坐标变换
在漫长的人类科学史上，坐标的发明可谓是一个划时代的突破和伟大的跨越。因为它的发明，数学由静入动，进入了变量数学的新时代。许多原本无法或难以解决的问题放到坐标系中都被转化为十分简单的命题，使得数学不再过多依赖大跨越式的思考和毫无线索的寻找，转而变得更加“平易近人”。坐标系的最重要衍生物之一就是对函数的深入探索和微积分的发明，而这两者可以毫不夸张地说成是整个近代数学的基础。不仅如此，坐标系本身以及它所带来的无限产物，又促进了物理等其它学科的发展，如微积分的许多定理都在相对论中发挥着巨大的作用。相传，发明坐标的那位数学家是法国的笛卡儿。他在研究如何用数学方法描述运动时，曾在“描述位置”这一问题上绞尽脑汁，因为位置可近可远，怎样去描述一个没有上下界的量呢？他苦苦思索而无果。然而，一天夜里，他在睡梦中看见一位老者，老者告诉他：“在平面上作两条相交的直线，直线是无限延长的，在上面标上刻度，不就可以显示此平面上任何一点的位置了吗？”笛卡儿兴奋地惊醒了，坐标也诞生了。不论这个传说是否真实，“用坐标表示位置”这个想法实在是令人叫绝，因为它把抽象的“位置”转化成了一个具体的有序数对（坐标），从而为大量有关运动和变换的问题提供了解决的捷径。
本文主要探讨坐标变换问题。所谓“坐标变换”，通俗来讲就是对平面（或空间）上的点的坐标进行有规律的改变，从而达到改变对应点的位置的目的。可以说，坐标系（坐标）的威力几乎全靠坐标变
换来彰显。通常所说的变换主要包括两个方面，第一是在已经建立好的坐标系中，不改变系的变换；另一种是对同一个位置（注意，不是“同一个对象”），更换坐标系而得到不同的坐标形式，从而解决问题的变换。
我们首先来看第一种。
一般接触到的位置改变有如下几种：平移（或称平动，包括上移、下移等直线平移和沿曲线完成的曲线平移等），旋转（或称转动，包括顺时针、逆时针转动等），对称（包括轴对称（线对称）、中心对称（点对称）和其它更复杂的对称），物理上还有一个“振动”，在数学上暂时找不到合适的术语来形容，只好仍称振动。它包括简谐振动和多种多样的非简谐振动，这种运动十分重要，它直接产生了我们的声世界——声产生于振动。上述的各种位置改变方式（或称运动形式）在坐标系中都有对应的变换方法，我们重点来看这些变换形式与方法。
可以说，平移变换是最基本、最简单也最常见的坐标变换形式了。我们在初中刚接触坐标与坐标系时，练得最多的就是平移变换。把一个点（更复杂的图形在不影响问题解决的情况下都可以抽象成一个点，并且在平移这种变换中，各点的变换是一样的）按一定的方向移动一定的距离，但不改变此图形（注意，在这里又说是图形了，我又把抽象的点具象化了）本身的朝向，就完成了一次平移。这个定义老生常谈，是初中阶段的一个认识。而在高中，我们进一步研究平移时，就可以用一个全新的工具来度量它：向量。把点按一个向量移动，就
是一次平移。这个全新的定义不仅简洁，而且更加揭示了平移的本质。我们以平面二维坐标系为例。在平面内有一线段，其端点坐标分别为A(1,1)，B(2,3)，将此线段平移，若点A 移动到了点A ’(2,1)，那么B 移动后的点B ’的坐标是多少呢？这个问题十分简单，但是如何更简捷地解决呢？我们先用初中方法来解决：由AB ∥A ’B ’以及AB=A’B ’可得四边形ABB ’ A’为平行四边形。然后分别过B ，B ’作AA ’的垂线形成全等三角形，再列一个“边长相等”的方程，可解得B ’(3,3)。此法显然十分笨拙，下面我们从向量的角度重新解一下：由平移的定义，可知有向量AA ’等于向量BB ’，立得B ’(3,3)。此法一步完成，这也说明了向量定义对平移的本质揭示的深刻性。
关于平移，我们还要来研究一下函数和曲线的平移。将函数f(x)
