1. 【2012高考真题辽宁理19】(本小题满分12分)
电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”。
(Ⅰ) 根据已知条件完成下面的2⨯2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关？
(Ⅱ) 将上述调查所得到的频率视为概率。现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽
样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X 。若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E (X ) 和方差D (X ) 。 n (n 11n 22-
n 12n 21) 2
附：χ=, n 1+n 2+n +1n +22
【答案】
【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列，期望E (X ) 和方差D (X ) ，考查分析解决问题的能力、运算求解能力，难度适中。准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键。
9. 【2012高考真题四川理17】(本小题满分12分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为1和p 。 10
49，求p 的值； 50
（Ⅱ）设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为列及数学期望E ξ。
【答案】本题主要考查独立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查实际问题的数学建模能力，数据的分析处理能力和基本运算能力
.
【解析】
10．【2012高考真题湖北理】（本小题满分12分）
根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X （单位：mm ）对工期的影响如下表：
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：
（Ⅰ）工期延误天数Y 的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.
【答案】（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：
P (X
P (700≤X
P (X ≥900) =1-P (X
所以Y 的分布列为：
于
是，
E (Y ) =0⨯0.3+2⨯0.4+6⨯0.2+10⨯0.1=3；
D (Y ) =(0-3) 2⨯0.3+(2-3) 2⨯0.4+(6-3) 2⨯0.2+(10-3) 2⨯0.1=9.8.
故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.
（Ⅱ）由概率的加法公式，P (X ≥300) =1-P (X
又P (300≤X
P (300≤X
6故在降水量X 至少是300mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是. 7
11. 【2012高考江苏25】（10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，
ξ=0；ξ的值为两条棱之间的距离；ξ=1．当两条棱相交时，当两条棱平行时，当两条棱异面时，
（1）求概率P (ξ=0) ；
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ) ．
【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，
∴共有8C 32对相交棱。
8C 328⨯34=。 ∴ P (ξ=0)=2=C 126611
（2）若两条棱平行，则它们的距离为16对， ∴ P (ξ=661==2C 126611，P (ξ=1)=1-P (ξ=0) -P (ξ=-416-=。 111111
∴随机变量ξ的分布列是：
∴其数学期望E (ξ)=1⨯61+ 1111【考点】概率分布、数学期望等基础知识。
【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率P (ξ=0) 。
（2）
6对，
即可求出P (ξ，从而求出P (ξ=1) （两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量ξ的分布列，求出其数学期望。
12. 【2012高考真题广东理17】（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]．
（1）求图中x 的值；
（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ得数学期望．
【答案】本题是在概率与统计的交汇处命题，考查了用样本估计总体等统计知识以及离散型随机变量的分布列及期望，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，难度中等。
【解析】
13. 【2012高考真题全国卷理19】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．
乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换. 每次发球，胜方得1分，负方得0分. 设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立. 甲、乙的一局比赛中，甲先发球. （Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.
【答案】
14. 【2012高考真题浙江理19】(本小题满分14分) 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出3球所得分数之和．
(Ⅰ) 求X 的分布列；
(Ⅱ) 求X 的数学期望E (X ) ．
【答案】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。
(Ⅰ) X的可能取值有：3，4，5，6． 31C 5C 52C 4520 P (X =3) =3=； P (X =4) =3=； 42C 942C 9
123C 5C 415C 42P (X =5) ==； P (X =6) =3=． 342C 9C 942
故，所求X 的分布列为
(Ⅱ) 所求X 的数学期望E (X ) 为：
E (X ) ＝∑i ⋅P (X =i ) =3⨯
i =46510
5191+4⨯+5⨯+6⨯+=． 4221142121
15. 【2012高考真题重庆理17】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分. ）
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票. 约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为
投篮互不影响.
（Ⅰ） 求甲获胜的概率；
（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望
【答案】
11，乙每次投篮投中的概率为，且各次32
16. 【2012高考真题江西理29】（本题满分12分）
如图，从A 1（1,0,0），A 2（2,0,0），B 1（0，2，0），B 2（0,2,0），C 1（0,0,1），C 2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V （如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）。
（1）求V=0的概率；
(2)求V 的分布列及数学期望。
【答案】
【点评】本题考查组合数，随机变量的概率，离散型随机变量的分布列、期望等. 高考中，概率解答题一般有两大方向的考查. 一、以频率分布直方图为载体，考查统计学中常见的数据特征：如平均数，中位数，频数，频率等或古典概型；二、以应用题为载体，考查条件概率，独立事件的概率，随机变量的期望与方差等. 来年需要注意第一种方向的考查.
17. 【2012高考真题湖南理17】本小题满分12分）
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.
（Ⅰ）确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.
（注：将频率视为概率）
【答案】（1）由已知, 得25+y +10=55, x +y =35, 所以x =15, y =20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得
153303251=
, p (X =1.5) ==, p (X =2) ==, [1**********]004
201101=, p (X =3) ==. p (X =2.5) =100510010
X 的分布为 p (X =1) =
X 的数学期望为
E (X ) =1⨯33111+1.5⨯+2⨯+2.5⨯+3⨯=1.9. 20104510
（Ⅱ）记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X i (i =1,2) 为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则
P (A ) =P (X 1=1且X 2=1) +P (X 1=1且X 2=1.5) +P (X 1=1.5且X 2=1) .
由于顾客的结算相互独立，且X 1, X 2的分布列都与X 的分布列相同，所以
P (A ) =P (X 1=1) ⨯P (X 2=1) +P (X 1=1) ⨯P (X 2=1.5) +P (X 1=1.5) ⨯P (X 2=1) =3333339⨯+⨯+⨯=. [1**********]080
9. 80故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为
【解析】
【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力. 第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知 25+y +10=100⨯55%,x +y =35, 从而解得x , y ，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得
该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.
