网络学院2013 -2014年第一学期经济数学作业
（-）微积分部分
1．叙述初等函数的定义.
幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次的有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。
2．叙述数列极限lim x n =A 的概念.
n →∞
数列极限：对于数列{x n }，如果存在某个确定的常数A ，对于预先给定的任意一个正数ε，总存在一个正整数N ，使得对于满足n>N时的一切x n ，不等式
x n -A
记为lim x n =A 或x n →A （n →∞），否则数列{x n }是发散的。
n →∞
3叙述函数在一点可导的定义.
设函数y =f (x ) 在点x 0的某个邻域内有定义，当自变量x 在x 0处取得增量∆x （点
x 0+∆x 仍在该邻域内）时，相应地函数y 取得增量∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) ；如
果极限lim
∆x →0
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y
=lim 存在，则称函数y =f (x ) 在点x 0处可∆x ∆x →0∆x
导，并称这个极限为函数y =f (x ) 在x 0处的导数，记为
y ' |x =x 0，即
y ' |x =x 0=lim ∆y =lim
∆x →0
∆x
∆x →0
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
，
∆x
也可记作f ' (x 0) ，
dy dx
或
x =x 0
df (x )。 dx x =x 0
4叙述拉格朗日中值定理.
拉格朗日中值定理：如果函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b ) 内可导，那么在(a , b ) 内至少有一点ε(a
f (b ) -f (a ) =f ' (ξ)(b -a ) 成立。
5．设f (x ) =2x +3, g (x ) =6x +k ，且f [g (x )]=g [f (x )]则 k=( 15 );
1+2+3+ +n
=（ 1/2 ）. 2n →∞n +3n
n (n +1)
1+2+3+ +n 1解：lim ==lim 22n →∞n +3n 2n →∞n +3n sin x 1
7．lim(+x sin ) =（ 1 ）.
x →∞x x
6．lim
x 2+ax +38．设lim =2，则a =（ 4 ）.
x →-1x +1
9．设f (0) =0，且lim
x →0
f (x ) f (x )
存在，则lim ＝（f '(0) ）.
x →0x x
10．曲线y =x +e x 在点(0, 1) 处的切线方程为（ y =2x +1 ）.
π5ππ
11．函数y =ln sin x 在区间[, ]上满足罗尔定理的ξ＝（ ）.
662
π
12．⎰4πcos x (1+sin 2x ) dx =（ ）.
-4
π4-
π-
解：⎰πcos x (1+sin 2x ) dx =⎰4π(cosx +sin 2x cos x ) dx
4
4
π
=sin x
4-
π
4
41411
+⎰π(sin3x +sin x ) dx =2-(cos 3x +cos x ) =2
π2-423-
4
π
π
1112
，则+-x f (x ) dx f (x ) dx =（ ）. 2⎰⎰001+x
111112
解：⎰0f (x ) dx =⎰0dx +f (x ) dx -x dx 2⎰⎰001+x
13．设f (x ) =
先计算⎰0-x 2dx ，令x =sin t ，则dx =cos tdt
1
⎰
1
ππ
2
2
ππ
-x dx =⎰cos t dt =⎰
20
2
1+cos 2t ⎡1⎤2⎡1⎤2π
=⎢t ⎥+⎢sin 2t ⎥= 24⎣2⎦0⎣4⎦0
⎰
1
f (x ) dx =0+
1
π
4⎰0
1
f (x ) dx =
π
4
+
π
4⎰0
1
f (x ) dx ⇒⎰f (x ) dx =
1
π
4-π
⎰14．lim
x →0x
x
(arctanx ) 2dx
x
3
=（ ）.
⎰解：lim
x →0
(arctanx ) 2dx
x 3
(arctanx ) 21
=lim = x →03x 23
15
．求 x →0解：lim
x →0
+3x 2-13x 233
=== lim lim 2222x 2x →0x x →0+3x +1+3x +1
x 2+ax +b
16．设lim =-5，求a , b .
x →1x -1
解：lim x 2+ax +b =0⇒1+a +b =0
x →1
lim
x →1
x 2+ax +b 2x +a
=lim =2+a =-5 x -11x →1
⇒b =6 a =-7
17．设方程e xy +y 2=cos x 确定函数y (x ) ，求y '.
