几种正多面体的相互呼应

几种正多面体的相互呼应

南师附中江宁分校 韦恩培

近年来，在高考中常考查以某一正多面体为背景的立体几何题，此类问题运用不同的方法解决效果是显然不同的。

1、 常用的三种正多面体的呼应

众所周知，正多面体只有五种：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正

二十面体。

正四面体，正六面体，正八面体之间可以相互呼应。 在正方体中可以产生正四面体；（正方体对面的一对异面对角线的顶点是正四面体的顶点）如图（1）

在正方体中可以产生正八面体；（正方体六个面的中心是正八面体的顶点）如图（2） 在正八面体中可以产生正方体；（正八面体的八个面的中心是正方体的顶点）如图（3） 在正八面体中可以产生正四面体；（正八面体的两对对面的中心，连线异面的四个面的中心是正四面体的顶点）如图（4）

在正四面体中可以产生正八面体；（正四面体六条棱的中点是正八面面体的顶点）如图（5）

在图（5）的基础上，结合图（4）就能在正四面体中产生正方体。

图（1） 图（2） 图（3）

图（4）

图（6）

相互转化的目的。

2、应用呼应解题

在高考的考查中经常会利用它们之间的相互转化而达到巧解的目的。

例1、一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A．3

B．4

C．3

D．6

提示：利用图（1）正方体产生正四面体具有共同的外接球，即求棱长为1的正方体的外接球的表面积，易求得为3，选A。

例2、有一棱长为a的正四面体骨架（架的粗细忽略不计），其内放置一气球，对其充气，使其尽可能地膨胀（成为一个球）则气球表面积的最大值为 （ ） A．a

2

B．

22a 2

C．a

12

2

D．

12a 4

提示：利用图（2）正方体可以产生正八面体，正八面体可以产生正四面体知，符合条件的球即为棱长为

12

a的正方体的内切球，易求得其表面积为a2，故选C。

22

例3、如图（6）棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，过A1BC1的平面截去正方体一角（三棱锥B1A1BC1），象这样依次截去正方体所有角，则剩下的几何体的体积为。 提示：根据图（2）在正方体中可以产生正八面体得，所剩下几何体为 正方体的六个面中心作为顶点的正八面体，易求得其体积为

13

a。 6

例4、在甲烷的分子式CH4中，四个H位于一个正四面体的四个顶点上，C位于该正四面体的中心，现已知H与H之间的距离为a，则C与H之间的距离为 。

提示：由图（1）易知：该问题等价于已知正方体的面对角线长为a，求正方体对角线长的一半。易求得结果为

6

a。 4

例5、正三棱锥S—ABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于 （ ） A．90 B．60 C．45 D．30







提示：根据图（1）易知答案为C。

3、呼应的延伸

正四面体、正六面方体、正八面体之间的联系就是因为正四面体的，正六面体的F6，正八面体的V6，由表我们不难发现正八面体的E12，正十二面体的F12，正二十面体的V12，因此之间也可以仿照前面的方法相互产生。