a 沿向量=(a,b)平移，所得函数解析式为f(x-a)+b。这一点是函数论
的基础，但是我们不禁要问，向量a 中的坐标在解析式中“所起的作
用”，为什么是一正一负呢？要解释清楚这个问题，我们需要跳出函数的束缚，将函数看作更一般的曲线的一种特殊形式，将其解析式变形成为F(x,y)=0。这样一来，x 和y 的“地位”就平等了。很明显，F(x,y)=0经过平移后的方程（注意，这里称之为“方程”——我针对的是一般曲线）是F(x-a,y-b)=0。再将此式看做函数解析式，可变形为y-b=f(x-a)。到这里，我们终于明白，“一正一负”是移项的结果。
另外一个问题：平移后的关系式为什么是横纵坐标减去向量中的对应坐标呢？这个问题我们可以这样分析：对于原函数F(x,y)=0上
a 一点A(x,y)，其经过向量平移后的对应点A ’显然为(x+a,y+b)。
⎧x ' =x +a ⎨为了说明，我们再设A ’(x’,y ’) ，即⎩y ' =y +b (※) 。所谓的平移后
解析式，实际上就是新坐标(x’,y ’) 中x ’和y ’所满足的关系。是
⎧x =x ' -a ⎨什么呢？显然，由(※) 式可得⎩y =y ' -b ，而x 和y 满足F(x,y)=0，所
以x ’和y ’所满足的关系式当然就是F(x’-a,y ’-b)=0了。
我们再来看第二种坐标变换——旋转。我们耳熟能详的是所谓“旋转三要素”——旋转中心，旋转方向和旋转角。最基本的旋转是以90°的整数倍为旋转角的旋转，这类变换往往并不需要真正使用旋转的概念，而立即就可以写出变换的结果。我下面要说的是任意角变换，而我使用的工具有两个：复数和三角函数。为了简便，我们以坐标原点为旋转中心。
在平面直角坐标系中有一曲线F(x,y)=0。在其上任取一点A(x,y)，其在复平面内所代表的复数z OA =x +yi 。设这个复数向量的辐角为α，则有z OA =re i α=r (cosα+i sin α) 。现在，把这个向量乘以一个单位向量cos β+i sin β，结果是什么呢？r (cosα+i sin α)(cosβ+i sin β) =r [(cosαcos β-sin αsin β) +i (sinαcos β+sin βcos α)]=r [cos(α+β) +i sin(α+β)]。我们发现，乘积的结果是辐角相加，模不变。这就给我们一个进行旋转变换的好方法。下面我们来一个实例： x 2y 2
+2=12a b 在坐标平面中的椭圆，将其逆时针旋转角θ，求所得
曲线的方程？
同上，我们设此椭圆上一点A 对应的复数为z OA =x +yi ，并设旋转后的对应点A ’的复数为z OA ' =x ' +y ' i 。依题意，OA ’应该是OA 绕原点逆时针转动θ角得到；反过来，OA 应该为OA ’绕原点顺时针转动θ角得到（为什么要这样转换呢？一会就知道）。于是有： z OA =x +yi =(x ' +y ' i )(cos(-θ) +i sin(-θ)) =(x ' cos θ+y ' sin θ) +i (-x ' sin θ+y ' cos θ)
⎧x =x ' cos θ+y ' sin θ⎨由复数相等，知⎩y =-x ' sin θ+y ' cos θ。将其带入椭圆方程，并用x 代替
x ’，y 代替y ’，就得到旋转后椭圆的方程了：(x cos θ+y sin θ) 2(x sin θ-y cos θ) 2
+=12222x -y =1进行a b 。我们再对双曲线
旋转变换，将其逆时针旋转45°，所得结果（代入各个参数）为xy =1
2。
还记得初中时学过反比例函数的图像是双曲线吗？道理就在于此。
使用复数工具和三角函数，便可以完成坐标系内任意角度的旋转变换。可以说，向量和复数是一对神兵利器，用它们分别解决平移和旋转问题，处理起来得心应手。
