圆的基本性质
第一节 圆 第二节 图形的旋转 第三节 垂径定理（选学） 第四节 圆心角 第五节 圆周角 第六节 圆内接四边形
第七节 正多边形 第八节 弧长及扇形的面积
十二大知识点：
1、圆的概念及点与圆的位置关系 2、三角形的外接圆 3、旋转的概论及性质 4、垂径定理
5、垂径定理的逆定理及其应用 6、圆心角的概念及其性质 【课本相关知识点】
7、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 8、圆周角定理
9、圆周角定理的推论
10、圆内接四边形的概念与性质定理 11、正多边形的概念与作法
12、弧长的计算与扇形面积的应用
1、圆的定义：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O ，另一端点P所经过的 叫做圆，定点O叫做 ，线段OP叫做圆的 ，以点O为圆心的圆记作 ，读作圆O。 2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。 3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。
4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆 5、点与圆的三种位置关系：
若点P到圆心O的距离为d，⊙O的半径为R，则： 点P在⊙O外 ； 点P在⊙O上 ； 6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上 7、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。
8、过 的三点确定一个圆。
9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。三角形的外心是三角形三条边的
【典型例题】
【题型一】证明多点共圆
例1、已知矩形ABCD，如图所示，试说明：矩形ABCD的四个顶点A、B、C、D在同一个圆上
【题型二】相关概念说法的正误判断 例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。其中正确的有（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 例2、下列说法中，错误的是（ ）
A.直径是弦 B.半圆是弧 C.圆内最长的弦是直径 D.弧小于半圆 例3、下列命题中，正确的是（ ）
A．三角形的三个顶点在同一个圆上 B．过圆心的线段叫做圆的直径
C．大于劣弧的弧叫优弧 D．圆内任一点到圆上任一点的距离都小于半径
例4、下列四个命题：① 经过任意三点可以作一个圆；② 三角形的外心在三角形的内部；③ 等腰三角形的外心必在底边的中线上；④ 菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。其中真命题的个数（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.0个
【题型三】点和圆的位置关系的判断
例1、⊙O的半径为5，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（ ） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外
例2、已知矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一个点在圆内且至少有一个点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是
【题型四】“不在同一条直线上的三点确定一个圆”的应用
如“把破圆复原成完整的圆”；如“找一点，使它到三点的距离相等”：方法就是找垂直平分线的交点 例1、平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为
【题型五】圆中角的求解
如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC的度数
温馨提醒：（1）在同圆或等圆中，直径为半径的2倍；（2）圆中常用半径相等来构造等腰三角形，这些看似十分简单的性质和方法，却最容易被遗忘。
巩 固 练 习
1、如图，一根5m长的绳子，一端拴在柱子上，另一端拴着一只羊（羊只能在草地上活动），请画出羊的活动区域。
3m
2、如果⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为7，最小距离为1，那么此圆的半径为 3、如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC，DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b
，NH=c，则a，b，c的大小关系是
第5题
第3题
4、已知⊙O的半径为1，点P与圆心O的距离为d，且方程x2-2x+d=0有实数根，则点P在⊙O的 5、如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用 次就可以找到圆形工件的圆心
6、若线段AB=6，则经过A、B两点的圆的半径r的取值范围是
7、在Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a、b是方程x2-7x+12=0的两根，则△ABC的外接圆面积为 8、如图，平面直角坐标系中一第圆弧经过网格点A、B、C，其中B点坐标为（4，4），那么该圆弧所在圆的圆心坐标为
9、已知圆上有3个点，以其中两个点为端点的弧共有 条 【课本相关知识点】
1、旋转与旋转中心的概念
一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个固定的点叫做旋转中心。 2、图形旋转的性质
（1）图形旋转所得到的图形和原图形全等