解：e xy (y +x
dy dy ) +2y =-sin x dx dx
dy
⇒(xe xy +2y ) =-sin x -ye xy
dx dy ye xy +sin x ⇒=- xy
dx xe +2y
18．求不定积分⎰x ln(1+x ) dx .
12x 2121x 2+x -x
=x ln(1+x ) -⎰dx 解：⎰x ln(1+x ) dx =x ln(1+x ) -⎰
221+x 221+x
=
1211x 111x +1-1
x ln(1+x ) -⎰xdx +⎰=x 2ln(1+x ) -x 2+⎰ 2221+x 2421+x
111111111=x 2ln(1+x ) -x 2+x -⎰=x 2ln(1+x ) -x 2+x -ln(1+x ) +C 24221+x 2422
ln
19
．求定积分
⎰
.
解：令e x -1=t ，则x =ln(1+t 2) ，则dx =
2t
dt 1+t 2
⎰
ln 2
2
12t +2-212t 22π11
e -1dx =⎰==2t -=2-2=2-⎰01+t 2⎰01+t 20001+t 22x
1
20．求lim
⎰
x
(1+t ) e
x
2
2
t 2-x 2
dt
x →+∞
.
解：lim
⎰
x
(1+t 2) e t
x
-x 2
dt
x →+∞
=lim
⎰
x
(1+t 2) e t dt xe
2
2
x →+∞
x 2
2
＝x lim
→+∞
(1+x 2) e x
e x +2x 2e x
2
1+x 21=lim = x →+∞1+2x 22
q 2
21．已知某商品的成本函数为C =200+，求当q =10时的总成本、平均
6
成本和边际成本。
q
解：C ' (q ) =
3
1022
=216 总成本C (10) =200+63
2
___
C (10) =65 平均成本C (10) ==1010310
边际成本C ' (10) =
3
216
22．某工厂生产成本函数是C (x ) =9000+4x +0. 001x 2（x 是产量的件数，，求该厂生产多少件产品时，平均成本达到最小。 0≤x
解：平均成本函数是
C (x ) 9000A (x ) ==+4+0. 001x (元），（0≤x ≤+∞)
x x 9000
令A ' (x ) =-2+0. 001=0, 得驻点x 0=3000
x 18000
又A ' ' (x ) =3
x
从而A ' ' (3000) =
18000
>0 30003
所以，当x =3000时，A (x ) 有最小值为即该厂生产3000件产品时，10（元）。平均成本达到最小。
（二）线性代数部分：
1．叙述n 阶行列式的余子式和代数余子式的定义，并写出二者之间的关系. 叙述矩阵的加法运算、数乘运算定义.
答：定义：在n 阶行列式D 中划去a ij 所在的第i 行和第j 列的元素后，剩下的元素按原来相对位置所组成的（n －1）阶行列式，称为a ij 的余子式，记为M ij ，即
a 11
M ij ＝
a 1, j -1
a 1, j +1
a 1n
a i -1,1 a i -1, j -1a i +1,1 a i +1, j -1 a n 1
a n , j -1
a i -1, j +1 a i -1, n a i +1, j +1 a i +1, n
a n , j +1
a nn
(-1) i +j ⨯M ij 称为a ij 的代数余子式，记为A ij ，即 A ij ＝(-1) i +j ⨯M ij
2试述克莱姆法则的内容。 答：克莱姆法则：如果线性方程组
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1⎪a x +a x + +a x =b ⎪2112222n n 2
⎨
⎪⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+ +a nn x n =b n
的系数a ij (i , j =1, 2, , n ) 构成的行列式D ≠0, 则此线性方程组有唯一解：
x 1=
D D 1D
, x 2=2, , x n =n , D D D
, n ) 是将系数行列式D 中第j 列元素对应地换为常数项其中，D j (j =1, 2,
b 1, b 2, , b n 得到的行列式
a 11
D j =
a 1j -, a 2j -, a n , -j
1
1
11
b b b n
12
a +j a +j a +n ,
1, 2,
1 1
a 1, 2,
a 21 a n 1
j 1n n
1
1
3行列式D =-111=
-1-11
3
⎡132⎤-
⎥，则D 中元素a 的代数余子式A 1 -1024设行列式D =⎢2323⎢⎥
⎢⎣11-2⎥⎦
5设矩阵A 中的r 阶子式D r ≠0，且所有（如果有的话）都为0，则r (A ) =r .