我们再来看第三种坐标变换形式，即对称。我们先来解决这样一个问题：平面上的点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0的对称点A ’坐标是多少？这个问题比较容易，我的目的是推出一个公式性的结论：设
⎧y -b ⎛A ⎫⨯ -⎪=-1⎪⎪x -a ⎝B ⎭⎨⎪a +x A +b +y B +C =0⎪2⎩2A ’(x,y),由，可得
⎧(A 2-B 2) a +2ABb +2AC x =-⎪⎪A 2+B 2
⎨22(B -A ) b +2ABa +2BC ⎪y =-⎪A 2+B 2⎩，这就是线对称点公式。特别地，当A=BBb +C ⎧x =-⎪⎪A ⎨⎪y =-Aa +C
⎪B ；当A=-B时，上面的公式变为时，上面的公式就变成了⎩
Bb -C ⎧x =⎪⎪A ⎨⎪y =Aa -C
⎪B 。这两个公式可以看作是将(x,b)和(a,y)两点代入直线所⎩
得式的变形。因而当直线的斜率为±1时，写对称点坐标十分简单。
我们再来讨论函数和曲线的点对称、线对称问题。对于函数f(x)，若对任意的x ，都有f(a+x)=f(a-x)，则f(x)关于直线x=a对称；若有b+f(a+x)=b-f(a-x)，则f(x)关于点(a,b)对称。特别地，当a ，b 都等于0时，有f(x)=f(-x)，f(x)=-f(-x)，而这正是我们熟悉的偶函数和奇函数的特征。对称是美的，它蕴涵了对偶思想和转化思想，常常能对问题的解决做出出人意料的贡献。
以上所述即是三种经典而常见的坐标变换。下面我要用多种变换来完成一个没有学过的三角函数图像。
我们在高中接触到的三角函数有三个：正弦，余弦和正切。除此之外可能还了解过余切cot α（它是正切的倒数）。但可能会有人不熟悉，除这四者之外还有两个三角函数，即正割sec α和余割csc α。它们分别满足sec α=1
cos α和csc α=1
sin α。由此还可得到一个关于正割和余割的诱导公式，即
sec α=csc(α+π) 2。我们就用这三个公式来画出
正割和余割的图像！
由于三角函数的周期性，我们可以只讨论此两者在区间(0,π) 上的图像，再向两个方向推广。实际上，再由三角函数的中心对称性，
π
我们也可只讨论此两者在一个半区间(0, 2) 上的图像，然后再推广。这种思想大大简化了步骤，应当注意。
π
在平面直角坐标系中画出函数y=sinx在(0, 2) （并默认之为定
1
义域）上的图像，并画出函数y=x和y=x 的图像。在x 轴上定义域内任取一点A(α,0) ，过其作x 轴的垂线交曲线y=sinx于A ’(α，sin
1
α) ，又作A ’B ⊥y ，得交点C=A’B ∩(y=x ) 。显然B(0,sinα) ，1
C(sin α,sin α) 即(cscα,sin α) （这就得到大小为α余割的坐标了）。作C 在x 轴上的投影D(cscα,0) （消去无关项），再作D 点关于直线y=x的对称点（显然此点在y 轴上），记为E(0,cscα) （转换横纵坐标）。最后，作E 点关于y 轴的垂线，与前面作出的A 点关于x 轴的垂线交于点F ，那么F 点的坐标为(α,csc α) ，它恰好在函数y=cscx的图像上！这个过程好像把两个坐标“拼接”到一起，硬凑出来一个目标函数上的点。继续在定义域内取点，重复上述过程，便可得到目标函数上的一组点。用平滑的曲线连结各点，即可得到函数y=cscx
π
在(0, 2) 上的图像。在这里，附上一个我手绘的图。（图1）
将这个曲线分别按中心对称和轴对称的原则向两边推广，即可得
到余割函数在R 上的图像，如下图。（图2）