（2）对应点到旋转中心的距离相等。任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度 3、平移、旋转与轴对称的特征
（1）图形平移得到的图形与原图形全等，但平移前后对应点之间的连线互相平行（或在同一条直线上）且相等
（2）图形经过轴对称得到的图形的对应点之间的连线与对称轴互相垂直（或在一条直线上） （3）图形旋转得到的图形与原图形全等，但旋转前后对应点之间连线的夹角相等。 【典型例题】
题型一、旋转图形的相关概念
例1、如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，D为BC边上一点，将△ABD旋转至△ACE的位置 （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转角度有多少度？ （3）分别指出B、D的对应点
（4）分别指出∠1与∠2的对应角及线段BD、AD的对应边
例2、分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示。将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是________度。 例3、如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）
例2 例3 题型二、旋转图形的性质及应用
例1、如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么CE=______
例2、如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1
例3 例2
例3
、如图，P为等三角形ABC内部一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比是5：6
：
7
，则以AP，PB，PC的长为边的三角形的三个内角的大小之比是（ ）
A. 2：3：4 B. 3：4：5 C. 4：5：6 D. 无法确定 题型三、利用旋转作图
例1、如图，已知△
ABC绕点O旋转，点D是△ABC旋转后点A的对应点，试作出旋转后的△DEF
例2、如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上。
（1）将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图； ．．（2）以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图。 ．．
甲 乙
题型四、利用平移、旋转轴对称设计图案
例1、如下图有6种瓷砖，请用其中的4块瓷砖（允许有相同的），设计出美丽的图案，然后利用你设计的图案，通过平移，轴对称或旋转，设计出更加美丽的大型的图案
题型五、旋转创新题
例1、如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是________
例2、如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心从①的位置顺时针旋转，分别得②、③、„，则：（1）旋转得到图③的直角顶点的坐标为________ （2）旋转得到图⑩的直角顶点的坐标为________
例3、如图所示有两个边长为6cm的正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心上，那么图中阴影部分的面积是（ ）
A. 4cm2 B. 8cm2 C. 9cm2 D. 无法确定
例4、如图，在等边三角形ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上的一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是
_______
例5、如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°. （1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是_________；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________________.
B(E)
A(D) C
（2）猜想论证 图1 图2
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.
3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE
E（如图4）.若在射线BA上存在点
F，使S△DCF=S△BDE
图3
【课本相关知识点】
1、轴对称图形：如果一个图形沿着某一条直线直线 ，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。
2、圆是轴对称图形， 都是它的对称轴
3、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分 4、分一条弧成 的点，叫做这条弧的中点。 6、垂径定理的逆定理1：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分 垂径定理的逆定理2：平分弧的直径 【典型例题】
【题型一】应用垂径定理计算与证明
例1、如图所示，直径CE垂直于弦AB，CD=1，且AB+CD=CE，求圆的半径。
例2、如图所示，已知线段AB交⊙O于C、D两点，OA、OB分别交⊙O于E、F两点，且OA=OB，求证：
AC=BD
温馨提醒：在垂径定理中，“垂直于弦的直径”可以是直径，可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。 【题型二】垂径定理的实际应用