6齐次线性方程组AX =0总有解；当它所含方程的个数小于未
知量的个数时，它一定有 非零 解.
7用消元法解线性方程组AX =b ，其增广矩阵经初等行变换后, 化为阶梯阵
⎡1-53⎢02-3
→⎢
⎢00s ⎢
⎣000
1⎤4⎥⎥， t ⎥⎥0⎦
则 (1)当s t ≠0时, AX =b 无解;
(2)当s t 时, AX =b 有无穷多解;
(3)当s ≠0, t 是任意实数时 , AX =b 有唯一解.
13-1-1-32
-23-3012
-13-10-1
-1-6-192
8计算行列式
1-2-1-31-2-1-1
解：原行列式可化为：
1-1-3-1-610-5-2-9
=＝
0-160-2-1-46-10
-31-290-5-50
1424211115
-2-1-4＝-214＝-（5-2+9）＝
6505055662-5-2-9529
-5-50
550
⎡23-1⎤9设矩阵A =⎢⎢111⎥⎡123⎤
, B =⎢112⎥，求AB . ⎢⎥⎢⎥
⎣0-11⎥⎦⎢⎣011⎥⎦
⎡23-1⎤解：AB =⎢⎢111⎥⎡⎢123⎤⎡5611⎤112⎥＝⎢246⎥ ⎢11⎥⎥⎢⎥⎢⎥
⎣0-⎦⎢⎣011⎥⎦⎢⎣-10-1⎥⎦
5
611
|AB |=246＝-
611
6-10-1
4
6
+(-1)
524
＝0
⎧⎪-x 1-2x 2+x 3+4x 4=0解齐次线性方程组⎪⎨2x 1+3x 2-4x 3-5x 4
=0⎪x 1-4x .
2-13x 3+14x 4=0⎪⎩x 1-x 2-7x 3+5x 4=0解：对系数矩阵施以初等变换：
⎡⎢-1-21
4⎤⎡-1-21
4⎤⎡-23-4-5⎥⎢A ＝⎢
-1-23⎥⎢1-21
0-1-2⎢⎢1-4-1314⎥⎥→⎢0
⎢0-6-1218⎥⎥→⎢
⎢0⎣1-1-75⎥⎦⎢⎣0-3-69⎥⎦⎢
00
⎣000⎡⎢-105-2⎤⎡1
0-52⎤⎢0-1-23⎥⎢012-3⎥⎢⎢0000⎥⎥→⎢⎥⎢⎢0000⎥⎥ ⎣0000⎦⎣00
0⎥⎦
与原方程组同解的方程组为：
⎧⎨
x 1-5x 3+2x 4=0
⎩x +x 23-3x 4=0
4⎤3⎥0⎥⎥→0⎥⎦
所以：方程组的一般解为
⎧x 1=5x 3+2x 4
（其中，x 3, x 4为自由未知量） ⎨
x =-2x -3x 34⎩2
⎧3x 1+x 2+λx 3=0
⎪
10试问λ取何值时，齐次线性方程组⎨ 2x 2-x 3=0有非零解？
⎪x -x -2x =0
3⎩12
解：系数行列式为：
30
12
λ1-1
420
-2-1
1-1
200
-2-1 λ+8
-1=0λ+6=0
1-1-2
所以，当λ=-8时，该齐次线性方程组有非零解．
⎡012⎤
⎡213⎤⎢⎥设矩阵A =⎢114⎥, B =⎢，解矩阵方程AX =B T . ⎥⎣-356⎦⎢⎥2-10⎣⎦
⎡⎤
⎢2-11⎥⎡2-3⎤⎢⎥⎥ 15解：A -1=⎢4-21⎥；B T =⎢⎢⎥⎢3⎢36⎥1⎥⎣⎦1-⎥⎢-⎣22⎦
⎡⎤⎡
⎢2-11⎥⎡2-3⎤⎢6⎢⎥T ⎥=⎢9由于AX =B . 则有X =A -1B T =⎢4-21⎥⎢15⎢⎥⎢⎢3⎢71⎥⎢36⎥⎣⎦1-⎥⎢-⎢-⎣22⎦⎣2
⎤
-5⎥⎥-16⎥ 13⎥⎥2⎦
（三）概率论部分：
1 试写出全概率公式定理和贝叶斯公式定理. 解：全概率公式为概率论中的定理。内容：设实验E 的样本空间为S,B1,B2,...,Bn 为S 的一个划分，且P(Bi)>0(i=1,2,...,n),则对任一事件A P(A)=P(A|B1)*P(B1) + P(A|B2)*P(B2) + ... + P(A|Bn)*P(Bn). 贝叶斯定理公式：P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)
