第二讲 数形结合思想
[思想方法解读] 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决. 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化. 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合. 如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的.
常考题型精析
题型一 数形结合在方程根的个数中的应用 x
例1 方程sin πx ＝的解的个数是( )
4A.5 C.7
B.6 D.8
点评 利用数形结合求方程解应注意两点
(1)讨论方程的解(或函数的零点) 可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解.
(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合.
x ⎧⎪x －1－kx 2，x ≤0，
变式训练1 若函数f (x ) ＝⎨有且只有两个不同的零点，则实数k 的取值
⎪⎩ln x ，x >0范围是( ) A.(－4,0) C.(－4,0]
B.(－∞，0] D.(－∞，0)
题型二 利用数形结合解决不等式参数问题
4
例2 设函数f (x ) ＝a －x －4x 和g (x ) ＝x ＋1，已知x ∈[－4,0]时，恒有f (x ) ≤g (x ) ，求实数
3a 的取值范围.
点评 利用数形结合解不等式或求参数的方法
求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个) 函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.
变式训练2 若存在正数x 使2x (x －a )
题型三 利用数形结合求最值
例3 (2014·北京) 已知圆C ：(x －3) 2＋(y －4) 2＝1和两点A (－m, 0) ，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4
点评 利用数形结合求最值的方法步骤
第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义. 一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义. 第二步：转化为几何问题. 第三步：解决几何问题. 第四步：回归代数问题.
第五步：回顾反思. 应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率；(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离.
变式训练3 已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形P ACB 面积的最小值.
B.(－2，＋∞) D.(－1，＋∞)
高考题型精练
2⎧⎪x ＋1，x >0，
1.(2014·福建) 已知函数f (x ) ＝⎨则下列结论正确的是( )
⎪cos x ，x ≤0，⎩
A. f (x ) 是偶函数 B. f (x ) 是增函数 C. f (x ) 是周期函数
D. f (x ) 的值域为[－1，＋∞)
2. 若方程x ＋k 1－x 有且只有一个解，则k 的取值范围是( ) A.[－1,1) C. [－1,1]
B. k ＝2
D. k ＝或k ∈[－1,1)
⎧⎪x －2y ＋1≥0，
3. 已知点P (x ，y ) 的坐标x ，y 满足⎨则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是( )
⎪|x |－y －1≤0，⎩
A. [2,4] C. [4,10]
B. [2,16] D. [4,16]
4. 已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c ) ＝0，则|c |的最大值是( ) A.1 2
B.2 D. 2
2
5. 已知函数f (x ) 满足下面关系：①f (x ＋1) ＝f (x －1) ；②当x ∈[－1,1]时，f (x ) ＝x 2，则方程f (x ) ＝lg x 解的个数是( ) A.5 B.7 C.9 D.10
6. 若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2) 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.[－3，3] C.[33
，] 33
B.(33) D.(33
，) 33
1
7.(2015·北京西城区模拟) 设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )·(y －≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1) 2＋(y －
x 1) 2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( ) 3A. π 44 7
3B. π 5πD. 2
8.(2014·山东) 已知函数y ＝f (x )(x ∈R ) ，对函数y ＝g (x )(x ∈I ) ，定义g (x ) 关于f (x ) 的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I ) ，y ＝h (x ) 满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x )) ，(x ，g (x )) 关于点(x ，f (x )) 对称. 若h (x ) 是g (x ) ＝4－x 关于f (x ) ＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x ) 恒成立，则实数b 的取值范围是________.
9. 设关于θ的方程θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β. (1)求实数a 的取值范围； (2)求α＋β的值.
10. 已知函数f (x ) ＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1) ，当2
答案精析
第45练 数形结合思想
常考题型精析
x
例1 C [在同一平面直角坐标系中画出y 1＝sin πx 和y 2＝
4
x
观察图象可知y 1＝sin πx 和y 2＝3个交点，根据对称性可知，在第三象
4x
限也有3个交点，在加上原点，共7个交点，所以方程sin πx ＝有7个解.]
4变式训练1 B [当x >0时，f (x ) ＝ln x 与x 轴有一个交点， 即f (x ) 有一个零点.
依题意，显然当x ≤0时，f (x ) ＝
x x kx 2也有一个零点，即方程kx 2＝0只能有一个解. x －1x －1
x
令h (x ) ＝g (x ) ＝kx 2，则两函数图象在x ≤0时只能有一个交点
.
x －1
x
若k >0，显然函数h (x ) ＝与g (x ) ＝kx 2在x ≤0时有两个交点，即点A 与原点O (如图所示).
x －1显然k >0不符合题意.
x
若k
).
x －1
x
若k ＝0，显然函数h (x ) ＝与g (x ) ＝kx 2在x ≤0时只有一个交点，即原点O .
x －1综上，所求实数k 的取值范围是(－∞，0].故选B.] 4
例2 解 ∵f (x ) ≤g (x ) ，即a －x －4x ＋1，
34
变形得－x －4x ≤＋1－a ，
3令y 1－x －4x ，① 4
y 2＝＋1－a . ②
3
①变形得(x ＋2) 2＋y 2＝4(y ≥0) ，
即表示以(－2,0) 为圆心，2为半径的圆的上半圆； 4
②1－a 的平行直线系.