例1、某居民区内一处圆形下水道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图所示，污水的水面宽为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问：修理人员应准备内径多大的管道？ 60cm
温馨提醒：要学会自己多画图，这样有助于书写解题过程。
例2、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是
【题型三】垂径定理与逆定理的实际应用
AB的中点，过点M的弦MN交AB
于点C，设⊙O的半径为4cm，。 例1、如图，已知M是⌒（1）求圆心O到弦MN的距离
（2）求∠ACM的度数
10cm
【题型四】应用垂径定理把弧2等份，4等份等
巩 固 练 习
1、下列说法正确的是（ ）
A.每一条直径都是圆的对称轴 B.圆的对称轴是唯一的 C.圆的对称轴一定经过圆心 D.圆的对称轴与对称中心重合
2、下列命题：① 垂直于弦的直径平分这条弦；② 直且平分弦的直线必定经过圆心。其中正确的有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3、如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，
则满足条件的点P有（ ）个
A.2 B.3 C.4 D.5
4、半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，长度分别为6cm和8cm，则这两弦之间的距离为
cm
5、圆的半径等于
，圆内一条弦长2，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于 6、如图，矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E，如果AM=2，DE=1，EF=8，那么MN的长为 A
O
第6题 第7题 第8题 第9题
7、如图，AB是⊙O的直径，
CD是弦。若AB=10cm，CD=6cm，那么A、B两点到直线CD
的距离之和
第10题 为
k
8、如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，-4）、N（0，-10），函数y=（x
x
P，则k=
9、如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 10、如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，则MN= 11、已知圆内接△ABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，求腰AB的长
12、如图，已知⊙O的半径为10cm，弦AB⊥CD，垂足为E，AE=4cm，BE=8cm，求弦CD的长
13、如图，某菜农在生态园基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度（弦AB大棚顶点C离地面的高度为2.3米. ⑴求该圆弧形所在圆的半径；
⑵若该菜农身高1.70
⌒D的中点，E为弦AC的中点，且在BD上。求四边形ABCD的面积。 14、⊙O的半径为2，弦A为B
【课本相关知识点】
1、中心对称图形：把一个图形绕着某一点 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么，这个图形叫做中心对称图形，这个点是它的 2、过中心对称图形的 的任意一条直线可以平分其面积。
3、圆的旋转不变性：将圆周绕圆心O旋转 ，都能与自身重合，这个性质叫做圆的旋转不变性。 4、圆心角： 叫做圆心角。
5、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ，所对的 （这就是圆心角定理） 6、n°的圆心角所对的弧就是 ，圆心角和 的度数相等。 ⌒B，那么所求的是弧长 注意：在题目中，若让你求A
7、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么
都相等。（姑且称之为圆心角定理的逆定理）
注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。
【典型例题】
【题型一】与圆心角定理的逆定理的相关说法的正确与否
例1、下列说法：① 等弦所对的弧相等；② 等弧所对的弦相等；③ 圆心角相等，所对的弦相等；④ 弦相等，所对的圆心角相等；⑤ 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。正确的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【题型二】运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系证明线段、角度、弧相等 例1、如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，PO平分∠APD。求证：AB=CD
例2、如图⊙A与⊙B是两个等圆,直线CF∥AB,分别交⊙A于点C、D，交⊙B于点E、F。求证：∠CAD=∠EBF
⌒⌒D与AE相等吗？说明理由。
例3、如图所示，AB、CD是⊙O的直径，CE∥AB交⊙O于点E，那么A
【题型三】计算弧的度数
⌒AD的度数为40°，求BE的度数
例1、如图所示，C是⊙O的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD=CO，若⌒
【题型四】运用用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决实际问题
例1、已知张庄、李庄分别位于直径为300米的半圆弧上的三等分点M、N的位置，现在要在河边（直径所在的位置）修建水泵站，分别向两个村庄供水，求最小需要多少米的水管？（提示：将半圆补全，将军饮马问题）
巩 固 练 习
1、如果两个圆心角相等，那么（ ）
