专题十、数列与极限（二）
数列通项公式的求解方法
a n +1与a n 的关系（或者a n 与a n -1的关系）。
求数列的通项公式a n 的求解主要有以下几种题型：
题型1：递推式为a n +1=a n +d 及a n +1=qa n （d , q 为常数）。 题型2：利用求和公式S n =f (n ) 来求a n 。
题型3：递推式为a n +1-a n =f (n ) ，f (n ) 一般为一次函数、二次函数或可裂解的分式函数。 题型4：递推式为
a n +1
=f (n ) 。 a n
题型5：递推式为a n +1=pa n +q （其中p 、q 均为常数，pq (p -1) ≠0）。 题型6：递推式为a n +1=pa n +q n （其中p 、q 均为常数且pq (p -1)(q -1) ≠0）。 题型7：递推式为a n +1=pa n +qn +b (p ≠1、0，qb ≠0) 。 或a n +1=pa n +q +b (p ≠1、0，qb ≠0) 。 题型8：递推式为a n +1=
n
f (n ) a n
。
g (n ) a n +h (n )
r
题型9：递推式为a n +1=pa n (p >0, a n >0) 。
题型10：递推式形式上较复杂时，用换元法求a n 。
n 题型11：递推式为a n +1+a n =pn +q 或a n +1⋅a n =pq 。 （双数列）
题型12：周期型数列。
题型13：递推式为a n +2=pa n +1+qa n （其中p 、q 均为常数）。 题型14：递推式为a n +1=
pa n +q h
（p 、q 、r 、h 为常数，且ph ≠qr , r ≠0, a 1≠-）。
r ra n +h
注意：题型13和题型14都可以用特征根法求解。
题型1：递推式为a n +1=a n +d 及a n +1=qa n （d , q 为常数），运用公式法求a n 。
例1. 已知无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，并且a n +S n =1(n ∈N ) ，求数列{a n }的通项公式。
*
题型2：利用求和公式S n =f (n ) ，求出a n =⎨
(n =1) ⎧S 1
，注意验证首项。
S -S (n ≥2) n -1⎩n
例2. 已知数列{a n }的前n 项和为：S n =n 2+n +1，求数列{a n }的通项公式。
题型3：递推式为a n +1-a n =f (n ) a n 。其中，f (n ) 一般为一次函数、二次函数或可裂解的分式函数。 例3. 已知数列{a n }中，a 1=
题型4：递推式为
11, a n +1=a n +2，求数列{a n }的通项公式。 24n -1
a n +1
=f (n ) a n 。 a n
例4. 已知数列{a n }满足a n +1=2(n +1)5n ⨯a n ，a 1=3，求数列{a n }的通项公式。
题型5：递推式为a n +1=pa n +q （其中p 、q 均为常数，(pq (p -1) ≠0) ），把原递推公式转化为：a n +1+x =p (a n +x ) ，其中x =。
例5. 在数列{a n }中，a 1=1，对于n >1n ∈N *有a n =3a n -1+2，求数列{a n }的通项公式。
⎧q ⎫q
，从而构造出⎨a n +⎬为新的等比数列来求a n
p -1p -1⎭⎩
()
题型6：递推式为a n +1=pa n +q n （其中p 、q 均为常数且pq (p -1)(q -1) ≠0）， 方法一：在原递推式两边同除以q n +1，得：
a n a n +1p a n 1
，引入数列，令，{}b =⋅+b =n n n n +1n
q q q q q
得：b n +1=
p 1p
，再通过题型5a n 。 b n +≠1）
q q q
注意：当
p 11p
，b n +1=b n +=b n +，此时{b n }为等差数列，求出b n 后自=1，即p =q 时，
q q q q
然就可以求出a n 。 方法二：可设a n +1+x ⋅q
n +1
=p (a n +x ⋅q n ) 解出x =
1
(p -q ≠0) , 从而转化为p -q
⎧⎫1
。 ⋅q n ⎬是公比为p ⎨a n +
p -q ⎩⎭
注意：当p -q =0，即p =q 时，可通过构造等差数列法求出a n 。
例6. 已知数列{a n }满足a n +1=2a n +3⨯5n ，a 1=6，求数列{a n }的通项公式。
题型7：递推式为a n +1=pa n +qn +b (p ≠1、0，qb ≠0) 或
、0，qb ≠0) 时，可设a n +1+x (n +1) +y =p (a n +xn +y ) a n +1=pa n +q n +b (p ≠1
或a n +1+x ⋅q
n +1
+y =p (a n +x ⋅q n +y ) ，解出x 、y ，从而转化为{a n +xn +y }或
{a
n
+x ⋅q n +y 是公比为p a n 。
1
，2a n +1-a n =n ，求数列{a n }的通项公式。 2
}
例7.1. 已知数列{a n }中，a 1=
例7.2. 已知数列{a n }满足a n +1=3a n +5⨯2n +4，a 1=1，求数列{a n }的通项公式。
题型8：递推式为a n +1=
f (n ) a n
，将等式两边取倒数后有，
g (n ) a n +h (n )