根据上面的诱导公式，只需将余割函数的图像向左平移2个单位，即得正割函数的图像，如图。（图3）
我在几何画板5.0软件中作出了正割和余割的图像，结果与手绘图一致。这个实例运用了多种坐标
变换，并采用了尺规作图术，堪称
经典。
好了，第一部分结束，我们接
下来来看坐标变换的第二类问题，
即变系问题。
到这里，我想我们应当细数一
下坐标系家族的成员们了，如果不
在这适当的时候做一下概括性的介
绍，那么前后部分就都会成为空中
楼阁，难以理解。你可知，最初的
坐标系单纯指平面二维坐标系，并
且这种系的两个坐标轴并不要求垂
直！可以想见，这样的坐标系并不
能很好地满足解题的要求。庆幸的
是，数学家们早已认识到了这一点，
并改进了坐标系。今天的平面坐标
系已经要求用互相垂直的直线作坐标轴。这种规定对函数、
微积分和1 2 3 图图图
位置的表述都有很大的辅助作用。
其实，坐标系不是二维空间的“专利”。我们已经接触过的空间直角坐标系，就是一种三维系。你可能不会相信，初中时学过的数轴，其实是一种一维坐标系！这种一维系在物理中对解决直线运动问题有很大帮助。在物理中，还有一种四维坐标，在空间三坐标外又加上了时间坐标，合称时空坐标。它是对三维坐标的一种补充。类似地，我们可以构建任意维数的空间，用任意维数的坐标描述事物。
我们现在跳出直角坐标的范畴。在平面，还有一种原理与直角坐标完全不同的坐标——极坐标。在平面内取一点O ，引一条从O 点发出的射线Ox ，则平面上任意一点的位置都可以用该点与O 点的距离ρ和该点与O 点连线与射线Ox 的夹角θ表示，记点的坐标为(ρ, θ) ，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴。不要小看极坐标，在这种坐标所建立的平面体系中，圆锥曲线有统一的方程形式，即ρ=ep
1-e cos ϑ。
其中，极点分别建立在椭圆的左焦点，双曲线的右焦点和抛物线的焦点上，e 为离心率，p 为焦点到对应准线的距离。由此，我们可以看出三种圆锥曲线之间有内在的联系，它们的差别就在于离心率的大小。类似地，直线的极坐标方程为θ=φ，圆的极坐标方程为ρ=L。可以看到，用极坐标表示的图形方程十分简洁。
在空间，对应于空间直角坐标的还有球坐标和柱坐标。它们分别是极坐标在空间中的拓展和极坐标与直角坐标在空间中的结合。
更多的坐标形式，这里不再赘述。我们来谈谈平面内直角坐标与极坐标的相互转化（假定直角坐标系的原点与极坐标系的极点重合，
直角坐标系的x 轴正向与极坐标系的极轴方向相同）。对直角坐标平
⎧ρ=x 2+y 2
⎪⎨y ⎪ϑ=arctan x ；对极坐标平面中的点(ρ, 面上的点(x,y)，其极坐标为⎩
⎧x =ρcos ϑ⎨θ) ，其直角坐标为⎩y =ρsin ϑ（这里我用的是参数方程）。用这个公
式，我要将上面的圆锥曲线统一方程转化为直角坐标形式：ρ(1-e cos θ) =ep
2⇒x 2+y 2-ex =ep ⇒e 2(x +p ) 2=x 2+y 2⇒2e 2p 2e 4-e 2+122(e -1)(x +2) -y =p 2e -1e -1。这就是圆锥曲线的统一直角坐标方程。我们可以大致看出，它是经过水平平移了的，与我刚才的论述一致。
坐标是人类最伟大的发明之一，坐标变换无疑是人类最智慧的方法之一。用具体的字母、数字和运算符来表示空间，再用“计算”这一强大的工具来连接它们，就能够不断探索，不断发现，不断揭示事物的本质。坐标的连续性和无界性保证了它能完整的叙述对应空间内的一切，其功能的强大性正体现于此。而坐标变换这一奇妙的方法，更把坐标的威力发挥得淋漓尽致。运用坐标变换，一个个静的几何元素跳动起来，构建起了动态的变化世界，给我们一个认知的全新视角。坐标变换的美，坐标变换的巧，坐标变换的无限无限„„