正规矩阵的性质及判定
彭志平, 何偲钰, 邓泽, 刘熠*
（内江师范学院 数学与信息科学学院, 四川 内江 641112）
摘 要：根据正规矩阵在数系当中的应用, 为了更好的学习和掌握正规矩阵的性质, 于是利用伴随矩阵以及全转置矩阵与正规矩阵的关系得到了正规矩阵的一些性质与等价条件, 其中由于伴随矩阵与正规矩阵的特殊联系又得到了高次混合伴随阵为正规矩阵的充分条件, 为进一步了解正规矩阵奠定了基础.
关键词：正规矩阵；伴随矩阵；全转置矩阵；高次混合伴随阵
中图分类号：O151.2 文献标识码：A 文章编号:1671-1785(2011)10-0007-04 0 引言
酉空间是欧氏空间在复数域上的自然类比. 在一般教材[1,2] 中均介绍了酉空间、酉矩阵和Hermite 矩阵的概念, 以及它们的相关性质. 而对正规矩阵均没有提及．正规矩阵是在讨论矩阵的酉等价时产生的一类矩阵[3], 它在矩阵分析中占有重要的位置, 并且它还推广了酉矩阵、实对称矩阵和Hermite 矩阵．近年来, 许多学者对正规矩阵的一些性质与一些等价条件做了一系列的研究, 主要集中文献[4-7].
在欧氏空间中, A ∈M n (R), A 是正规矩阵, 如果AA T =A T A . 对于实正规矩阵的研究, 包[6]给出了实正规矩阵的充要条件是∑a ik a jk =∑a ki a kj . 而在酉空间中, 为了讨论矩阵的酉等价, 得到了复正规矩阵
k =1
k =1
n
n
的概念, 即：A 是复正规矩阵, 如果A A=A A , 其中A ∈M n (C ) 且A 为A 的共轭转置矩阵. 本文在上述文献的基础上, 主要从伴随矩阵, 全转置矩阵以及高次混合伴随阵来进一步研究复正规矩阵的性质以及等价条件. 1 基本概念与引理
定义1.1 设矩阵U 是复数域上的n 阶方阵, 若T U =T =E , 则称U 为酉矩阵．
[2]
定义1.2 设矩阵A, B 是复数域上的n 阶方阵, 如果存在酉矩阵U , 使得B =T AU , 那么就称A 酉相似于B ． 定义1. 3
[4] [1]
T T T
设矩阵A ∈M n (C ) , 如果A A=A A , 则称A 是正规矩阵.
T
T
定义1.4 设A =(aij ) m ⨯n
[8]
[8]
⎛a mn
, 若B = :
a ⎝1n ⋅⋅⋅a m1⎫
ο
⋅⋅⋅:⎪⎪ 则称B 为A 的全转置矩阵, 记作B =A . ⋅⋅⋅a 11⎪⎭
引理1.1 设A , B 为n 阶矩阵, 则：
(1) (A +B )
-1
ο
=A ο+B ο; (2) (A T ) =(A ο) ; (3) (AB ) =A οB ο;
ο
οT
(4) (A ο) =(A -1) ; (5) (A *) =(A ο) ; (6) (A ο) =A .
设A =(aij ) m ⨯n 是数域F 上的n 阶方阵, A ij 和M ij 分别为n 阶方阵A 的代数余子式和余子式且记为
οο*ο
A *=(A ij ) , *A =(M ij ) .
⎛1
-1
[9,10]
引理1.2设A 和C 为n 阶方阵, 其中C =
o ⎝（1）*A =C (A *) C ;
（2）C 为对称正交矩阵, 且*C =C *=C C ;
o 1
-1
⎫⎪⎪
⎪, 则 ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⎭
(3) (4)
*
(A *) =(*A ) , 即:两种伴随矩阵的运算可交换次序; 若A 可逆, 则: *(A *) =(*A ) (A ) =(A *)
[11]
*
**
=C A
n-2
AC ;
**
=A
n-2
A , 即* *A =A * *.
引理1.3
设A =(aij ) m ⨯n 为复数域上的n 阶方阵(n ≥2), 则
(A *) ={ A ,
2 正规矩阵的性质
*n-2
A, n>2n=2
.
