米，最长边是(x+5+5)厘米 x+(x+5)+(x+5+5)=120 x+x+5+x+10=120
3x+15=120
3x=120-15 x=105÷3 x=35
35+5+5=45
(6)解：设三种硬币共有x 个 10元=1000分
(1+2+5)x=1000
8x=1000
x=1000÷8
x=125
【思维拓展训练】
解：设三年前儿子x 岁 6x=33-3
x=30÷6
x=5
3+5=8