论文1康托尔与集合论

目录

1引言 ................................................... 1

2康托集和集合论 ......................................... 1

2.1集合论与测度的几个定义定理 ................................. 1

2.1.1集类的相关定义 ........................................ 1

2.1.2单调函数与测度的构造的相关定义定理 .................... 4

2.1.3可测函数与分布的相关定 ................................ 5

2.2集合论的建立 ............................................... 7

2.2.1康托集的建立 .......................................... 7

2.2.2康托尔集的性质 ....................................... 10

2.3零测集和离散型随机变量的联系 .............................. 11

3结论 .................................................. 12

4结束语 ................................................ 12

参考文献 ............................................... 13

致谢 ................................................... 14

集合论与测度

数学系本0903班 黄丽芳

指导教师：陈金梅

摘 要：本文首先介绍了集合论中的一种特殊的集合——康托尔集，接着以零测集和可测函数为内容将概率空间和测度空间做了相应的联系，将概率论的相关知识与实变函数的相关知识做了很好的衔接。测度论是概率理论的必要基础，对比学习测度和分布变量为以后概率和统计专业知识的学习做了很好的旧知识的复习和新知识基础的巩固。文章给出的相关定义和定理为论文的知识提供了很好的理论依据。通过该论文的写作，不仅将此阶段前的集合基础知识做了复习，还对以后进一步的学习做了必要的准备。

关键词：集合论，测度论，学习，分布变量，可测函数。

Set theory and measurement

Huang Lifang

The Mathematics Department of 0903 class

Tutor : Chen Jinmei

Abstract:At first,this paper introduces a special set -- Cantor set theory of set. After that ,I choose the zero measure set and measurable function form the content of probability space and measure space.It is easy to connect the knowledge of probability theory with the real variable function . Measure theory is based on probability theory, and in turn reviewing the measure and the variables. It is necessary for this paper to provide a good theoretical basis related definitions and theorems . Through this paper , I review the set of knowledge prior to this stage.This paper will be able to play the very big imputes role to my further study.

Keywords: set theory, measure theory, learning, distributed variables, measurable function.

1引言

在数学分析积分（特别是重积分）理论中，面积（或体积）是基础概念。它具有可加性：即设几何体A，则几何体ABV(B)，B不相交且分别有体积V(A)，

（将几何体看成它的点的集合）的体积

V(AB)V(A)V(B)

我们还知道概率也具有可加性。事实上，还有很多客观事物具有可加性，例如，任何一种材料的重量（质量）；导体所负载的电荷；物体所受的压力等等。将这些可加性加以概括就成为测度的概念。所谓测度就是在一个给定集合的某一子集类C上定义的一个满足完全可加性的非负函数(A)，AC，即若An:nN是C中两两不交的元，且AnC，AC则

nN

(An)(An)

nNnN

（更广阔一些的情况是的值可以是向量）。

2康托集和集合论

2.1集合论与测度的几个定义定理

2.1.1集类的相关定义

12,1三等分，并移去中央的三分开区间I1,1,，定义1 设0,1R1，将0，33

12记其留存部分为F1，即F10,,1F1,1F1,2;再将F1中的区间0,及33

,1各三等分，移去中央三分开区间 1278I2,1,及I2,2,;再记F1中9999

121278留存部分为F2,即F20,,,,1F2,1F2,2F2,4一般地说，993399

设所得剩余部分为Fn,则将Fn中每个（互不相交）区间三等分，并移去中央三分开区间，再记其留存部分为Fn1，如此等等，从而我们得到集合列Fn，其中FnFn,1Fn,2...Fn,2n(n1,2,...)。作点集CFn，，我们称C为Cantor（三

n1

分）集。

定义2 为了对随机事件进行定量分析，必须把随机事件数量化。这就需要引进随机变量。这就为研究随机事件提供了很大的方便。随机变量是样本点的一个实值函数，这就为用随机变量的某些取值来表示随机事件的依据。为了掌握的统计规律，需要掌握取各种值的概率。例如：P(a)，P(ab)P(b)P(a)，P(c)P(c)所以对任意的实数x，必须知道P(x)的值，这种概率具有累积性，x不同，P(x)的值也不同。为此记为F(x)P(x)。

