食 品 价 格 变 动 分 析
摘 要
本文在研究分析挖掘食品平均价格数据的基础上，分析了食品价格变动的特点、未来一段时间食品价格的预测以及食品价格与CPI 的关系。
针对问题一，首先要对附录中27种食品进行分类，本文选择根据2014年1-4月各种食品平均价格涨跌幅的原始数据，应用SPSS 进行组间系统聚类分析，将总体27种食品分为了6大类，分别作出这6大类食品价格随时间变化的折线图，分析出食品价格波动的特点。
针对问题二，结合1中的结论，应用SPSS 软件对六类食品的均价走势进行线性，二次项，三次，对数等拟合，并依据R 2、F 检验显著度选择拟合方式，最后，通过拟合函数预测2014年5月份食品价格走势。
针对问题三，我们通过所给数据及查找的数据，进行食品价格走势与CPI 变化相关度分析, 选择相关性P >0. 7分析得出27种食品种类中价格走势与CPI 指数变动相似的依次为第1、7、15种食品，故可以通过检测较少食品种类，就能相对精确地预测CPI 数值。经过对地域经济特点的研究，选取河北和上海两地，通过查找相关CPI 和食品价格数据，计算得出对CPI 影响大的几类食品权重，分析得出不同地区应选取不同的食品种类进行检测。
关键词： 组间系统系统聚类分析 拟合 相关性分析 权重分析
一、问题重述
1.1 问题背景
食品价格是居民消费价格指数（CPI ）的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入，影响人们的生活质量，是关系国计民生的重要战略问题。
1.2 问题提出
根据已知的信息，建立数学模型解决以下问题：
（1）根据附件以及相关统计网站的数据，分析我国食品价格波动的特点。 （2）对2014年5月份食品价格走势进行预测。
（3）目前统计部门需要监测大量食品价格变动情况以计算居民消费者价格指数变动情况，能否仅仅通过监测尽量少的食品种类（这里，食品种类是指附件1表格中的商品名称，可以认为每一种商品名称即为一种食品种类）价格即能相对准确地计算、预测居民消费者价格指数？在同样精度要求下，不同地区所选取的食品种类以及种类数目是否一致？请至少选择两个有特点的城市进行说明。
二、问题分析
问题一分析
该问题要求根据已知的统计数据，分析出我国食品价格波动的特点。因此，从题目的要求可以看出，食品的价格是我们所要分析研究的对象。但由于已知的食品种类有27种，数据量比较庞大，因此可以先对27种食品进行分类，那么被归为同一类的食品之间必定有一定的关联程度，要判断各食品间均价走势的关联程度，可以把各食品均价走势之间的关联度作为其评判依据，均价走势越接近, 关联程度 就越大. 再根据关联度的大小利用直接聚类法进行分类. 由于每一类中的食品价格均具有相同的走势，即可得出我国食品价格的波动情况。
问题二分析
问题二要求预测2014年5月食品价格的走势。如果对27种食品中每一种都进行预测，显然过程繁琐，因此，可以在问题一的基础上，预测每个大类食品价格的走势即可，因为每类中各种食品的价格走势大致一样，考虑到每种食品的规格等级、计量单位对食品均价走势的影响，然后采用拟合进行分析，求解之后对价格进行预测。
问题三分析
在问题三中，消费者物价指数（Consumer Price Index ），英文缩写为CPI ，也称消费价格指数，是反映与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标，由于CPI 指数包含衣食住行等众多分类，而题目中要求仅仅通过监控部分食品价格波动，就能相对精确地预测CPI 数值，于是考虑食品类占居民消费总支出的百分比。同时，每一类食品价格变化对CPI 的重要性并不相同。为使用尽量少的食品种类达到较好的预测，根据关联度分析食品种类中价格走势与CPI 指数变动相似的，提取出少数几个代表性食品。不同地区的CPI 指数也不尽相同，则预想不同地区被提取出的食品种类也不同。经过对地域经济，选取河北和上海两地，通过查找相关CPI 和食品价格数据，运用主成分分析法，得出对CPI 影响大的几类食品，然后比较两地的影响CPI 大的食品类别是否相同。
三、模型假设
（1）数据真实可靠。
（2）食品零售价格每十天的平均价格与食品每日的价格偏差很小； （3）假设在预测时间段内不存在能使食品价格波动显著的因素。
四、符号说明
P ：相关度； F ：显著性；
五、模型的建立与求解
5.1 问题一的建模与解答
根据附表提供在2014.1.1-2014.4.10时间段内的27种城市居民食品零售价格，以各种食品每十天的均价涨跌度作为参考原始数据，
5.1.2聚类分析归类
利用SPSS 对数据聚类分析，得到的聚类图以及将得出的结果加以整理如下：
图1. 聚类图
由聚类图可知，按照均价走势的的不同特点，所涉及到的食品被分成了六类，他们分别是： 一、豆角 二、西红柿
三、活鲤鱼、活草鱼、带鱼牛肉（腿肉）、羊肉（腿肉） 四、猪肉后臀尖（后腿肉）、五花肉
五、大米（粳米）、面粉（富强粉）、面粉（标准粉）、豆制品（豆腐）、花生油（压榨一级）、大豆油（5L 桶装）、菜籽油（一级散装）、、鸡（白条鸡）、鸡（鸡胸肉）、鸭（白条鸭）、鸡蛋（散装鲜鸡蛋）、、大白菜、芹菜、土豆、苹果（富士苹果）、油菜、香蕉（国产） 六、黄瓜
5.1.3 结果的分析与食品价格波动特点的情况
为了进一步说明各种食品归类的合理性以及各类食品的均价走势特点，现结合各类食品的均价走势图加以更为直观的说明，由于第五类所包含的食品种类相对较多，各自选取其中几种食品的均价走势作图，而第一、类各自只包含一种食品，故只需作出每种食品的均价走势图即可，折线图图走势及每类食品的特点如下： 为了能直观地说明食品价格波动的情况，现依次作出这六大类食品价格变化的曲线图 1.
