SHANXI MEITAN GUANL I GANBU XUEYUAN XUEBAO
No. 4 2005
用求微分的方法求函数的导数
周根立
(山西煤炭管理干部学院, 山西太原030006)
摘 要:在《微积分》的教学中, 求函数的导数是微分学的重点内容, 总结出求导数的又一种方法:通过先求出函数的微分, 根据d y =y ′d x 求出函数的导数, 。
关键词:微分; 函数; 导数
中图分类号:G 722. 2 文献标识码:C 文章编号:1008) -一、基础知识
1. 微分基本公式
αα-1
d (c ) =0d x ) =αd x x
x x
d (a ) =a ln a d x
x x d (e ) =e d x
【例1】 求y =xe x (1+ln x ) 的导数。解: d y =d[xe x (1+ln x ) ]
d y =e x (1+ln x ) d x +x (1+ln x ) d e x +xe x d (1+ln x ) d y =e x (1+ln x ) d x +xe x (1+ln x ) d x +e x d x
x
d x x ln a
d (sin x ) =cos x d x
x
d (log a ) =
d (ln|x |) =
d x
2
d y =e x [(1+ln x ) (1+x ) +1]d x
d (cos x ) =-sin x d x d (ctg x ) =-csc x d x
因此:y ′=e x [(1+ln x ) (1+x ) +1]【例2】 求y =(1+2x 2) 8的导数。
解:两边取自然对数:ln y =ln (1+2x 2) 8=8ln (1+2x 2) 两边同时求微分:d (ln y ) =d[8ln (1+2x 2) ]即:
y
d (tg x ) =sec x d x d (sec x ) =sec x ・tg x d x
2
d (csc x ) =-csc x ・ctg x d x d (arcsin x ) =d (arccos x ) =-d (arctg x ) =
1-x
2
d x d x
d y =8d[ln (1+2x 2) ]
1-x 2
d x 1+x 2
d (arcctg x ) =-d x 1+x 2
2. 微分运算法则
=8d x
1+2x 2
d y =d x y 1+2x 2
两边乘以y 得:dy =y d x
1+2x 2
=(1+2x 2) 8d x
1+2x 2
=[32x (1+2x 2) 7]d x
函数和差、积、商的微分法则
d (u ±v ) =d u ±d v d (u ・v ) =v d u +u d v d (cu ) =c d u (c 为常数) d () =2
v v c (
) =-2(c 为常数) v v
因此:y ′=32x (1+2x 2) 7
【例3】 求y =x x (x >0) 的导数。解:两边取自然对数:ln y =ln x x =x ln x 两边求微分:d (ln y ) =d (x ln x )
y
此外, 还有复合函数的微分法则、隐函数的微分法则等(略) 。
二、理论依据及应用举例
根据微分公式及微分运算法则, 可求出函数的微分d y =
f (x ) d x 。又因为:dy =y ′d x , 可知:y ′=f (x ) 可求出函数的
d y =
ln x d x +x d (ln x )
=ln x d x +d x =(1+ln x ) d x
两边乘以y 得:
收稿日期:2005-02-26
作者简介:周根立(1964-) , 山西煤干院技术工程系副教授。
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山西煤炭管理干部学院学报 2005年第4期
d y =[x x (1+ln x ) ]d x
) =y ″又∵d (y ′d x 因此:y ″=
因此:y ′=x x (1+ln x )
【例4】 求隐函数x 2+y 3-1=0的导数。解:两边求微分:d (x 2+y 3-1) =d (0) 即:d (x 2) +d (y 3) +d (-1) =0即:2x d x +3y 2d y =0
d y =-d x 3y 2
因此:y ′=-3y 2【例5】 若方程xy +e y =0确定y 为x 的隐函数, 求y ″。
y 2(x +e y ) 3
三、结论
用求微分的方法求函数的导数是一种非常好的方法。解题步骤如下:
1. 等式两边同时求微分; 2. 求出微分d y ;
3. 根据d y =y ′d x 求出导数y ′。
【例6】 求y =2x 2+ln x 的导数。解:d y =d (2x 2+ln x ) =d (22+d (ln x )
=x d x =(x
解:对方程xy +e =0两边求微分
y
d (xy +e ) =d (0)
y
即:d (xy ) +d (e y ) =0
y d x +x d y +e d y =0dy =-x +e y
y
d d x :y ′=4x +
x
【例7】 用求微分的方法求y =e 2x -1的导数。解:ln y =ln e 2x -1=2x -1
d (ln y ) =d (2x -1)
因此:y ′=-
x +e y 对y ′=-:
x +e y
) =d (-) d (y ′
x +e y
=-d (y )
x +e
y y =-(x +e y ) 2
(x +e y ) 2
y y =-(x +ey ) 2
y
y
y
d y =d (2x ) -d (1) =2d x
两边乘y :d y =2y d y =2e 2x -1d x 因此:y ′=2e 2x -1
【例8】 用求微分的方法求y =x cos x 的导数。解:dy =d (x cos x ) =cos x d x +x d (cos x )
=cos x d x +x (-sin x ) d x =(cos
x -xsin x ) d x
=-
因此:y ′=cos x -x sin x
读者可通过多做练习掌握本方法。参考文献:
[1] 丁家泰. 微积分解题方法[M ].北京:北京师范大学出版
(x +e y -ye y ) y d x -y d x
=-(x +ey ) 2
y 2=[]d x
(x +e y ) 3
社.
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