定义3 而定义在样本空间上，取之于实数域R，且只取有限个或可数个值的变量()，称作是一维（实值）离散型随机变量，简称为离散型随机变量。称P(a1)p1，i1,2,...为随机变量()的概率分布列，也称为分布律，有时也简称为分布。

离散随机变量()的分布列常常习惯地把它们写成表格的形式或矩阵形a1

式：p1

...a2p2

....... ......

定义4 设是一给定的非空集合。它的一些子集组成的类S称为的一个半代数，如果它满足：

(i) S,ØS;

(ii) 若A,BS,则ABS;

(iii)若A,A1S,A1A,则A2,...,AnS,A1,...An两两不交，且使AAk

k1n

显然，由（ii）知半集代数对有限交封闭。

定义5 的子集类S是半集代数的充要条件是(i)，(ii)及

（iii)若AS,则A1,...AnS它们两两不相交，且使

A:\AAkc

k1n.

定义6 的子集类称为它的集代数（亦称布尔代数），如果它满足： (i) ;

(ii) 若A,B,则AB,AB;

(iii)若A,则Ac:\A.

定义7 的子集类是的集代数的充要条件是下列诸组条件之一成立： （I） 定义6中的（i），（ii）及（ii)’：A,B,则AB; (II) 定义6中的（i），（ii）及（ii)’’:A,B,则AB; (III) 及（iii)’’’: A,B，则A\B.

定义8 设S是的半集代数，则

nn:Ak:A1,...AnS且两两不相交，nNAk:A1,...AnS,nN k1k1为包含S的最小集代数（即任一包含S的的集代数必包含）称此代数为由S生成的集代数。有时记作 (S).

定义9 称的子集类F为的代数（域），如果它满足： （i） F;

（ii） 若AF,则AcF;

（iii）若 AnF,nN,则AnF.

n1

定义10 的子集类称为系，如果它对交封闭。的子集类称为系（或Dynkin类），如果它满足：

（i） ;

（ii） 对真差封闭：即A,B,AB,，则B\A; （iii）对不降序列的并封闭：，即An:nN,An,则An.

n1

A:\AAkc

k1n.

定义6 的子集类称为它的集代数（亦称布尔代数），如果它满足： (i) ;

(ii) 若A,B,则AB,AB;

(iii)若A,则Ac:\A.

定义7 的子集类是的集代数的充要条件是下列诸组条件之一成立： （I） 定义6中的（i），（ii）及（ii)’：A,B,则AB;

(II) 定义6中的（i），（ii）及（ii)’’:A,B,则AB; (III) 及（iii)’’’: A,B，则A\B.

定义8 设S是的半集代数，则

nn:Ak:A1,...AnS且两两不相交，nNAk:A1,...AnS,nN k1k1

为包含S的最小集代数（即任一包含S的的集代数必包含）称此代数为由S生成的集代数。有时记作 (S).

定义9 称的子集类F为的代数（域），如果它满足：

（i） F;

（ii） 若AF,则AcF;

（iii）若 AnF,nN,则AnF.

n1

定义10 的子集类称为系，如果它对交封闭。的子集类称为系（或Dynkin类），如果它满足：

（i） ;

（ii） 对真差封闭：即A,B,AB,，则B\A;

（iii）对不降序列的并封闭：，即An:nN,An,则An.

n1

显然半集代数是系。

2.1.2单调函数与测度的构造的相关定义定理

定义11 设C是的一个子集类，:CR:0,且至少有一个AC，

使(A).

