直角三角形的边角关系练习题

第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）

四、随堂练习：

1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗

?

2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到

0.001)

3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米. 4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.

5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)

五、课后练习：

1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______. 3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.

4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.

5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.

6、如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,EC=1,tanB=5

12

, 求菱形的边长和四边形AECD的周长. A

D

B

C

B

7、已知:如图,斜坡AB的倾斜角a,且tanα=3

4

,现有一小球从坡底A

处以20cm/s 的速度向坡顶B处移动,则小球以多大的速度向上升高? A

§1.1从梯子的倾斜程度谈起（第二课时）

四、随堂练习：

1、在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.

2、在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝

4

5

，BC=20，求△ABC的周长和面积

.

3、在△ABC中.∠C=90°，若tanA=

1

，则sinA= . 2

A.

CDDBCBCD

B. C. D. ACCBABCB

2

4、已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC＝AB·BD.(用正弦、余弦函数的定义10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m

100100

A. B.100sinβ C. D. 100cosβ

cossin

11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.

证明)

五、课后练习：

1、在Rt△ABC中,∠ C=90°,tanA=

3

4

,则sinB=_______,tanB=______. 2、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=41,sinA=9

41

,则AC=______,BC=_______.

3、在△ABC中,AB=AC=10,sinC=4

5

,则BC=_____.

4、在△ABC中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )

A.sinA=34 B.cosA=35 C.tanA=334 D.cosB=5

5、如图,在△ABC中,∠C=90°,sinA=3BC

5,则AC

等于

( )

A.3C

4 B.43 C.35 D.4

A5

6、Rt△ABC中,∠C=90°,已知cosA=3

5

,那么tanA等( )

D

A.43 B.34 C.455 D.4

7、在△ABC中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA的值是

A

C

A．513 B．1213 C．512 D．125

8、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( )

A.tanαcosβ

9、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比中不等于sinA的是( )

12、在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4.求:CD,sinC.

13、在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.

14、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系?

15、如图,已知四边形ABCD中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=

4

5

.求：s△ABD：s△BCD C

A

B

§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值

三、随堂练习 1.计算：

(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；

(3)

2

2sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷1sin30231

；

⑸(2+1)-1

+2sin30°-； ⑹(1+2)0

-｜1-sin30°｜1+(

12

)-1

；

⑺sin60°+1-311tan60； ⑻2-(2003+π)0

-cos60°-12

.

2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少? 3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m，≈1.41，3≈1.73)

四、课后练习：

1、Rt△ABC中，A60,c8，则a_____,b_____；

2、在△ABC中，若c2,b2,，则tanB____，面积S＝ ； 3、在△ABC中，AC：BC＝1：，AB＝6，∠B＝ ，AC＝ BC＝ 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2:3，则顶角为 （ ） （A）600

（B）900

（C）1200

（D）150

5、有一个角是30的直角三角形，斜边为1cm，则斜边上的高为 （ ） （A）

14cm （B）12cm （C）4cm （D）3

2

cm 2030米

6、在ABC中，C90，若B2A，则tanA等于（ ）．

（A） （B）

13

（C）2 （D）2

7、如果∠a是等边三角形的一个内角，那么cosa的值等于（ ）．

（A）

12 （B）2

32

（C）2 （D）1 8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这

种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A）450a元 （B）225a元 （C）150a元 （D）300a元

9、计算：

⑴、sin260cos2

60 ⑵、sin602sin30cos30

⑶、sin30cos2

45 ⑷、2cos45

23

sin600

3cos450

⑹、 3cos600

⑸、25sin300

1

⑺、2sin230·tan30cos60tan60° ⑻、sin245tan2

30

10、请设计一种方案计算tan15°的值。

§1.4 船有触礁的危险吗

三、随堂练习

1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?

2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD.坝顶AD＝6m，坡长CD＝8m.坡底BC＝30m，∠ADC=135°. (1)求∠ABC的大小：

(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果

精确到0.01 m3

)

3．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响. (1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.

(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(2≈1.4 ≈

1.7)

四、课后练习：

1. 有一拦水坝是等腰楼形,它的上底是6米,下底是10米,高为

,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角. N

2.如图,太阳光线与地面成60°角,一棵大树倾斜后与地面成36°角, 这时测得大树在地面上的影长约为10米,求大树的长(精确到0.1米).

3.如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN的方向行驶时 ,学校是否会受到噪声影响?请说明理由.

4.如图,某地为响应市政府“形象重于生命”的号召,在甲建筑物上从点

A到点E挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端AA点的仰角为40°,测得条幅底端E的俯角为26°,求甲、乙两建筑物的水平距离BC的长(精确到0.1米).

FD

E

B

5.如图,小山上有一座铁塔AB,在D处测得点A的仰角为∠ADC=60°,点B的仰角为∠BDC=45°;在E处测得A的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米, 求小山高BC 和铁塔高AB(精

确到0.1米).