性质2.1 若A ∈M n (C ) 是复正规矩阵, 则A T 是复正规矩阵. 证明 因为A 是复正规矩阵, 故A A=A A . 又因A T A
⎛AA T ⎫=⎛A T A ⎫⇒A T A T
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
T
T
()
T
T T
=A T A , A
T T
T
() A
.
T T
T
=AA T . 因此
() =(A ) A
所以A T 是复正规矩阵.
性质2.2 设A ∈M n (C ) 是复正规矩阵, 则k A 也是复正规矩阵, 其中k ∈C . 证明 因为A 是复正规矩阵, 故A A=A A . 而
k A ⋅k A
T
T
()
k A
T
=k A ⋅k ⋅A
2
()
T
=k ⋅AA ,
2
T
()
T
T
T
⋅k A =k ⋅A A .
T
故k A ⋅()=()⋅k A . 从而k A 也是复正规矩阵.
性质2.3 设A ∈M n (C ) 是复矩阵. 则A 为正规矩当且仅当A +k E 为正规矩阵, k ∈C , E 为n 阶单位矩阵.
证明 因为
(A +k E ) (A +k E ) =(A +k E ) (A +k E ) =AA +k A +k A +k E ,
2
T T T T
(A +k E ) (A +k E ) =(A
T
T
T T
+k E (A +k E ) =A A +k A +k A +k E .
T
T
)
T T
2
由于A 是复正规矩阵, 故A A=A A . 因此(A +k E ) (A +k E ) =(A +k E ) (A +k E ) . 从而A +k E 为正规矩
阵.
反之, 若A +k E 为正规矩阵, 则必有(A +k E ) (A +k E ) =(A +k E ) (A +k E ) , 即
A A +k A +k A +k E =AA +k A +k A +k E .
T
T
2
T
T
2
T Τ
因此A A =AA , 故A 为正规矩
性质2.4 若A 为复数域上的n 阶方阵, A 为正规矩阵当且仅当A ο为正规矩阵. 证明 若A 为正规矩阵, 故A A=A A , 从而A A
A ο A
T ο
T
T
T T
(
T ο
) ()
T ο
=A A . 由引理1(3) 知
ο
() () A .
=A
T ο
再由引理1.1 (2)有A ( A
ο
ο
) =(A ) A , 因此A ο为正规矩阵.
ο
ο
T T
反之, 上述过程可逆. 因此A 为正规矩阵当且仅当A ο为正规矩阵.
性质2.5 若A , B 为复数域上的n 阶方阵且A , B 均为酉矩阵, 则AB , (AB ) ο为正规矩阵. 证明 因A , B 为酉矩阵, 故=A =E , =B =E , 其中, E 为n 阶单位矩阵. 所以,
T
T
T
T
()
T
T
∙(AB )=B T ∙A T ∙AB =∙∙AB =E .
T T
同理有(AB )∙(AB )=AB ∙B T ∙A T =E . 因此AB 为正规矩阵. 由性质2.4可知(AB ) ο为正规矩阵. 性质2.6 设A ∈M n (C ) 是复正规矩阵, 则A n (n ∈N )是复正规矩阵.
证明 若n =2时, 因为A 为n 阶正规矩阵, 故A A=A A . 由于
A 2∙A
T
T
()
2T
=A ∙A ∙A ∙A =AA ∙AA =A A ∙AA =A ∙AA ∙A =A
T T T T T T T T
()
2T
∙A 2,
故A 2是正规矩阵.
对于n >2的情况可以类似地证明. 故由A n (n ∈N )是复正规矩阵. 3 正规矩阵的等价条件
定理3.1 若A 为复数域上的n 阶非奇异矩阵. A 为正规矩阵当且仅当A -1为正规矩阵.
证明 (必要性) 因A 为正规矩阵, 故A A=A A . 又因为A 可逆, 因此A A
T
T
(
T -1
) ()
=A A
T
T -1
-1
, 即：
T
()
A A -1
T -1
A =A
-1-1
()
A
T -1
. 由A 可逆知： A
()
T -1
() , 而 A=
A A
T
T *
() =() , 故 A= A. 从而 =() A A () ()
-1
T
A
*T
A
T *
-1
T T
()
T
A -1=A -1A -1
()
T
, 即A -1为正规矩阵.
(充分性) 若A -1为正规矩阵, 则A -1
=A . 因此A 为正规矩阵.