(1)若A,BC，ABC，AB都有

(AB)(A)(B)

则称为C上的可加测度；

(2)若nN,AkC,k1,2,...n两两不交且AkC都有

k1n

nn

Ak(Ak)， k1k1

则称为C上的有限可加测度；

显然若C为集代数，则C上可加测度一定是有限可加测度。

(3)若AnC,n1,2...两两不相交且AnC都有

n1



An(An) n1n1

则称为C上的测度（或可加测度）。

若AC，(A)R则称上述相应各种测度为有限的；若AC,An:nNC，使AnA且(An),nN，则称上述各相应测度

n1

为有限的。

若F为的一个代数，则称,F为可测空间，AF称为（中关于F的）可测集；若为F上的测度，则称,F,为测度空间；若为F上的测度且()1，则称为F上的概率（或概率测度），称,F,为概率空间（或概率场）。

定义12 设*为的外测度，A称为*可测集，如果D，有*(D)*(AD)*(AcD)。

2.1.3可测函数与分布的相关定

定义13 设,F,是一测度空间，若函数f:(F)使B,有

f1(B)::f()BF

其中F:F:FF，则称f为定义在上的可测函数；当为概率测度时，可测函数称为上的广义随机变量。若f取值于R时，则称f为上的有限实值可测函数（相应地，有限实值概率变量，简称为随机变量，记作r.v.）。

定义14 给定(,F).

（1）若AkF,k1,2,...n两两不交且Ak,ak,k1,2,...n为实数或（或复

k1n

数），称函数

f:akIAk,即f():akIAk(), k1k1nn

为F简单函数。

（2）若AnF,nN两两不交且An,an,nN为广义实数（或复数），则称

nN

函数

f:anIAn n1

为F初等函数。

2.1.4测度与概率的相关定理及推论

定理1 设C是的一个子集类，则存在一个唯一的的代数(C)，它包含C而且被包含C的任一代数所包含。(C)称为由C生成的代数或包含C的最小代数。

定理2 （集合形式的单调类定理）设的子集类C是系，(C)是包含C

的最小系，则

(C)(C).

因而，任何包含C的系(C).

定理3 X是可测空间(,F)上的有限实值可测函数（或随机变量）当且仅当xR有

X1(,x):X()xF.

定理4 X是(,F)到(E,)的可测映射（或随机元）的充要条件是存在的一个子集类C满足：

（1）(C);

（2）AC,X1(A)F.

定理5 X(X1,X2,...Xn):Rn是(,F)到(Rn,Bn)的可测映射的充要条件是x(x1,x2,...xn)Rn有

X1(,x):Xk()xk,k1,2,...nF.

定理6 测度空间(,F,)上的每一个n维实值可测函数X，根据下列关系决定一个n维Borel测度空间(Rn,Bn,X).

BBn,X(B):(X1(B))(XB).

若是概率，则X亦然。

推论1 设F:RnR且满足下述两个条件，则在(Sn)上有唯一的有限F满足F(a,b)b,aF,a,bRn,ab.F称为由F决定的

LS(LebesgueStieltjes)测度。

（1）ab,a(a1,...an)Rn,b(b1,...bn)Rn,

a,bF:(1)

k0nk 1i1...iknF(b(bilail)el)0 l1k

其中el为第l个坐标轴上的单位向量；

（2）F关于自变量的每个坐标右连续。

定理7 设(,F)，(E,)，(A,)是可测空间，X是(,F)到(E,)的可测映射，Y是(E,)到(A,)的可测映射，则XY为(,F)到(A,)的可测映射，其中(YX)():Y(X()).