A.这两个圆心角所对的弦相等 B.这两个圆心角所对的弧相等 C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D.以上说法都不对 2、下列命题中，正确的是（ ）
A.相等的圆心角所对弦的弦心距相等 B.相等的圆心角所对的弦相等
C.同圆或等圆中，两弦相等，所对的弧相等 D.同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距也相等
3、在半径为1 ） A.30° B.45° C.60° D.90°
⌒⌒AB=⌒AC；③ BD=CD； 4、在⊙O中，AD是直径，AB、AC是它的两条弦，且AD平分∠BAC，那么：① AB=AC；②⌒
④ AD⊥BC。以上结论中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5、如图所示，在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC等于（ ） A.140° B.135° C.130° D.125°
第6题 第7题 第8题 ⌒⌒B=2CD，则弦AB
和弦CD的关系是（ ） 6、如图，在⊙O中，A
A. AB>2CD B. AB
无法确定
7、如图，在条件：①∠COA=∠AOD=60°；②AC=AD=OA；③点E分别是AO、CD的中点；④OA⊥CD且 ∠ACO=60°中，能推出四边形OCAD是菱形的条件有 个。
8、如图所示，在⊙O中，弦AB>CD，OM⊥AB，ON⊥CD，M、N为垂足，那么OM、ON的关系是（ ） A. OM>ON B. OM=ON C. OM
9、如图所示，已知AB为⊙O的弦，从圆上任一点引弦CD⊥AB，作∠OCD的平分线交⊙O于点P，连续PA、PB。求证：PA=PB
10、如图所示，M、N为AB、CD的中点，且AB=CD。求证：∠AMN＝∠CNM
⌒N于点B，试求⌒BN的度数 11、如图，MO⊥NO，过MN的中点A作AB∥ON，交M
【课本相关知识点】
1、顶点在
上，且两边
的角叫圆周角。 2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的
3、圆周角定理推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是
4圆周角定理推论2：在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等；相等的圆周角所对 的也相等 【典型例题】
【题型一】圆周角定理的应用
例1、△ABC为⊙O的内接三角形，∠BOC=100°，求∠BAC的度数。
【题型二】圆周角定理推论的应用
例1、如图所示，点A、B、C、D在圆上，AB=8，BC=6，AC=10，CD=4，求AD的长。
例2、如图所示，A、B、C三点在⊙O上，CE是⊙O的直径，CD⊥AB于点D。
（1）求证：∠ACD=∠BCE；（2）延长CD交⊙O于点F，连接AE、BF，求证：AE=BF
【题型三】应用圆周角知识解决实际生活问题
例1、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A、B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的大小为
例2、现需测量一井盖（圆形）的直径，但只有一把角尺（尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖半径）．请配合图形、文字说明测量方案，写出测量的步骤．（要求写出两种测量方案）
图形1
11
图形2
解法一：如图（1），把角尺顶点A放在井盖边缘，记角尺一边与井盖边缘交于点B，另一边交于点C（若角尺另一边无法达到井盖的边上，把角尺当直尺用，延长另一边与井盖边缘交于点C），度量BC长即为直径；
解法二：如图（2），把角尺当直尺用，量出AB的长度，取AB中点C，然后把角尺顶点与C点重合，有一边与CB重合，让另一边与井盖边缘交于D点，延长DC交井盖边于E，度量DE长度即为直径；
巩 固 练 习
1、图中圆周角有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第4题 第5题 第3题 第1题 第2题 2
、如图，正方形ABCD
内接于⊙O，点P在
AB上，则∠DPC = .
3、如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB
与⊙O交于点P，点B
与点O重合，将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B
与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是（ ）
A．30°≤x≤60° B．30°≤x≤90° C．30°≤x≤120° D．60°≤x≤120° 4、如图，PB交⊙O于点A、B，PD交⊙O于点C、D，已知⌒DQ的度数为42°，⌒BQ度数为38°，则∠P+∠Q= 5、如图，AB是⊙O的直径，C, D, E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2 = .
6、如图，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
第7题 第8题
7、已知，如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°。给出下列四⌒⌒E是DE的2倍；④ AE=BC。其中正确结论的序号是 个结论：① ∠EBC=22.5°；② BD=DC；③ A
8、如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角为
9、如图，AB, AC 是⊙O的两条弦，且AB=AC．延长CA到点D．使AD=AC， 连结DB并延长,交⊙O于点E．求证：CE是⊙O的直径．
12
10、如图，在⊙O中AB是直径， CD是弦，AB⊥CD.