T
T
() A
T
-1
=A
-1
(A )
-1
T
, 即A A
(
T -1
) =(A A )
T
-1
. 因为A 可逆, 故
定理3.2 若A , B 均为n 阶复矩阵且A 与B 酉相似. 则A 为正规矩阵当且仅当B 为正规矩阵.
证明 若A 是正规矩阵, 因A 酉相似于B , 则存在酉矩阵Q , 使得：Q AQ =B . 又因为
Q Q =QQ =E , 故Q AQ =Q -1AQ =B . 因此B T =Q A Q , 于是有
BB =Q AQQ A Q =QAA Q .
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
同理有：B B =Q A QQ AQ =QA AQ . 又A 为n 阶复正规矩阵, 故A A=A A , 于是BB =B B . 因此
B 是复正规矩阵.
T T T T T T T T T
若B 为正规矩阵, 同理可证A 为正规矩阵.
定理3.3 若A 为复数域上的n 阶非奇异矩阵. 则A 为正规矩阵当且仅当A *为正规矩阵.
证明 必要性：因为A 为正规矩阵, 则A A=A A . 由A 可逆知：A *=A A -1. 又
T
T
A ∙A
*
()
*
T
=A ∙A
T
-1
(A ∙A )
-1
T
=A ∙A
-1
(A ∙A )
T
-1T
=A A ∙A ∙A
T
-1
(),
-1T
而A *∙A *=A ∙A -1
()
T
()
T
A ∙A -1=A A ∙A
()
-1T
∙A -1. 由定理3.1知：A -1
T
()
T
A -1=A -1A -1
()
T
, 有
()
A *
∙A *=A *∙A *
()
,
故A *为正规矩阵.
充分性：因A *是正规矩阵, 故A *∙A *=A *∙A *. 由于A 可逆, 故A *可逆. 故
A ∙A =A (A
T
*-1
()
T
()
)
T
)∙A (A
*-1
T
=A A T A *T∙A *
()
-1
且
A ∙A =A A (A
T
*-1
)
T
∙(A *)=A A T A *∙A *T
-1
()
-1
.
因此A A=A A , 即A 为正规矩阵.
推论3.1 若A 为复数域上的n 阶可逆矩阵. 则A 是正规的当且仅当A *⋅⋅⋅* (n ≥2）也是正规的. 证明 就A **进行证明, 其他的可类似证明. 必要性： 由引理1.2（2）有
A ∙A
**
T T
n 个
()
**T
T
=A
()
A **
∙A **
()
=(A A )A A =A
n-2
A ∙A
T
n-2
T
A =A
n-2
T n-2
∙
T
T
n-2n-2n-2
A
T n-2
∙A A .
所以A **∙A **
()()
T
=A **
T
∙A **, 即：A **是正规矩阵
充分性: 由定理3.3可有A **是正规矩阵等价于A *为正规矩阵, 即等价于A 为正规矩阵. 可类似证明A ***, … , A ***⋅⋅⋅*为正规矩阵.
定理3.4 若A 为复数域上n 阶可逆正规矩阵. 则A 为正规矩阵当且仅当*(A *) 为正规矩阵.
证明 必要性：因为A 为可逆正规矩阵, 所以A A=A A . 由引理1.2及1.3有
T
T
*
(A *)∙*A *=C A
n-2
T
n-2
AC ∙C A
(
n-2
AC
)
T
=A 同理有
*
T ⎫T n-2T n-2⎛T n-2
CAC A CAC ⎪=A A CA ∙A ∙C .
⎝⎭T
A *
T
∙
*
(A )=A
*
n-2
A
T n-2
CA ∙A ∙C .
所以*(A *) 为正规矩阵.
充分性：由(A ) 为正规矩阵有A *∙
*
*
*
T
*
(A *)=*(A *)∙*A *, 即
T
n-2
T
A
n-2
A
T
T n-2
CA ∙AC =A A
T n-2
CA ∙A C .
T
T
T
因为A 为n 阶可逆矩阵, 故A ≠0且≠0. 又C 可逆的, 故有A A=A A , 即A 为正规矩阵.
可类似证明(*A ) 为正规矩阵.
*
推论3.2 若A 为复数域上n 阶可逆正规矩阵. 则A 为正规矩阵当且仅(*A ) 为正规矩阵.