定理8 设(,F)是可测空间，则

（1）任一F可测函数是F简单函数序列的极限；

（2）任一F可测函数是F初等函数序列的极限；

（3）任一有界F可测函数是F简单函数序列的一致极限；

（4）任一非负F可测函数是F非负不降F简单函数（F初等函数）序列的极限函数（相应地：一致极限）。

定理9 设为一集合，(E,)为可测空间，f:E，令(f)f1()（它是的一个代数）。则为从到的(f)可测函数的充要条件是有(E,)上的可测函数g存在，使得gf，并且若有限（有界），则可取g有限（相应地，有界）。

2.2集合论的建立

2.2.1康托集的建立

为了较清楚地了解康托在集合论上的工作，先介绍一下集合论产生的背景。集合论在19世纪诞生的基本原因，来自数学分析基础的批判运动。数学分析的发展必然涉及到无穷过程，无穷小和无穷大这些无穷概念。在18世纪，由于无穷概念没有精确的定义，使微积分理论不仅遇严重的逻辑困难，而且还使实无穷概念在数学中信誉扫地。19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述。在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论。正是这19世纪发展起来的极限理论相当完美的解决了微积分理论所遇到的逻辑困难。但是，柯西并没有彻底完成微积分的严密化。柯西思想有一定的模糊性，甚至产生逻辑矛盾。

19世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑矛盾的问题的原因在奠定微积

分基础的极限概念上。严格地说柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观，确实地建立在纯粹严密的算术的基础上。于是，许多受分析基础危机影响的数学家致力与分析的严格化。在这一过程中，都涉及到对微积分的基本研究对象─连续函数的描述。在数与连续性的定义中，有涉及关于无限的理论。因此，无限集合在数学上的存在问题又被提出来了。这自然也就导致寻求无限集合的理论基础的工作。总之，为寻求微积分彻底严密的算术化倾向，成了集合论产生的一个重要原因。康托在柏林大学的导师是Weierstrass，Cuman和Kronecker。库曼教授是数论专家，他以引进理想数并大大推动费马大定理的研究而举世闻名是。克罗内克是一位大数学家，当时许多人都以得到他的赞许为荣。外尔斯托拉斯是一位优秀教师也是一位大数学家。他的演讲给数学分析奠定了一个精确而稳定的基础。例如，微积分中著名的观念就是他首先引进的。正是由于这些人的影响，康托对数论较早产生兴趣，并集中精力对高斯所留下的问题作了深入的研究。他的毕业论文就是关于＋＋=0的素数问题的。这是高斯在《算术研究》中提出而未解决的问题。这片论文写得相当出色，它足以证明作者具有深刻的洞察力和对优秀思想的继承能力。然而，他的超穷集合论的创立，并没有受惠于早期对数论的研究。相反，他很快接受了数学家海涅的建议转向了其他领域。海涅鼓励康托研究一个十分有趣，也是较困难的问题：任意函数的三角级数的表达式是否唯一？

对康托来说这个问题是促使他建立集合论的最直接原因。函数可用三角级数表示，最早是1822年傅立叶提出来的。此后对于间断点的研究，越来越成为分析领域中引人注目的问题，从19世纪30年代起，不少杰出的数学家从事着对不连续函数的研究，并且都在一定程度上与集合这一概念挂起了钩。这就为康托最终建立集合论创造了条件。1870年，海涅证明，如果表示一个函数的三角级数在区间,中去掉函数间断点的任意小邻域后剩下的部分上是一致收敛的，那么级数是唯一的。至于间断点的函数情况如何，海涅没有解决。康托开始着手解决这个以如此简洁的方式表达的唯一性问题。于是，他跨出了集合论的第一步。 康托一下子就表现出比海涅更强的研究能力。他决定尽可能多地取消限制，当然这会使问题本身增加难度。为了给出最有普遍性的解，康托引进了一些新的概念。在其后的三年中，康托先后发表了五篇有关这一题目的文章。1872年当康托将海涅提出的一致收敛的条件减弱为函数具有无穷个间断点的情况时，他已