(1)P是CAD上一点（不与C, D重合）．求证：∠CPD=∠COB；
(2)点P’在劣弧CD上（不与C , D重合）时，∠CPD与∠COD有什么数量关系？请证明你的结论．
/
11、（1）如图（1）已知，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E．求证：△ODE是等边三角形；
（2）如图（2）若∠A=60°，AB≠AC，则（1）的结论是否成立？如果成立，请给出证明，如果不成立，请说明理由．
12、如图所示，直径AB、CD互相垂直，P是OC的中点，过点P的弦MN∥AB，
试判断∠MBC与∠MBA的大小关系。
13、如图，AB为⊙O的直径，弦DA、BC的延长线相交于点P，且BC=PC，求证： （1）AB=AP （2）BCCD
【课本相关知识点】
1四边形的外接圆。
2、圆内接四边形有以下的性质定理：圆内接四边形的对角互补 【典型例题】
题型一、圆内接四边形的概念及性质 例1、下列说法正确的是（ ）
① 圆内接四边形的内角和是360°；② 圆内接平行四边形是矩形；③ 四边形的外接圆的圆心是四边形各边垂直平分线的交点；④ 四边形的外接圆的圆心是四边形各内角平分线的交点
13
A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
例2、如图，四边形ABCD是圆内接四边形，则下列式子成立的是（ ）
A. ∠A+∠DCE=180° B. ∠B+∠DCE=180°
C. ∠A=∠DCE D. ∠B=∠DCE 3、圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=1：2：5，则∠D等于（ ） A. 60° B. 120° C. 140° D. 150°
4、如图，已知E是圆内接ABCD的边BA延长线上一点，BD=CD，且∠EAD=55°，则∠BDC=
题型二、圆内接四边形的性质的计算与证明
例1、如图，BC是直径，则∠DBC+∠BAE等于（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°
EE
例1 例2 例3 例4
例2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠DCE=75°，则∠BOD=
例3、如图，AB是半圆O的直径，点C，D是弧AB上两点，∠ADC=120°，则∠BAC=
★★★★例4、如图，△ABC内接于圆O，点D是弧AB上的一点，点E是弧AC上的一点，若∠BAC=50°，则∠D+∠E=
例5、如图，AB上圆O的直径，AC，DE是圆O的两条弦，且DE⊥AB，延长AC，ED相交于点F。 求证：∠FCD=∠ACE
【课本相关知识点】
1、我们把各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形 2、我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也就叫做圆内接多边形。 3、正多边形一定是轴对称图形，但不一定是中心对称图形 4、n边形的内角和为（n-2）×180°
温馨提醒：等边三角形、正方形是最简单的正多边形 【典型例题】
题型一、正多边形的概念
例1、下列说法中正确的是（ ）
A. 各边都相等的多边形是正多边形 B. 正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C. 正多边形都有内切圆和外接圆，且两圆为同心圆 D. 各内角都相等的圆内接多边形为正多边形
14
题型二、正多边形的角度、边数计算
例1、已知正n边形的一个内角为135°，则n的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 例2、正五角星通常是经过先把圆五等分，然后连结五个等分点而得到的，则图中的每一个顶角的度数是（ ） A.30° B.35° C.36° D.72°
例3、如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为【 】
A．30° B．36° C．38° D．45°
例4、用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形（如下图）．方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB，以AB的中点O为顶点将平角五等份，并沿五等份的线折叠，再沿CD剪开，使展开后的图形为正五边形，则∠OCD等于（ ）
A．108° B．90° C．72° D．60° 题型三、正多边形的长度、面积计算
例1、如图，正八边形ABCDEFGH内接于圆O，圆O
AB的长
题型四、证明一个多边形是正多边形、及角度、长度的证明
例1、如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M。求证：（1）AC∥ED；（2
）ME=AE
例2、如图，正六边形ABCDEF的对角线AC，AE分别与BF交于点G，H，求证：BG=GH=HF
15
