山东省胶南市第一中学 韩朝泉
函数思想渗透于高中数学的方方面面，在直线与圆的方程中，我们也不难找到它的身影．
一．求最值问题中的函数
最值问题是一种常见问题，求解往往可以转化为求函数的最值．在直线与圆的方程中，有些最值问题可以借助于圆的方程特征及几何特征，利用函数的思想加以解决．
例１．已知实数
满足
．
（１）求
的最大值和最小值；
（２）求
的最大值和最小值．
分析：首先，
表示的图形是圆．（１）由已知可得
，这是一个关于
的二次函数，因此，问题转化为求二次函数的最值问题．（２）设
，则
可以看作关于
或
的函数，转为求函数的最值问题；（３）设
，可结合几何意义求函数的最值．
解：
化为：
，表示圆心在
，半径
的圆．
（１）设
，由
得，
，即
，这是一个关于
的一次函数，由于
，所以，当
时，
，当
时，
．
（２）设
，此函数的最值可以借助于
几何意义：圆上的点
与定点
的连线的斜率．如图１所示，由Ａ作圆的切线，设切线的方程为
，即
，由圆心Ｃ到直线的距离等于圆的半径，得
，解得
，所以，
的最大值为
，最小值为
．
二．含参数问题中的函数思想
含参数的问题，常常要对参数进行讨论，或求参数范围等，这时函数的思想可以发挥重要作用．
例２．已知方程
表示圆．试求圆的半径的取值范围．
分析：将圆的半径用参数
表示出来，得到关于
的函数，然后利用函数的性质求范围．
解：设圆的半径为
，则
．
由
，得
．
所以，当
时，
；即圆半径
的范围是
．
三．求轨迹方程中的函数思想
求轨迹方程的方法有很多，基本上都会用到函数的思想．尤其是参数法求轨迹方程时，函数的思想体现得更为明显．
例３．设圆的方程为
，试求圆心Ｃ的轨迹方程．
分析：圆心的横坐标与纵坐标都可以用参数
表示出来，因此，消掉参数
即可求出圆心的轨迹方程．要注意自变量
的范围，由于
表示为参数
的函数，所以，其范围是与
的范围相关的，可以理解为函数的值域．
解：设圆心Ｃ
，依题意，
．
由（１）得
，代入（２），得
．
由例２可知：
，所以，
．故圆心Ｃ的轨迹方程为
（
）．
有变量就有函数，函数思想为我们解决问题提供了方便，渗透于数学的各个知识点中．通过对各知识点中函数思想的认识，一方面可以加深我们对函数思想的理解，另一方面也可以增强我们对问题本质的理解与把握，同时还可以提高我们分析问题，解决问题的能力．