永磁同步电机矢量控制的理解
作者：fly0218
一、先验知识：
1.定子、转子磁势相对静止是产生平均转矩维持电机稳定运行的必要条件。形象的看，如果两个磁场之间有相对运动，必然时而N和S极相遇，互相吸引；时而N和N相遇，又互相排斥，平均转矩为零。
2. 在定子三相绕组中通入正弦电流：
ia=Imcos(ϕ+θ),ib=Imcos(ϕ+θ−2π/3),ic=Imcos(ϕ+θ+2π/3)
形成的磁动势如下：Fs=Nsis=Ns(ia+αib+α2ic)=3NsImej(ϕ+θ),α=ej2π，该式的理解如下：
2
图1定子磁势空间矢量
永磁同步电机矢量控制时，在任意时刻给定A相电流，则B，C相电流也给定，有三相分别决定的在A，B，C三轴上产生的磁动势分量Fa，Fb，Fc以及空间矢量Fs也确定了。其本质就是将三相磁动势分别相α−β轴系投影，换句话说Fs是三相电流产生的磁动势在
α−β轴系的表现形式。
二、正文
根据电磁学原理，电机转矩正比于定，转子磁势矢量的幅值与其夹角δ的正弦的乘积，，由于永磁同步电机定子即：Te=CmFs×Frsinδ（其中Fs是定子磁势，Fr是转子磁势）
要对转子起拖动作用，上述定转子磁势夹角为定子超前转子永磁体夹角0D
δ=90D时，T有最大值。上述关系如下：
d
图2永磁同步电机定转子磁势
如上图2，定子磁势相对于A轴的电角度为：θ+δ，转子相对于A轴的电角度为：ωt由上面先验知识1可知，定转子磁势相对静止，即有θ=ωt。从永磁同步电机模型知要实现转矩的线性调节，必须使定子绕组在d轴上的电流分量为零在上图中的表现就是定子磁势在d轴上的分量为零，对应δ=90D。定子中通入的是正弦电流，那么三相电流为：ia=Imcos(δ+θ),ib=Imcos(δ+θ−120D),ic=Imcos(δ+θ−240D)代入上述结果则：ia=Imcos(90D+ωt)=−Imsin(ωt),ib=Imcos(90D+ωt−120D)=−Imsin(ωt−120D)
ic=Imcos(90D+θ−240D)=−Imsin(ωt−240D)。
（其实也能将定子磁势向A,B,C三相投影也能得到上述结果）
理解方法二：
用方法一在确定θ=ωt后，确定定子磁势超前转子磁势相位的方法。
3/2电流变换的矩阵：
⎡iα⎤1=⎢i⎥
0⎣β⎦
⎣⎡iA⎤⎢⎥iB ⎢⎥⎢⎣iC⎥⎦2s/2r变换。由于匝数相等，可以不考虑匝数。
⎡iq⎤⎡cosθ
⎢i⎥=⎢−sinθ⎣d⎦⎣sinθ⎤⎡iα⎤
⎢i⎥ ⎥cosθ⎦⎣β⎦
因此从三相坐标系到两相静止坐标系的转换方程为：
⎡id⎤⎡cosθ⎢i⎥=⎢
⎣q⎦⎣−sinθ
⎡
sinθ⎢1⎢
cosθ⎢0
⎢⎣2π2π⎤i⎡θθθcoscos(cos(⎥⎡A⎤−+
⎢33⎢i⎥⎢⎥B
2π2π⎥⎢⎥⎢−sinθ−sin(θ−−sin(θ+⎢i⎥⎢33⎥⎣⎦⎣C⎦θ为A相绕组于d轴之间的电角度。
在定子中通入如下三相电流：（假设成正弦的形式，此方法一样实用） ia=Imcos(ωt+δ),ib=Imcos(ωt+δ−2π/3),ic=Imcos(ωt+δ+2π/3)
2π2π⎤icosωcos(ω)cos(ω⎥⎡A⎤ttt−+i⎡⎤33⎢⎥若要得到i
d=0，则d==⎥⎢iB⎥ ⎢i⎥
2π2π⎥⎣q⎦)⎢−sinωt−sin(ωt−−sin(ωt+i⎥⎢33⎥⎣⎦
⎣C⎦
2π2π⎤Imcos(ωt+δ)⎤cosωtcos(ωtcos(ωt)⎥⎡−+33⎢⎥=⎥⎢Imcos(ωt+δ−2π/3)⎥
2π2π−sinωt−sin(ωt−−sin(ωt+)⎥⎢Icos(ωt+δ+2π/3)⎥⎦⎢33⎥⎣⎦⎣m
cos(ωt)×cos(ωt+δ)+cos(ωt−
2π2π
×cos(ωt+δ−2π/3)+cos(ωt+×cos(ωt+δ+2π/3)33
≡0，用三角函数中的和差化积知识可以整理上述方程为：
2π2π⎤1⎡4π4π⎤⎡
cosδ⎢cos2(ωt)+cos2(ωt−)+cos2(ωt+)⎥−⎢sin(2ωt)+sin(2ωt−)+sin(2ωt+)⎥
33⎦2⎣33⎦⎣2π2π⎤1⎡2π2π⎤⎡
=cosδ⎢cos2(ωt)+cos2(ωt−+cos2(ωt+⎥−⎢sin(2ωt)+sin(2ωt++sin(2ωt−⎥
33⎦2⎣33⎦⎣
由于任意θ有：sin(θ)+sin(θ+
2π2π
)+sin(θ−=0 33
2π2π⎤2
如是只能δ=90D。 上述等式cosδ⎡cos2(ωt)+cos2(ωt−++cos(ωt)0=⎢⎥