18. 【2012高考真题安徽理17】（本小题满分12分）
某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有n +m 道试题，其中有
试题库中A 类试题的数n 道A 类型试题和m 道B 类型试题，以X 表示两次调题工作完成后，
量。
（Ⅰ）求X =n +2的概率；
（Ⅱ）设m =n ，求X 的分布列和均值（数学期望）。
【答案】本题考查基本事件概率、条件概率，离散型随机变量及其分布列，均值等基础知识，考查分类讨论思想和应用于创新意识。
【解析】（I ）X =n +2表示两次调题均为A 类型试题，概率为
（Ⅱ）m =n 时，每次调用的是A 类型试题的概率为p =
随机变量X 可取n , n +1, n +2 n n +1⨯ m +n m +n +21， 2
P (X =n ) =(1-p )
2=
1112，P (X =n +1) =2p (1-p ) =，P (X =n +2) =p = 4
111
EX =n ⨯+(n +1) ⨯+(n +2) ⨯=n +1。
424
n n +1
⨯答：（Ⅰ）X =n +2的概率为， m +n m +n +2
（Ⅱ）求X 的均值为n +1。
19. 【2012高考真题新课标理18】（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，
如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元) 关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式.
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，
数学期望及方差；
（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？
请说明理由. 【答案】（1）当n ≥16时，y =16⨯(10-5) =80 当n ≤15时，y =5n -5(16-n ) =10n -80
⎧10n -80(n ≤15) 得：y =⎨(n ∈N )
80(n ≥16) ⎩
（2）（i ）X 可取60，70，80
P (X =60) =0.1, P (X =70) =0.2, P (X =80) =0.7
X
222
DX =16⨯0.1+6⨯0.2+4⨯0.7=44
（ii ）购进17枝时，当天的利润为
y =(14⨯5-3⨯5) ⨯0.1+(15⨯5-2⨯5) ⨯0.2+(16⨯5-1⨯5) ⨯0.16+17⨯5⨯0.54=76.4
76.4>76 得：应购进17枝
20. 【2012高考真题山东理19】（19）（本小题满分12分）
先在甲、乙两个靶. 某射手向甲靶射击一次，命中的概率为分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为
3
，命中得1分，没有命中得04
2
, 每命中一次得2分，没有命中得0分. 该射手每3
次射击的结果相互独立. 假设该射手完成以上三次射击. （Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX . 【答案】
21. 【2012高考真题福建理16】（本小题满分13分）
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：
将频率视为概率，解答下列问题：
（I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； (II)若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；
（III ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由. 【答案】
22. 【2012高考真题北京理17】（本小题共13分）
近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了
： （Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；
（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a , b , c 其中a ＞0，a +b +c =600。当数据a , b , c 的方差s 最大时，写出a , b , c 的值（结论不要求证明），并求此时s 的值。 （注：s =
2
2
2
1
[(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ +(x n -x ) 2]，其中x 为数据x 1, x 2, , x n 的平均数） n
4002
=
6003。
解：（1）由题意可知：
（2）由题意可知：
200+60+403
=
100010。
1
（3）由题意可知：s 2=(a 2+b 2+c 2-120000) ，因此有当a =600，b =0，c =0时，有
3s 2=80000．
23. 【2012高考真题陕西理20】（本小题满分13分）
某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：
从第一个顾客开始办理业务时计时。
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（2）X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望。 【答案】
24. 【2012高考真题天津理16】（本小题满分13分）
现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择. 为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=X -Y ，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.
【答案】
1. (2009年广东卷文) （本小题满分13分）
随机抽取某中学甲乙两班各10名同学, 测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学, 求身高为176cm 的同学被抽中的概率.
【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160:179之
间，而乙班身高集中于170:180 之间。因此乙班平均身高高于甲班;
158+162+163+168+168+170+171+179+179+182
=170
10
122222
甲班的样本方差为[(158-170) +(162-170)+(163-170)+(168-170)+(168-170)
10
(2) = +(170-17)0+(
2
17-1)170(+
2
-17)9
2
(1+70-)17(9+170-8257 )＝1
22
170]
（3）设身高为176cm 的同学被抽中的事件为A ；
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：（181，173） （181，176） （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173） (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件；
∴P (A )=
42
= ； 105
2. （2009广东卷理）（本小题满分12分）
根据空气质量指数API （为整数）的不同，将空气质量分级如下表：
可
(50, 100]，对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API 数据按照区间[0, 50]，
(100, 150]，(150, 200]，(200, 250]，(250, 300]进行分组，得到频率分布直方图如图5.
（1）求直方图中x 的值；
（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；
（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. （结果用分数表示．已知5=7812，2=128，
7
7
327
++ [1**********]
38123
+=，365=73⨯5） [1**********]5
32738123++++) ⨯50=1-⨯50，解解：（1）由图可知50x =1-(
[***********]59125
119
得x =；
18250
1192
⨯50+⨯50) =219； （2）365⨯(
18250365+
（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为
1192219332⨯50+⨯50==，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为1-=，
[1**********]555
一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为1-C 7() () -C 7() () =
7
25
7
35
06
25
6
35
1
76653
.
78125
20．(湖北省荆州市2011年3月) （本小题满分12分）
盒子里装有6件包装完全相同的产品，已知其中有2件次品，其余4件是合格品。为了
找到2件次品，只好将盒子里的这些产品包装随机打开检查，直到两件次品被全部检查或推断出来为止。
（1）求经过3次品检查才将两件次品检查出来的概率；
（2）求两件次品被全部检查或推断出来所需检查次数恰为4次的概率。