2 试写出离散型随机变量的数学期望和方差的定义。 解：设离散型随机变量ξ的概率分布为 P(ξ=xk)=pk (k=1,2,… )
如果级数收敛，则称为随机变量ξ的数学期望， 记为E(ξ) ，即:
当级数不收敛时，则称随机变量ξ的数学期望不存在．
显然，数学期望由概率分布唯一确定，以后我们也称之为某概率分布的数学期望．
方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数。
3 什么叫随机试验？什么叫基本事件？什么叫样本空间？什么叫事件？
解：随机试验：随机试验是一个概率论的基本概念。 概况的讲，在概率论中把符合下面三个特点的试验叫做随机试验：(random experiment)
(1)每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。 (2)进行一次试验之前无法确定哪一个结果会出现。 (3) 可以在同一条件下重复进行试验。
基本事件：在概率计算中，每一种可能的出现情况称为一个“基本事件”。 基本事件必须具有以下特点：
（1）任何两个基本事件是互斥的。
（2）任何事件（除不可能事件外的）都可以表示为若干个基本事件的和。
样本空间：随机试验的每一个可能的结果称为样本点, 记作 ；随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间。
事件：事件是由它的时间和空间所指定的时空中的一点。
4用事件A ，B ，C 的运算关系式表示下列事件，则事件“A 出现，B ，C 都不出现”可表示为；同样有
（1）事件“A ，B 都出现，C （2）事件“三个事件都出现”可表示为；
（3）事件“三个事件中至少有一个出现”可表示为 A+B+C 5设P (B ) =0.8，P (AB ) =0.6，则由条件概率知，P (A |B ) ＝.
6．随机变量数学期望的性质有
（1）E (aX +b ) ＝2a ，b 为常数）；
（2）设有两个任意的随机变量X ，Y ，它们的期望E (X ), E (Y ) 存在，则有。 E (X +Y ) ＝（3）设X 1, X 2是E (X (2X 则有 E (X . ) 1X 2) =1) E
写出两点分布, 二项分布，泊松分布的分布列
7 设A ，B ，C 为三事件，试用A ，B ，C 表示下列事件：
（1） A 不发生而B ，C 都发生； 解：A BC
（2）A 不发生而B ，C 中至少有一个发生； 解：A (B +C )
（3）A ，B ，C 中至少有两个发生； 解：AB+BC+AC
（4）A ，B ，C 中恰有两个发生. 解:A BC +A B C +AB C
8 设有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.9和0.8，在两批种子中各随机取一粒，求：
（1）两粒都发芽的概率；
（2）至少有一粒发芽的概率； （3）恰有一粒发芽的概率. 解：（1）由于两批种子的发芽率互不影响，且令A 、B 分别表示“取自甲中的种子发芽”和“取自乙中的种子发芽”，则有 P(AB)=P(A)P(B)=0.9*0.8=0.72
(2)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.9+0.8-0.72=0.98
(3)P(AB +A B)=P(A)P(B ) +P (A ) P (B ) =0.9*0.2+0.1*0.8=0.26
10．一批产品有10件，其中4件为次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中有次品的概率.