⎣
3
3⎦
上述可以说是用方程的方法解得，其实还有简单方法：
从上述变换中：
⎡⎤⎢cosθ⎥−sinθ
⎡iA⎤⎥
⎢i⎥=cos(θ−2π)−sin(θ−2π⎥⎡id⎤
⎢⎥⎢B⎥33⎥⎣iq⎦
⎢⎣iC⎥⎦2π2π⎥
⎢cos(θ+−sin(θ+⎥
33⎣⎦
ωt+φ)⎤cos()sin())ωωωiA=ititt−dq⎦
ctgφ=
id iq
除φ=π,id=0，（注意其取值范围）其他角度id≠0
2
上面的结果表明，要实现矢量控制且采用id=0的方案，要求通入定子三相电流角频率和转子的电角速度相等，相位上超前转子电角度
90°，两者是在电流环内完成。如下图：
图3永磁同步电机矢量控制框图
从本质上说任何电机调速的关键是对其转矩的控制，转速是通过转矩改变的，对于PMSM也是一样。在PMSM伺服系统中，无论是速度伺服控制还是位置伺服控制，都可以转化为对PMSM的转矩控制。而电机转矩Te=CmFsFrsinδ（可由三相电流的幅值Im和定转子的磁势夹角δ大小保证）。将图3中相关环节用传递函数代替后，上图可以看成是信号流图，可以将Parkc逆变换，Clark逆变换提前（此两个逆变换本质是从d-q轴到A，B，C三相的坐标变换）
。如下图：
（a）
还可进一步等效为：（注意A，B相之间的相位差）
(b)
图4等效框图
速度环本质上是在调节正弦三相电流的幅值。可以总结基于矢量控制永磁同步电机控制思想如下：速度环控制三相交流电的幅值，由于采用的是id=0的矢量控制δ=90D，速度环输出确定了PMSM的电磁转矩。当电磁转矩大于负载转矩，电机以一定加速度运行，转子转速控制定子磁势的转速即变频电源输出的频率（自控式同步电机）使同步电机不失步。当电机到达指令速度，经过调节，速度环决定的电磁转矩和负载转矩很接近，加速度基本等于零。转子转速基本不变，由其决定的变频电源输出频率也不变。电机就到达稳态平衡。（上述方法可以理解PMSM矢量控制具有自启动能力和不失步运行原理）
附录:（注意矢量的表述方式矢量＝⎡⎣基底⎤⎦×⎡⎣坐标⎤⎦）
如图1将三相磁势分别向旋转d−q轴系投影，可以得到如下结果： KKKKKKKKFs=Fd+Fq=Fα+Fβ=Fa+Fb+Fc
KKKKKKK
其中Fd,Fq是旋转矢量，Fa,Fb,Fc,Fα,Fβ是有固定方向的矢量。
2π2π⎤1⎡
jFs=⎢Fmacos(θ+δ)+αFmbcos(θ+δ−+α2Fmccos(θ+δ+⎥其中α=ej2π=−+
33⎦22⎣
=[
1
⎡
⎢1j]⎢
⎢0⎢⎣⎡⎤
⎢Fcos(θ+δ)⎥⎥K⎥K=Fα+Fβ
⎥⎥
⎥⎦
=[1
⎡3⎤
cos()Fθδ+⎢2ma⎥
j]⎢⎥其中[1⎢3Fsin(θ+δ)⎥
ma
⎢⎥⎣2⎦
j]规定的是α−β轴系基底，
⎡3⎤
cos()Fθδ+⎢2ma⎥
Fma=Fmb=Fmc为各相磁动势幅值，⎢⎥是Fs在α−β轴系的坐标。
⎢3Fsin(θ+δ)⎥
ma
⎢⎥⎣2⎦=3
Fma[12
⎡cosθj]⎢⎣sinθ
−sinθ⎤⎡cosδ⎤
⎢sinδ⎥
cosθ⎥⎦⎦⎣
上述[1
⎡cosθ
j]⎢⎣sinθ−sinθ⎤⎡cosδ⎤3
即是轴系的基底，F是空间磁动势Fs在d−qma⎢⎥⎥cosθ⎦2⎣sinδ⎦
d−q轴系的坐标。
3
=Fma[12
⎡cosθj]⎢⎣sinθ−sinθ⎤⎡cosθ
⎢cosθ⎥⎦⎣−sinθsinθ⎤⎡cosθ
⎥⎢sinθcosθ⎦⎣−sinθ⎤⎡cosδ⎤
⎢sinδ⎥
cosθ⎥⎦⎦⎣
=[1
⎡cosθ
j]⎢⎣sinθ−sinθ⎤⎡cosθ
⎢−sinθcosθ⎥⎦⎣
⎡3⎤
cos()Fθδ+ma⎥sinθ⎤⎢2⎢⎥ ⎥cosθ⎦⎢3
Fmasin(θ+δ)⎥⎢⎥⎣2⎦
⎡⎤
⎢Fcos(θ+δ)⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥⎦⎣
=[
1
⎡cosθ
j]⎢⎣sinθ−sinθ⎤⎡cosθ
⎢cosθ⎥⎦⎣−sinθ
⎡
sinθ⎤⎢1⎢cosθ⎥⎦⎢0
⎢⎣=[1
⎡cosθ
j]⎢⎣sinθ
⎡⎤
2π2π⎤⎢Fmacos(θ+δ)⎥⎡
cosθcos(θ−cos(θ+⎥⎢⎥−sinθ⎤⎢π233⎢⎥⎢Fmbcos(θ+δ−⎥⎥cosθ⎦⎢2π2π⎢3⎥−sinθ−sin(θ−−sin(θ+⎥⎢⎥⎢33⎥⎣⎦⎢Fcos(θ+δ+2π⎥
mc
3⎦⎣
从上面很容易看到坐标变换的结果。