6.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水北

员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在A处以每小时8海里F

的速度向正东方向划行,在A处测得黑匣子B在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C处,测得黑匣子B在北偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B最近,并求最近距离. AC

A

7.以申办2010年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中, 要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区,现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶点A的仰C

角为60°,树的底部B点的俯角为30°, 如图所示,问距离B点8米远的E保护物是否在危险区内? D

B

8.如图,某学校为了改变办学条件,计划在甲教学楼的正北方21米处的一块空地上(BD=21米),再建一幢与甲教学等高的乙教学楼(甲教学楼的高AB=20米),设计要求冬至正午时,太阳光线必须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处, 已知该地区冬至正午时太阳偏南,太阳光线与水平线夹角为30°,试判断: 计划所建的乙教学楼是否符合设计要求?并说明理由.

9.如图,两条带子,带子α的宽度为2cm,带子b的宽度为1cm,它们相交成α角,如果重叠部分的面

积为4cm2

,求α的度数.

1.5 测量物体的高度

四、随堂练习

4.某市为促进本地经济发展,计划修建跨河大桥,需要测出河的宽度AB, 在河边一座高度为300米的山顶观测点D处测得点A,点B的俯角分别为α=30°,β=60°, 求河的宽度(精确到0.1米)

D

A

C

5.为了测量校园内一棵不可攀的树的高度, 学校数学应用实践小组做了如下的探索: 实践一:根据《自然科学》中光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺, 设计如图(1)的测量方案:把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点E处,然后沿着直线BE 后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7米,观察者目高CD=1.6米,请你计算 树AB的高度(精确到0.1米)

实践二:提供选用的测量工具有:①皮尺一根;②教学用三角板一副;③长为2. 5米的标杆一根;④高度为1.5米的测角仪一架,请根据你所设计的测量方案, 回答下列问题: (1)在你设计的方案中,选用的测量工具是__________. (2)在图(2)中画出你的测量方案示意图;

(3)你需要测得示意图中哪些数据,并分别用a,b,c,α,β等表示测得的数据____. (4)写出求树高的算式:AB=___________.

(2)

(1)

6.在1:50000的地图上,查得A点在300m的等高线上,B点在400m的等高线上, 在地图上量得AB的长为2.5cm,若要在A、B之间建一条索道,那么缆索至少要多长? 它的倾斜角是多少?

(说明:地图上量得的AB的长,就是A,B两点间的水平距离AB′,由B向过A 且平行于地面的平面作垂线,垂足为B′,连接AB′,则∠A即是缆索的倾斜角.)

100m

2.5cm×50000

'

7、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：

实践一：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高CD=1.6米，请你计算树（AB）的高度．（精

0.1米）

实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器）一架。请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：

（1）在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工

具的序号填写） （2）在右图中画出你的测量方案示意图； （3）你需要测得示意图中的哪些数据，并分别用a、b、c、

α等表示测得的数据：

（4）写出求树高的算式：AB

第一章回顾与思考

1、等腰三角形的一腰长为6cm，底边长为6cm，则其底角为（ ） A 300 B 600 C 900 D 1200

2

、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i1:3，坝外斜坡的坡度i1:1，则两个坡

角的和为 （ ）

A 900 B 600 C 750 D 1050 3、如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=，且cos

3

5

, AD

AB = 4, 则AD的长为（ ）． （A）3 （B）

163 （C）2016

3 （D）5

B

C

4、在课外活动上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为

450cm2

，则对角线所用的竹条至少需（ ）．

（A）302cm （B）30cm （C）60cm （D）602cm 5、如果是锐角，且sin2

cos2

351，那么 º．

6、如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的

坡面距离是 米．

7、如图,P是∠的边OA上一点, 且P点坐标为(3,4),则

sincos=______.

8、支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为，如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的有为 米（用含的三角比表示）．

9、在RtABC中∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A等于 度． 10、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为55，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）.

11、“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到A30，AC = 40米，BC = 25米，请你求出这块花圃的面积.

12、如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为30的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方向有一处着火点B，5分钟后，

在D处测得着火点B的俯角是15，求热气球升空点A与着火点B的距离．

B

13、如图，一勘测人员从B点出发，沿坡角为15的坡面以5千米/时的速度行至D点，用了12分钟，然后沿坡角为20的坡面以3千米/时的速度到达山顶A点，用了10分钟.求山高（即AC

的长度）及A、B 两点的水平距离（即BC的长度）（精确到0.01千米）. A



E

14、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵数AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°（如图）.为距离B点8米远的保护物是否在危险区内？

C





D

B

（1）选择：两船相遇之处E点（ ）

15、如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°. 在M的南偏东60°方向上有一点A,以A为圆心、500m为半径的圆形区域为居民区.取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75°.已知MB = 400m,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区?

北

M

东 A

N

16、如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距A地的正东方向且距A地40海里的B地训练.突然接到基地命令，要该军舰前往C岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治.已知C岛在A的北偏东60°方向，且在B的北偏西45°方向，军舰从B处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？

（精确到0.1小时） 北北 60

AB

17、如图，客轮沿折线A―B―C从A出发经B再到C匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A―B―C上的某点E处．已知AB = BC =200海里，∠ABC =90，客轮速度是货轮速度的2倍．

A

C

B

A．在线段AB上 B．在线段BC上

C．可以在线段AB上，也可以在线段BC上

（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）