g (n ) a n +h (n ) h (n ) 1g (n ) 11
，设b n =，则可转化为b n +1=pb n +q 题型，再==⋅+
a n +1f (n ) a n f (n ) a n f (n ) a n
a n 。 例8. 在数列{a n }中，当a 1=1, a n +1=
r
题型9：递推式为a n +1=pa n (p >0, a n >0) ，将等式两边取对数后有lg a n +1=lg p +r lg a n ，
2a n
时，求数列{a n }的通项公式。
2a n +3
令b n =lg a n ，则有b n +1=rb n +lg p a n 。
例9. （2002上海）若数列{a n }中，a 1=3且a n +1=a n （n 是正整数），则a n =______________
题型10：对于递推式很复杂的数列，可以用换元法来求a n 例10. 已知数列{a
n }满足a n +1=
题型11：递推式为a n +1+a n =pn +q 或a n +1⋅a n =pq n ，可转化为{a 2n -1}与{a 2n }（双数列）是等差或等比数列来求解a n 。递推式中涉及奇偶项时，一般可转化为双数列来研究。 例11. （1）在数列{a n }中，a 1=1, a n +1=6n -a n ，求数列{a n }的通项公式。 （2）在数列{a n }中，a 1=1, a n ⋅a n +1=3n ，求数列{a n }的通项公式。
。
2
1
(1+4a n +，a 1=1，求数列{a n }的通项公式。 16
题型12：周期型数列由递推式计算出前几项，寻找规律和得出周期后求出a n 。
例12. 若数列{a n }满足a n +1
1⎧
2a , (0≤a ≤) n ⎪6⎪n 2=⎨，若a 1=，则a 20的值为________
7⎪2a -1, (1≤a
n n ⎪2⎩
题型13：递推式为a n +2=pa n +1+qa n （其中p 、q 均为常数），可用特征根法求解。 方法一(构造等比数列法) ：a n +2=pa n +1+qa n 变形为a n +2+x ⋅a n +1=y (a n +1+x ⋅a n ) ，即
a n +2=(y -x ) a n +1+xy ⋅a n ，则y -x =p 且xy =q ，解得x 、y ，于是数列a n +1+x ⋅a n 是公
比y 为的等比数列，再利用叠加法求出a n 。
方法二(特征根法) ：对于由递推公式a n +2=pa n +1+qa n ，a 1=α, a 2=β给出的数列{a n }，方程x 2-px -q =0，叫做数列{a n }的特征方程。若x 1, x 2是特征方程的两个根，当x 1≠x 2时，
n n 数列{a n }的通项为a n =Ax 1，其中A ，B 由a 1=α, a 2=β决定（即把a 1, a 2, x 1, x 2和+Bx 2n
，得到关于A 、B 的方程组，求出A 、B 即可）；当x 1=x 2时，数n =1, 2，代入a n =Ax 1n +Bx 2
n
列{a n }的通项为a n =(A +Bn ) x 1，其中A ，B 由a 1=α, a 2=β决定（即把a 1, a 2, x 1, x 2和
{}
。 n =1, 2，代入a n =(A +Bn ) x 1n ，得到关于A 、B 的方程组，求出A 、B 即可）
例13. 在数列{a n }中，a 1=-1, a 2=2，当n ∈N ，a n +2=5a n +1-6a n ，求{a n }数列的通项公式。
题型14：递推式为a n +1=设特征方程x =
pa n +q h
（p 、q 、r 、h 为常数，且ph ≠qr , r ≠0, a 1≠-），可
r ra n +h
px +q
(特征根法) ，即rx 2+(h -p ) x -q =0，当方程有且仅有一根x 0时，
rx +h
则⎨
⎧
1⎫11
，代入a 1, a 2的=+c （其中c 是待定常数）⎬是等差数列，可令
a n +1-x 0a n -x 0⎩a n -x 0⎭
⎧a n -x 1⎫
⎬是等比数列，可令
a -x ⎩n 2⎭
值可求得c 值；当方程有两个相异的根x 1、x 2时，则⎨
a n +1-x 1a -x 1
（其中c 是待定常数），代入a 1, a 2的值可求得c 值，最终求出a n 。此=c ⋅n
a n +1-x 2a n -x 2
方法又称不动点法。
例14. 已知数列{a n }满足a 1=2, a n =
a n -1+2
(n ≥2) ，求数列{a n }的通项公式。
2a n -1+1
解：其特征方程为x =
x +22
，化简得2x -2=0，解得x 1=1, x 2=-1 2x +1
41a n +1-1a n -1
a =c =-=c ⋅令，由a 1=2, 得2，可得，
53a n +1+1a n +1
数列⎨
⎧a n -1⎫1a 1-11
-=是以为首项，以为公比的等比数列， ⎬
3a 1+13⎩a n +1⎭
n -1
a -11⎛1⎫
∴n =⋅ -⎪a n +13⎝3⎭
变式训练：
3n -(-1) n
，∴a n =n n ．
3+(-1)
1. 设数列{a n }的前项的和S n =
1
(a n -1) (n∈N *) ． 3
（1）求a 2的值；（2）求数列{a n }的通项公式。
2. （2006陕西）由正数构成的数列{an }，其前n 项和S n 满足10S n =an +5an +6且a 1，a 3，a 15成等比数列，求数列{an }的通项公式。
