向量法证明三点共线的又一方法及应用
平面向量既具有数量特征,又具有图形特征,学习向量的应用,可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题,有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明.
原题 已知OBλOAμOC,其中λμ1. 求证:A、B、C三点共线
思路:通过向量共线(如ABkAC)得三点共线.
证明:如图,由λμ1得λ1
μ,则
OBλOAμOC(1μ)OAμOC OBOAμ(OCOA) ABμAC
A、B、C三点共线.
思考:1. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点O具有灵活性;
:若A、B、C三点共线,则存在唯一实数对λ、μ,满 2. 反之也成立(证明略)
足OBλOAμOC,且λμ1.揭示了三点贡献的又一个性质;
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3. 特别地,λμ时,OB(OAOC),点B为AC的中点,揭示了
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中线OB的一个向量公式,应用广泛.
应用举例
平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN例1 如图,
用向量法证明:M、N、C三点共线.