经将唯一性结果推广到允许例外值是无穷集的情况。康托1872年的论文是从间断点问题过度到点集论的极为重要的环节，使无穷点集成为明确的研究对象。 集合论里的中心，难点是无穷集合这个概念本身。从希腊时代以来，无穷集合很自然地引起数学家们和哲学家们的注意。而这种集合的本质以及看来是矛盾的性质，很难象有穷集合那样来把握它。所以对这种集合的理解没有任何进展。早在中世纪，人们已经注意到这样的事实：如果从两个同心圆出发画射线，那么射线就在这两个圆的点与点之间建立了一一对应，然而两圆的周长是不一样的。16世纪，伽俐略还举例说，可以在两个不同长的线段ab与cd之间建立一一对应，从而想象出它们具有同样的点。

他又注意到正整数可以和它们的平方构成一一对应，只要使每个正整数同它们的平方对应起来就行了:

1234......n......

234......n......

但这导致无穷大的不同的“数量级”，伽俐略以为这是不可能的.因为所有无穷大都一样大。

不仅是伽俐略，在康托之前的数学家大多不赞成在无穷集之间使用一一对应的比较手段，因为它将出现部分等于全体的矛盾.高斯明确表态：“我反对把一个无穷量当作实体，这在数学中是从来不允许的。无穷只是一种说话的方式… …”柯西也不承认无穷集合的存在。他不能允许部分同整体构成一一对应这件事。当然，潜无穷在一定条件下是便于使用的，但若把它作为无穷观则是片面的。数学的发展表明，只承认潜无穷，否认实无穷是不行的。康托把时间用到对研究对象的深沉思考中。他要用事实来说明问题，说服大家。康托认为，一个无穷集合能够和它的部分构成一一对应不是什么坏事，它恰恰反应了无穷集合的一个本质特征。对康托来说，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。它定义了基数,可数集合等概念。并且证明了实数集是不可数的代数数是可数的.康托最初的证明发表在1874年的一篇题为《关于全体实代数数的特征》的文章中,它标志着集合论的诞生。

集合论是现代数学中重要的基础理论。它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门，为这些学

科提供了奠基的方法，改变了这些学科的面貌。几乎可以说，如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解。所以集合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义，而且对现代数学的发展也有深远的影响。

2.2.2康托尔集的性质

(i) C是非空有界闭集。

因为每个Fn都是非空有界闭集，而且FnFn1，所以根据闭集套定理，可知C不是空集（实际上，Fn(n1,2,...)中每个闭区间的端点都是没有被移去的，即都是C中的点）显然，C是闭集。

（ii）CC''(EE''成为完全集)。

设xC，则xFn(n1,2,...)即对每个n，x属于长度为3n的2n个闭区间中的一个。于是对任意0，存在n，满足3n，使得Fn中包含x的闭区间含于(x,x)。此闭区间有两个端点，它们是C的点且总有一个不是x，这就说明x是C的极限点，故得C'C。由(i)知CC'。

(iii)C无内点。

设xC，给定任一区间(x,x)，取2n，因为xFn，所以Fn中必有某个长度为3n的闭区间Fn,k含于(x,x)。然而在构造C集的第n1步时，将移去Fn,k的中央三分开区间。这就说明(x,x)不含于C。

(iv)Cantor集的基数是c

事实上，将0,1中的实数按三进位小数展开，则Cantor集中x点与下述三进位小数集的元xi1ai,ai0,2一一对应。从而知C为连续基数集。（与0,1的二3i

进位小数比较）

我们还可以在0,1中做出总长度为（01是任意给定的数)的稠密开集。为此，取p(12)，并采用类似于Cantor集的构造过程：第一步，我

们移去长度为p的同心开区间；第二步，在留存的两个闭区间的每一个中，又移去长度长度为p2的同心开区间；第三步，在留存的四个开区间中再移去长度为p3的同心开区间；......继续此过程，可得一列移去的开区间，记其并集为G(开集)，则G的总长度为

