解三角形
1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求
其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设∆ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有以下关系成立： （1）边的关系：a+b>c，a+c>b，b+c>a（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：A+B+C=π，0
sinA>0， sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC，sin
A+B2
=cos
C2
（3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形
板块一：正弦定理及其应用
1．正弦定理：
asinA
=
bsinB
=
csinC
=2R，其中R为∆ABC的外接圆半径
2．正弦定理适用于两类解三角形问题：
（1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；
（2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解
的可能），再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边
总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能
如图，在∆ABC中，已知a、b、A
（1）若A为钝角或直角，则当a>b时，∆ABC有唯一解；否则无解。 （2）若A为锐角，则当a实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。
板块二：余弦定理及面积公式
1．余弦定理：在∆ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有
2
⎧b⎪cosA=222
⎧a=b+c-2bccosA⎪
2
⎪2⎪a22
余弦定理：⎨b=a+c-2accosB ， 其变式为：⎨cosB=
⎪222⎪c=a+b-2abcosC2⎩⎪a
⎪cosC=⎩
+c-a2bc+c-b2ac+b-c2ab
22
22
2
2
2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题：
（1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或
由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角；
（2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦
定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决
3．三角形的面积公式 （1）S∆ABC=（2）S∆ABC=
1212aha=
12bhb=12
12
； chc （ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）
12
acsinB
absinC=bcsinA=
（3）S∆ABC=2R2sinAsinBsinC （R为外接圆半径） （4）S∆ABC=（5）S∆ABC=（6）S∆
ABC=
1abc4R
；
12
(a+b+c)
p(p-a)(p-b)(p-c) 其中p=
r⋅l（r是内切圆的半径，l是三角形的周长）
板块三：解三角形综合问题