3
解：样本点总数n=C 10
设A=｛取出的3件产品中有次品｝
3
C 65
P(A)=1-P(A )=1-3=
C 106
11 设有甲、乙两名射手，他们每次射击命中目标的概率分别是0.8和0.7。现两人同时向同一目标射击一次，试求：
（1）目标被命中的概率；
（2）若已知目标被命中，则它是甲命中的概率是多少? 解：设A=｛甲命中目标｝，B=｛乙命中目标｝，C=｛目标被命中｝。则C=A+B，在这个问题中，A 与B 相互独立，而P(A)=0.8，P(B)=0.7，那么 （1）目标被命中的概率为： P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.8+0.7-0.8*0.7=0.94 或者利用A 与B 的相互独立性，有
P(C)=1-P(C ) =1-P (A ⋃B ) =1-P (A B ) =1-P(A ) P (B ) =1-0.2-0.3 =0.94
（2）若已知目标被命中，则它是甲命中的概率为：
P(C ) =
P (AC ) P (A ) 0. 840 ===P (C ) P (C ) 0. 9447
一袋中有m 个白球，n 个黑球，无放回地抽取两次，每次取一球，求：
（1） 在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的条件概率；
解：袋中原有m+n个球，其中m 个白球。第一次去到白球后，袋中
m -1还有m+n-1球，其中m-1个为白球，故 P B A ) = m +n -1
（2） 在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的条件概率.
解：袋中原有m+n个球，其中m 个白球，第一次取到黑球后，袋中
m 还有m+n-1个球，其中m 个为白球，故 P (B A ) = m +n -1
12 一批产品由8件正品和2件次品组成，从中任取3件，求：（1）这三件产品全是正品的概率；（2）这三件产品中恰有一件次品的概率；（3）这三件产品中至少有一件次品的概率。
解：用A,B ，C 分别表示取出的三件产品“全是正品”，“恰有一件次品”，“至少有一件次品”。
C 83567= 则 (1)P (A ) =3=C 1012015
1C 82C 2567= (2)P(B)=3= 12015C 10
112C 82C 2+C 8C 2648== (3) P(C)= 312015C 10
13设某仪器总长度X 为两个部件长度之和，即X=X1+X2，且已知它们的分布列
求：（1）E (X 1+X 2) ；（2）E (X 1X 2) ；（3）D (X 1+X 2) .
解：因为 E X 1=2*0. 3+0. 4*0. 5+12*0. 2=5
EX 2=6*0. 4+7*0. 6=6. 6
故 （1）E (X 1+X 2) =E (X 1) +E (X 2) =5+6. 6=11. 6
（2）E (X 1X 2) =E (X 1) E (X 2) =5*6. 6=33
(3) D (X 1) =E [X 1-E (X 1) ]=(∑(X K -E (X 1)) 2P K 2
K =1
22 =（-3）*0. 3+（-1）*0. 5+72*0. 2=13
2 D (X 2) =E [X 2-E (X 2) ]=(∑(X K -E (X 2)) 2P K
K =1
22 =（-0. 6）*0. 4+（0. 4）*0. 6=0. 24
D (X 1+X 2) =D (X 1) +D (X 2) =13+0. 24=13. 24
14．某市场零售某蔬菜，进货后第一天售出的概率为0.7，每500g 售价为10元；进货后第二天售出的概率为0.2，每500g 售价为8元；进货后第三天售出的概率为0.1，每500g 售价为4元，求任取500g 蔬菜售价X 元的数学期望E (X ) 与方差D (X ) .
解：E (X ) =0. 7*10+0. 8*8+0. 1*4=9
D (X ) =0. 7*10+0. 2*8+0. 1*4-E (X ) =3. 4 2222