例3、如图（1）、（2）、（3），M，N分别是⊙O的内接正△ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE的边AB，
BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
（1）求图（1）中∠MON 的度数；
（2）图（2）中∠MON的度数是________，图（3）中∠MON的度数是________； （3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系.（直接写出答案） 题型五、正多边形的画法
【课本相关知识点】
1、弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l=
2、在弧长公式中，有3个变量： ，已知其中的任意两个，都可以求出第3个变量。我们只需要记住一个公式即可。（有些老师要求它的另外两个变形公式都要记住，其实完全没有必要）
3、扇形面积公式1：半径为R，圆心角为n°的扇形面积为 。这里面涉及3个变量： ，已知其中任意两个，都可以求出第3个变量。我们中需要记住一个公式即可。 4、扇形面积公式2：半径为R，弧长为l的扇形面积为
5、求阴影部分面积一般遵循“四步曲”，即：一套，二分，三补，四换
一套：直接套用基本几何图形面积公式计算；二分：将其分割成规则图形面积的和或差；三补：用补形法拼凑成规则图形计算；四换：将图形等积变换后计算。
【典型例题】
【题型一】静止图形的弧长计算与运动图形的弧长计算
【例1】、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA的长为半径的圆 交AB于点D。若AC=6，求AD的长
【例2】、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为
【题型二】求阴影部分的面积问题
【例1】、如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，以B为圆心，以BA为半径作圆弧，交
CB的延长线于点E，连接DE。求图中阴影部分的面积。 16
【例2】、如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为
A1
例2
H A
O
C O H1
1B
C1 例3
【例3】、如上图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1B1C1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ） A
．
7π 3B
．
4π 3C．π
D
．
4
π3
【例4】、如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积。
【题型三】用弧长及扇形面积公式解决实际问题
【例1】、当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得CD=80cm、∠DBA=20°，端点C、D与点A的距离分别为115cm、35cm．他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果。也请你算一算雨刷CD扫过的面积为
2
巩 固 练 习
1、如果一条弧长等于
1
πr，它的半径是r，那么这条弧所对的圆心角度数为 4
2、如果一条弧长为l，它的半径为R，这条弧所对的圆心角增加1°，则它的弧长增加
2
3、扇形的弧长为20cm，半径为5cm，则其面积为
cm
2
4、一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm，那么扇形的圆心角是 5、图中4个正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的图形个数是（ ）
A.0 B.2 C.3 D.4
17
6、如图所示，扇形AOB的圆心角为90°，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是
第6
题
第7第8
题 题 7、如图，AB=12，C、D是以AB为直径的半圆上的三等分点，则图中阴影部分面积为
8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）（到了初中阶段，其实即使不说，结果也要保留π，这是一个基本常识）
9、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为
第9题
第10题
10、（2013年温州中考题）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作如图所示，若AB=4，AC=2，S1S2A.
，
4
，则S3S4的值是（ ）
2911523
B. C. D. 4444
11、如图，⊙O的半径为R，AB与CD是⊙O的两条互相垂直的直径，以B为圆心，BC为半径为CD,交AB于点E，求圆中阴影部分的面积。
12、如图，已知矩形ABCD中，BC=2AB，以B为圆心，BC为半径的圆交AD于E，交BA的延长线于F ，设AB=1，求阴影部分的面积.