34
设与圆相切的直线为AT ，其方程为y ＝x ＋b (b >0)，
3|－8＋3b |
则圆心(－2,0) 到AT 的距离为d ＝，
5由
|－8＋3b |2
2，得b ＝6或－(舍去). 53
∴当1－a ≥6，即a ≤－5时，f (x ) ≤g (x ). 变式训练2 D
1－
解析 因为2x >0，所以由2x (x －a )
2x －a ，g (x ) ＝2x 的图象，如图
.
－
当x >0时，g (x ) ＝2x 0，使2x (x －a )－
－
1，所以选D. 例3 B
解析 根据题意，画出示意图，如图所示，
则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 1
因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝AB |＝m .
2要求m 的最大值，
即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离.
因为|OC |＝3＋4＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6， 即m 的最大值为6.
变式训练3 解 从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无11穷远处运动时，直角三角形P AC 的面积S Rt △P AC ＝|PA |·|AC |＝|P A |越来越大，从而S
22
四边形P ACB
也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形P ACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线l 时，S |3×1＋4×1＋8|
＝3，
3＋4从而|P A ||PC |－|AC |＝22.
1
所以(S 四边形P ACB ) min ＝2××|P A |×|AC |＝22.
2
四边形
P ACB
应有唯一的最小值，此时|PC |＝
高考题型精练
⎧x 2
＋1，x >0，⎪
1.D [函数f (x ) ＝⎨的图象如图所示，由图象知只有D 正确.]
⎪cos x ，x ≤0⎩
2.D [令y 1＝x ＋k ，y 21－x
， 则x 2＋y 2＝1(y ≥0). 作出图象如图：
而y 1＝x ＋k 中，k 是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一个公共点⇔k ＝或－1≤k
3.B [画出可行域如图，所求的x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3) 2＋y 2是点Q (3,0)到可行域上的点的距
离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x －y －1＝0(x ≥0) 的距离d 的平方，最大值为|QA |2＝16. ∵d 2＝
⎛|3－0－1|2
＝2.
⎝1＋(－1)⎭
→
→
→
→
→
∴取值范围是[2,16].]
4.C [如图，设O A ＝a ，O B ＝b ，O C ＝c ，则C A ＝a －c ，C B ＝b －c . 由题意知C A ⊥C B ，∴O 、A 、C 、B 四点共圆. ∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时，|O C |＝2.]
5.C [由题意可知，f (x ) 是以2为周期，值域为[0,1]的函数
. 又f (x ) ＝lg x ，则x ∈(0,10]，画出两函数图象， 则交点个数即为解的个数. 由图象可知共9个交点.]
→→
→
6.C [设直线方程为y ＝k (x －4) ， 即kx －y －4k ＝0，
直线l 与曲线(x －2) 2＋y 2＝1有公共点， 圆心到直线的距离小于等于半径即d ＝|
2k －4k |≤1， k ＋1
133
得4k 2≤k 2＋1，k 2≤. 所以－≤k ≤3331
y －≥0， 7.D [因为对于集合A ，(y －x ) ⎛⎝x y －x ≥0，y －x ≤0，⎧⎧⎪⎪
所以⎨1或⎨1其表示的平面区域如图.
y －≥0y －≤0，⎪⎪⎩x ⎩
x
对于集合B ，(x －1) 2＋(y －1) 2≤1表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆及其内部区域，其面积为π.
1
由题意意知A ∩B 所表示的平面图形为图中阴影部分，曲线y y ＝x 将圆(x －1) 2＋(y
x
1
－1) 2＝1分成S 1，S 2，S 3，S 4四部分. 因为圆(x －1) 2＋(y －1) 2＝1与y ＝的图象都关于直线y
x π
＝x 对称，从而S 1＝S 2，S 3＝S 4，而S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝π，所以S 阴影＝S 2＋S 4＝.]
28.(210，＋∞) 解析 由已知得
h (x )＋4－x ＝3x ＋b ，所以h (x ) ＝6x ＋2b －4－x . h (x )>g (x ) 恒成立，即6x ＋2b －
24－x >4－x ，3x ＋b >4－x 恒成立.
在同一坐标系内，画出直线y ＝3x ＋b 及半圆y 4－x (如图所示) ，可得故答案为(210，＋∞).
b
>2，即b
>210，10
πa π
9. 解 (1)原方程可化为sin(θ＋＝－y ＝sin(x ＋)(x ∈(0,2π))的图象.
323由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件
⎧－1＜－21，
是⎨a 3
－⎩22，
a
即－2＜a
3或－3＜a ＜2.
a a π(2)由图知：当－3＜a ＜2，即－∈⎛－1，时，直线y ＝－与三角函数y ＝sin(x 的图
2⎝232α＋β7π7π
象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为，所以＝
6267π
所以α＋β＝.
3
a a π当－2＜a 3，即－∈1⎫时，直线y ＝－与三角函数y ＝sin(x ＋) 的图象有两交点2⎝223⎭
A 、B ，
α＋βππα＋β＝ 263
π7π综上所述，α＋β＝33
10. 解 由于2
又log a 3∈(1,2)，3－b ∈(－1,0) ，
故f (3)＝log a 3＋3－b >0，
因此函数必在区间(2,3)内存在零点，故n ＝2.