112. pp2n1n1n

我们称Cp/G为类Cantor集（当p3时，Cp就是Cantor（三分）集）。C也是非空完全集，且没有内点。由此还易知：若要在Rn的单位方体0,10,1...0,1中构造具有类似性质的集合，则只需取CC...C（C是0,1中的类Cantor集）即可。（类Cantor集也称Harnack集）

2.3零测集和离散型随机变量的联系

随机变量是定义在样本空间上的一个单值实值函数。它与普通函数的区别是定义域是样本空间，不是实轴上的区间；随机变量的取值在试验前是不确定的，按统计规律给出取值概率，因而具有随机性，而普通函数的取值是由法则f确定的。

当X是一n维随机变量时，X1(B):BBn是F的一个子代数，它只包含与X有关的随机事件，所以通常称为由X产生的代数，记成(X)，P在(X)上的限制是只与X有关的概率规律，而PX表示的值分布的概率规律，所以称为X的概率分布测度，记作：

PXPX1.

由它知如下地决定X的概率分布函数：

F(x1,x2,...xn)F(x)PX(,x)P(Xx)

P(X1x1,X2x2,...Xnxn),

x(x1,x2,...xn)Rn.

以上讨论对复随机变量以至n维随机变量都适用的，由上面的讨论知n维随机变量X唯一决定概率分布测度PX，PX唯一决定概率分布函数F。反过来，由

推论1，知F唯一决定PX。但是PX并不能唯一决定X，即令在空间(Bn,Pn)上也不行。具有相同分布（测度，函数）的随机变量称为同分布的。以下是概率分布函数的相举例。

例 测度空间(,F,)，AF,定义

0,A,IA()则IA是F可测函数。 1,A,

因为xR,

,x1,

c:IA()xA,0x1,

,x0 F.

3结论

以上是对概率论和测度部分知识的总结，在总结中找到了很多相关的联系，在对概率空间和测度空间的总结中，体会到数学的学科内部有很大的联系，而其中的奥秘还需要我们在以后的学习中不断的总结和反思，只有这样，才能更好的

学习和利用所学知识解决实际问题，实现学科的连通。

4结束语

本文浅显的介绍了集合论的相关知识，测度的一些知识，以及测度和概率的相关联系，由于本人学历较低，专业知识不是很丰富，其中存在的不足和问题还非常欢迎业内人士的指正。

参考文献

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[10] 曹术存,王全来. 关于布莱尔积分思想研究[J]. 大学数学，2008，06（06）22—34.

致谢

毕业就想浮木，每当六月总会悄悄的浮起。时间就像念珠，拨动中会让我们明白深藏在其中的真谛。四年大学生活更是这样意犹未尽的即将结束，当看到毕业论文完整的呈现在我面前时，我的双眼还是不自觉的湿润了。它誊写了四年来我大学的学习，它写意出这短暂的数学旅途中我的点滴收获。大学，让我学会了如何求学、如何进行科学研究甚至如何做人。暮然回首，四年的短暂，四载的难忘，四个春夏秋冬的感动，太多的人和我擦肩而过，但更多的人给我的是帮助与鼓励。他们，她们是我的榜样，也是我的动力。在此我将对我的恩师们，还有所有的同学们表示我的谢意！

首先，衷心感谢我的恩师陈金梅老师对我的悉心教诲和指导！在跟随陈老师的这段时间里，我不仅跟陈老师学到了许多专业知识，同时也学习到了她严谨求实、一丝不苟的治学态度和踏踏实实、孜孜不倦的工作精神，它将使我受益终生。在此我对陈老师老师的教育和培养表示衷心的感谢！

同时，我还还要感谢学校领导和数学系的师生对我日常生活的关心和帮助，思想上的激励和启发，以及为我提供了良好的学习环境。谢谢你们！

最后，我要感谢我的家人在这些年来给予我的大力支持，尤其要感谢我的父母，他们一直是我最最坚强的思想后盾，是他们肯定了我的坚持，默认了我的执着，让我全身心投入到论文的写作中去。这样，才使得本文流畅、整洁。