13、如图，在△ABC中，已知AB=4cm，∠B=30°，∠C=45°，若以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点E，交BC于点F。
（1）求CE的长 （2）求CF的长
18
概 念
点和圆的位置关系三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
不在同一直线上的三点确定一个圆
圆的轴对称性 圆的基本性质
垂径定理及其2个逆定理
圆的中心对称性和旋转不变性 圆 圆心角定理及逆定理 圆心角定理及逆定理都是根据圆的旋转不变性推出来的
圆周角定理及2个推论
圆内接四边形的概念及性质
圆的相关计
圆的相关证
1、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。过三点可作 个圆。过四点可作 个圆。 2、旋转与旋转中心的概念
一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个固定的点叫做旋转中心。 3、图形旋转的性质
（1）图形旋转所得到的图形和原图形全等
（2）对应点到旋转中心的距离相等。任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度 4、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分 垂径定理的逆定理1：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分 垂径定理的逆定理2：平分弧的直径
5、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ，所对的
19
圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么 都相等。
注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与⌒B，那么所求的是弧长 劣弧相等，优弧与优弧相等。在题目中，若让你求A
6、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的
圆周角定理推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是
圆周角定理推论2：在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等；相等的圆周角所对 的也相等 7、如果一个四边形的的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
圆内接四边形有以下的性质定理：圆内接四边形的对角互补 8、① 我们把各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形
② 我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也就叫做圆内接多边形。
③ 正多边形一定是轴对称图形，但不一定是中心对称图形
9、弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l=
10、扇形面积公式1：半径为R，圆心角为n°的扇形面积为 。这里面涉及3个变量： ，已知其中任意两个，都可以求出第3个变量。我们中需要记住一个公式即可。 扇形面积公式2：半径为R，弧长为l的扇形面积为
考点一、与圆相关的命题的说法正确的个数，绝大多数是选择题，也有少部分是填空题（填序号） 考点二、利用旋转的概念及性质解题
考点三、求旋转图形中某一点移动的距离，这就要利用弧长公式
考点四、求半径、弦长、弦心距，这就要利用勾股定理和垂径定理及逆定理 考点五、求圆心角、圆周角
考点六、圆内接四边形性质的应用 考点七、求阴影部分的面积
考点八、证明线段、角度、弧度之间的数量关系；证明多边形的具体形状 考点九、利用不在同一直线上的三点确定一个圆的作图题 考点十、方案设计题，求最大扇形面积
巩 固 练 习
一、选择题
1、下列命题中：① 任意三点确定一个圆；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③ 任意一个三角形有且仅有一个外接圆；④ 平分弦的直径垂直于弦；⑤ 直径是圆中最长的弦，半径不是弦。正确的个数是（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2、如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OAABBO 的路径运动一周．设OP为s，运动时间为
t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（ ）
A． B． C． D．
3、如图所示，长方形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于E点。取BC的中点为F，过F作一直线
于G点。求AGF=（ ） 与AB平行，且交20
(A) 110 (B) 120 (C) 135 (D) 150 。
第3题 第4题 第
5题
4、如图，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
第6题
5、如图，弧BD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周， P为弧BD上任意一点，若
AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（ ）
A．
15 B． 20 C．15+
．15+6、如图，已知⊙O的半径为5，点到弦的距离为3，则⊙O上到弦A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
所在直线的距离为2的点有（ ）
7、如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y，下列中图象中，
能表示y与x的函数关系式的图象大致是（ ）
A
B
A B C D
8、如图5，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、
B到MN的距离分别为h1，h2，则|h1－h2| 等于（ ） A、5 B、6 C、7 D、8
9、如上图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1B1C1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A1 A．
7π
3B．
4π 3C．π
D．
4
π3
A O
10、（2013年温州中考题）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作如图所示，若AB=4，AC=2，S1S2A.
H
C O H1
1B
，
C1
4
，则S3S4的值是（ ）
2911523
B. C.
D. 4444
11、如图是万花筒中看到的一个图案，图中所有的小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看做是菱形ABCD以A为中心（ ）得到的．
A．顺时针旋转60°B．逆时针旋转60°C．顺时针旋转120°D．逆时针旋转120°
12、如图，四边形ABCD是圆内接四边形，则下列式子成立的是（ ）
A. ∠A+∠DCE=180° B. ∠B+∠DCE=180°
C. ∠A=∠DCE D. ∠B=∠DCE
二、填空题
1、如图，⊙O是等腰三角形
则 2、如图，
，
的外接圆， ．
A
B
，，为⊙O的直径，，连结，
第1
题
为⊙O的直径，点
第2题
在⊙O上，
第3题
，则
．
第4题
3、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连结BD、BC。 AB=5，AC=4，则BD= 4、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为BC上一点，若∠CEA=28，则∠ABD=
°.