3. 已知数列{a n }满足a n +1=a n +2⨯3n +1，a 1=3，则数列{a n }的通项公式为_________
4. （2000全国）设数列{a n }是首项为1的正项数列，且(n +1) a n +1-na n +a n +1a n =0，则数列{a n }的通项公式a n =______________________
5. （2006福建）已知数列{a n }满足a 1=1, a n +1=2a n +1(n ∈N *). （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若数列{b n }满足4b 1-14b 2-1 4b n -1=(a n +1) b n (n ∈N *), 证明：数列{b n }是等差数列； （3）证明：
6. 已知数列{a n }满足a n +1=2a n +3⨯2n ，a 1=2，则数列{a n }的通项公式为_____________ 7. （2006全国）设数列{a n }的前n 项的和S n =
2
2
2
a n 1a 1a 2n
-
412
a n -⨯2n +1+， 333
n
2n 3
（I ）求首项a 1与数列{a n }的通项公式；（II ）设T n =，证明：∑T i
2 S n i =1
8. 已知数列{a n }满足a n +1=3a n +2⨯3n +1，a 1=3，则数列{a n }的通项公式为__________ 9. 在数列{a n }中，a 1=
3
，2a n -a n -1=6n -3，则数列{a n }的通项公式为_____________ 2
10. 若数列{a n }中，a 1=1，S n 是数列{a n }的前n 项之和，且S n +1=则数列{a n }的通项公式为________________ 11. （2006江西）已知数列｛a n ｝满足：a 1=
S n
（n ≥1），
3+4S n
3na n -13
(n ≥2, n ∈N ) ， ，且a n =
22a n -1+n -1
则数列{a n }的通项公式为___________________
12. （2006山东）已知a 1=2，点(a n , a n +1) 在函数f (x ) =x 2+2x 的图象上，其中n =1,2,3, （1）证明：数列{lg(1+a n )}是等比数列；
（2）设T n =(1+a 1)(1+a 2) (1+a n ) ，求T n 及数列{a n }的通项公式；
13. 若数列{a n }中，a 1=2且a n =
2
+a n ，求数列{a n }的通项公式为____________ -1（n ≥2）
31⎧
a =a +b +1⎪⎪n 4n -14n -1
14. （2007辽宁）已知数列{a n }，{b n }满足a 1=2，b 1=1且⎨（n ≥2）,
13⎪b =a +b +1n n -1n -1⎪⎩44
试分别求数列{a n }、{b n }的通项公式。
15. （2005江西）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：
13
S n -S n -2=3⋅(-) n -1(n ≥3), 且S 1=1, S 2=-, 求数列{a n }的通项公式。
22
16. （2005湖南）已知数列{a n }满足a 1=0, a n +1=
a n -3a n +1
2
(n ∈N *) ，则a 20=（）
A．0
B ．-3C ．
D ．
17. 已知数列{a n }中，a 1=1, a 2=2, a n +2=
21
a n +1+a n ，求数列{a n }的通项公式。 33
2⎧
α+β=⎧α=1⎪⎪⎪3解：由⎨⇒⎨1，
1β=-⎪αβ=⎪3⎩⎪3⎩
故a n +2=a n +1+a n 化为a n +2-a n +1=-
23131
(a n +1-a n ) 3
所以数列{a n +1-a n }是公比为-的等比数列，首项是a 2-a 1=1
13
⎛1⎫
所以a n +1-a n = -⎪
⎝3⎭
n -1
，
所以a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+(a n -2-a n -3)+ +(a 2-a 1)+a 1
3⎡⎛1⎫=1+⎢1- -⎪
4⎢⎣⎝3⎭
n -2
⎤73⎛1⎫n -2
⎥=-⋅ -⎪ ⎥⎦44⎝3⎭
18. 已知数列{a n }满足a n +1=
21a n -24
，a 1=4，求数列{a n }的通项公式。
4a n +1
解：令x =
21x -24
，得4x 2-20x +24=0，
4x +1
21x -24
的两个不动点。所以
4x +1
则x 1=2，x 2=3是函数f (x ) =
21a n -24
-2
a n +1-24a n +121a n -24-2(4a n +1) 13a n -2613a n -2
====.
a n +1-321a n -24-321a n -24-3(4a n +1) 9a n -279a n -3
4a n +1
⎧a n -2⎫a 1-24-213
是以为首项，以为公比的等比数列， ==2⎬
a -39a 1-34-3⎩n ⎭
所以数列⎨
故
a n -213
=2() n -1，则a n =a n -39
113
2() n -1-19
+3.