*
m 个
⎛*⋅⋅⋅⎫*⋅⋅⋅*
推论3.3 设A 为复数域上n 阶可逆矩阵, 则A 为正规矩阵, 当且仅当 A ⎪*(m , n ÎN) 是正规矩
⎝⎭
n 个
阵.
证明 我们只证明m =2, n =1时的情形, 其它情况可类似证.
必要性：(
*
**
**⎫*⎫(n-2)(n-1)⎛n-2n-2⎛
A )∙ (**A )⎪=A A ∙ A A ⎪=A *A *
⎝⎭⎝⎭*
T
()(
**
)
T
()
T (n-2)(n-1)
CA *A *
()
T
C . 因为A 正规,
可知A 正规, 从而A (A
*
*
) =(A ) A . 故(
*
*
T T
**⎫*⎫*⎛⎛
A )∙ (**A )⎪= (**A )⎪∙(**A ), 所以(**A ) 为正规矩阵.
⎝⎭⎝⎭
*
T T
充分性：因为：
(
**
*⎫(n-2)(n-1)⎛
A )∙ (**A )⎪=A *A *
⎝⎭*
T
T
()
T
T (n-2)(n-1)
CA *A *C A *
()
T
T
C ,
*⎫******(n-2)(n-1)
⎛A * (A )⎪∙(A )=A ⎝⎭
()
T (n-2)(n-1)
()
A *C ,
由于(A ) 为正规矩阵, 所以：(
**
*
**
*⎫*⎫*⎛⎛
A )∙ (**A )⎪= (**A )⎪∙(**A ), 即
⎝⎭⎝⎭*
*
T
A
*(n-2)(n-1)
(A )
*
T (n-2)(n-1)
CA A
() C =A
*
T
*(n-2)(n-1)
A )
*
T (n-2)(n-1)
C A
() A C .
*
*
T
又因为A 为n 阶可逆且A *=A
n-1
, 故A *可逆, 从而有A *(A *) =(A *) A *, 即A *正规, 再由定理3.3有, A 正
T T
规.
n 个 *⋅⋅⋅*
可类似证明 *⋅⋅⋅*A ⎪为正规矩阵.
⎝
⎭
⎛m 个⎫
定理3.5 设A =
证明
⎛A 1
⎝0
T
0⎫
⎪的矩阵. 则A 1, A 2为n 阶正规矩阵当且仅当A 为正规矩阵. A 2⎭
0⎫⎛A 1
⎪ A 2⎭ 0
⎝
T
T
0⎫⎛A 1A 1
⎪= T
A 2⎪⎭⎝0
⎛A
必要性：AA = 1
⎝0
⎫⎪ T
A 2A 2⎪⎭0⎫
⎪. T
2A 2⎪⎭0
⎛A T
A A = 1
0⎝
T 0⎫⎛A 1
⎪T 02⎪⎭⎝T
0⎫⎛A 1A 1
⎪= A 2⎭ 0
⎝
又因为A 1, A 2为n 阶正规矩阵, 可知：A 为正规矩阵. 充分性：A 为正规矩阵, 所以A A=A A . 即
⎛A A T 11 0⎝
T
T
T
T
T
T
⎫⎛A T A ⎪= 11T
A 2A 2⎪⎭⎝00⎫
⎪, T
A 2A 2⎪⎭0
故A 1A 1=A 1A 1, A 2A 2=A 2A 2. 即是说：A 1, A 2为n 阶正规矩阵, 故原命题成立.
⎛A 1 ⎫
⎪ A2 0 ⎪
⎪, 其中A i 为方阵, (i =1,2,...., s , s ≤n ). 则A 为正规矩阵当且仅当 推论3.4 设A = A3
⎪ 0 ⋅⋅⋅ ⎪ A⎪
S ⎭⎝A i (i =1,2,...., s ) 均为正规矩阵.
参考文献
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Properties and Judgments of Normal Matrices Peng Zhi-ping, He Si-yu, Deng Ze, Liu Yi
(College of Mathematics and Information Science, Neijiang Normal University, Sichuan Neijiang,641112)
Abstract With the use of adjoint matrix and Full-transposed matrix, some properties and equivalent characterizations of normal matrices have been obtained. In addition, the sufficient condition of high-order mixed matrix to be a normal matrix are investigated.
Keywords normal matrix; adjoin matrix; Full-transposed matrix; high-order mixed normal matrix.