5、在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为
6、在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的度数为__________________ 7、如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若ABD65°，则ADC ．
B 第8题
（第7
8、如图, AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=30°，点P在线段OB上运动. B 设∠ACP=x，则x的取值范围是 第9题9、如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则12
10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为
11、以半圆O的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D。若AD=4，DB=6，那么AC的长为
12、当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得CD=80cm、∠DBA=20°，端点C、D与点A的距离分别为115cm、35cm．他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果。也请你算一算雨刷CD扫过的面积为
2
cm（π取3.14）
三、解答题
1、如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上。 （1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数； （2）若OA=5，OC=3，求AB的长
2、如图，在一个横截面为Rt△ABC的物体中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1米．工人师傅先将AB边放在地面（直线l）上。
（1）请直接写出AB，AC的长；
（2）工人师傅要把此物体搬到墙边（如图），先按顺时针方向绕点B翻转到△A1BC1位置（BC1在l上），最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2C2恰好靠在墙边），画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径，并求出该路径的长度。
（3）若没有墙，像（2）那样翻转，将△ABC按顺时针方向绕点B翻转到△A1BC1位置为第一次翻转，又将△A1BC1按顺时针方向绕点C1翻转到△A2B1C1（A2C1在l上）为第二次翻转，求两次翻转此物的整个过程点A经过路径的长度．
3、如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C。
（1）用尺规作图法，找出弧ABC所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）设△ABC是等腰三角形，底边BC=8，AB=5，求圆片的半径
R
4、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC＝BC，D为⊙O中AB上一点，延长DA至点E，使CE＝CD. （1）求证：AE＝BD （2）若AC⊥BC，求证：
．
5、如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H （1）如果⊙O的半径为4，
AC的长
⌒的中点，连接OE、CE，求证：CE平分∠OCD （2）若点E为为ADB
（3）在（1）的条件下，圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个？并说明理由。
6、①、如下图所示，点P在⊙O外，过点P作两射线，分别与⊙O相交于点A、B、C、D，猜想AB的度数、CD的度数与∠P之间的数量关系，并进行证明。
②、当点P在圆内时，猜想AC的度数、BD的度数与∠APC之间的数量关系，并进行证明。
图（1） 图（2）
文字叙述：顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半；
顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其对顶角所截弧度数和的一半。
7、如图，AB上圆O的直径，AC，DE是圆O的两条弦，且DE⊥AB，延长AC，ED相交于点F。 求证：∠FCD=∠ACE
8、如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°. （1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是_________；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________________.
B(E)
A(D) C
（2）猜想论证 图1 图2
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.
3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交
E（如图4）.若在射线BA上存在点F，使S
△DCF=S△BDE，请直接写出．．．．
图3
图4
1、如图，AD是⊙O的直径．
(1) 如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是 ，∠B2的度数
是 ；
(2) 如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；
(3) 如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3 C3，„，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠
Bn的度数(只需直接写出答案)．
BC2
Bn 图③ 图①
图②
2、如图9，在平面直角坐标系中，以点
为圆心，2为半径作圆，交轴于
两点，开口向下的抛物线
经过点，且其顶点在⊙C上． （1）求的大小； （2）写出两点的坐标； （3）试确定此抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在一点，使线段请说明理由．
与互相平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，
3、（2010年嘉兴）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，„，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．
（1）如图1，当n＝1时，求正三角形的边长a1；
（2）如图2，当n＝2时，求正三角形的边长a2； （3）如题图，求正三角形的边长an （用含n的代数式表示）．