历史波动率和隐含波动率
1 历史波动率
历史波动率反映了过去股价波动程度的大小，可根据股价的历史数据进行客观度量。 根据B-S 期权定价理论，股票价格运动为几何布朗运动，运动过程可用如下随机过程描述：
dS =μSdt +σSdz （1）
dS =μdt +σdz （2） S 两边同除以S 可得：
其中dz 为一标准布朗运动，该项为股价随机性的来源。
接下来考虑运动过程ln S ,由于S 为一随机过程，显然Ln S也是一随机过程，并且根据
伊藤引理可得：
d ln S =(μ-σ2
2) dt +σdz (3)
在一段小的时间间隔∆t 中 ，由（2）式可得
可见，收益率
换句话说
由（3）式可得
∆S =μ∆t +σ∆z =μ∆t +σε∆t (4) S ∆S 2也具有正态分布特征，其均值为μ∆t ，标准差为σ∆t ，方差为σ∆t 。S ∆S ~φ(μ∆t , σ∆t ) （5） S σ22) ∆t +σ∆z =(μ-∆ln S =(μ-σ2
2) ∆t +σε∆t （6）
σ2
) ∆t ，标准差为σ∆t ，方差为σ2∆t 。可见，∆ln S 具有正态分布特征，其均值为(μ- 2
也即
σ2
) ∆t , σ∆t ) （7） ∆ln S ~φ((μ-2
∆ln S 为连续复利收益率，考虑连续复利的情况
S t +∆t =S t ⋅e r ∆t
（8）
r ∆t 为时间∆t 内的连续复利收益率，显然等于∆ln S 。
由收益率∆S 和连续复利收益率∆ln S 的标准差为σ∆t ，便可求得波动率σ。 S
案例
现已获得ETF50指数基金的历史交易数据，试求2015年3月2日这一天的年历史波动率。
解：首先选取2014年3月3日至2015年3月2日的历史成交数据，根据这些数据算出在这一年时间中每一天的收益率∆S 和连续复利收益率∆ln S ，然后求出它们的标准差即S
为σ∆t ，最后再除以∆t ，便可得到波动率σ。
注意：这里∆t 表示一个交易日，需要将其年化，即为1/237年
最终运算结果为，以收益率算得波动率为0.243121，而以连续复利收益率算得波动率为0.241397811，与同花顺结果0.247基本一致。
2 隐含波动率
隐含波动率反映了市场对未来这段时间标的资产波动率的预期，它是由期权价格反推出的波动率。看涨期权的定价公示为
其中
也即期权价格C 为波动率σ的函数C ＝C （σ）。反过来根据C 的价值也可算出σ的值，根据期权的实际价格C 计算出的σ便为隐含波动率。
案例 50ETF 指数期权隐含波动率
2015年3月2日，50ETF 指数值S ＝2.441，市场无风险利率r ＝0.06，3月份到期期权剩余期限T-t=23天， 执行价格X=2.2的欧式看涨期权价格为c=0.25，试求该期权隐含波动率。
解：用excel 的单变量求解或规划求解功能，可算出期权价格c=0.25时，对应的隐含波动率σ＝0.2