图2. 第一类食品价格走势
该图由第一类食品中的豆角的平均价格走势构成，第一类食品有以下的特点： 在2014.1.1到2014.1.30这段时间内，食品价格持续增长；在2014.1.30到2014.2.10日这段时间内，趋于平稳，略有下降；在2014.2.10到2014.4.10时间段内，持续下降。总的来说，这类食品先大幅增长，短暂平稳后，大幅下降，波动较大。 2.
图3. 第二类食品价格走势
该图由第二类食品中的西红柿的平均价格走势构成，有以下的特点：
在2014.1月份内价格持续增长；到二月份开始回落，在二月中旬达到小低谷后开始反弹；到三月份开始又呈大幅下降趋。总的来说，这类食品价格有较大的波动。
③
图4. 第三类食品价格走势
该图由第三类食品中活鲤鱼、活草鱼、带鱼牛肉（腿肉）、羊肉（腿肉）的平均价格走势构成，有以下的特点：在统计时间段，即2014.1.1到2014.4.10这段时间内，略有变化，波动不大。 4.
图5. 第四类食品价格走势
该图由第四类食品中的猪肉后臀尖（后腿肉）、煮肉（五花肉）的平均价格走势构成，有以下的特点：
在整个统计时间内称明显的下降趋势。 5.
图6. 第五类食品价格走势
该图由第五类食品中的大米（粳米）、面粉（富强粉）、面粉（标准粉）、豆制品（豆腐）、花生油（压榨一级）、大豆油（5L 桶装）、菜籽油（一级散装）、鸡（白条鸡）、鸡（鸡胸肉）、鸭（白条鸭）、鸡蛋（散装鲜鸡蛋）大白菜、芹菜、土豆、苹果（富士苹果）的平均价格走势构成，第五类食品有以下的特点： 这类食品平均价格很平稳，在统计时间内没有明显的波动。 6.
图6. 第六类食品价格走势
该图由第六类食品中的黄瓜的平均价格走势构成，有以下的特点：
在2014.1月份内价格持续增长；在二月初达到顶峰后开始逐渐回落。有一定的波动性。
总的来说，六类食品的价格走势曲线各不相同，之间的差别很大，从 而说明的分类的准确性。
5.2 问题二的建模与求解
5..2.1建立一元回归方程模型拟合
根据问题一的折线图大致推测和实际数据大致吻合的函数类型，应用SPSS 软件和MATLAB 软件，对相应数据进行线性，二次，三次，对数等多种模型的拟合。然后利用负相关系数R 2值、方程显著性检验F 对函数曲线和实际数据的吻合度进行检验。如果模型的拟合效果较好，就运用拟合函数进行2014年5月份的走势预测，并利用前期数据计算预测值与实际值的相对误差，都处于合理范围内，说明预测有效
5.2.2 模型的求解与检验。
（1）第一类食品均价数据的拟合与检验
先对第一类食品豆角均价走势随时间的变化特点进行分析，豆角的波动较大
由图表可以看到，三次方程拟合度R 为0.778，较高，选取三次方程进行拟合，拟合关系式：
2
y =13. 012-1. 473x +0. 585x 2-0. 044x 3
由图表可以看到，在4月份相对误差较小，表明实际数据和预测数据更加接近，对5月份豆角价格进行预测也是比较准确的。
y =13. 012-1. 473x +0. 585x 2-0. 044x 3
x =11, y =12. 811
x =12,. y =11. 444 x =13, y =9. 759
即预测得到五月份三个时间段豆角价格分别为：
12.811/千克，11.444/千克，9.759元/千克
从表中的数据可知，F 检验较大，解释变量显著度较高，取不同的值时，均有相对误差与级别方差小于0.2，达到了较高的要求，因此可以认为模型有较高的准确性
②第二类食品均价数据的拟合与检验
增长 指数 Logist ic
二次方程拟合R 2最高，拟合的关系式是：
y =-0. 069x 2+0. 827x +6. 527
3. 第三类食品均价数据的拟合与检验
先对第三类食品折线图分析特点，选择牛肉（腿肉）标准化均价随时间的变化关
三次方程拟合效果最高，R 为0.830，拟合的关系式是：
2
y =66. 800-0. 610x +0. 212x 2-0. 016x 3
达到了较高的要求，因此可以认为模型有较高的准确性 ④第四类食品均价数据的拟合与检验 选择第四类食品猪肉后臀尖（后腿肉）的标准化均价随时间的变化关系进行拟合，
模型汇总和参数估计值
因变量:var008
线性拟合度最高高，拟合的关系式是：
y =21. 831+0. 497x
通过拟合曲线图观察到拟合度相当高，与实际相符，故拟合曲线趋势变化符合实际。为验证拟合函数的合理性，对第四类食品价格走势的曲线拟合进行检验. 从表中的数据可知，k 取不同的值时，均有相对误差与级别方差小于0.2，达到了较高的要求，因此可以认为模型有较高的准确性 5. 第五类食品均价数据的拟合与检验
选择第五类食品苹果标准化均价随时间的变化关系进行拟合
模型汇总和参数估计值
三次方程拟合R 为0.941，拟合度最高，的关系式是：
2
y =12. 152-0. 182x +0. 039x 2-0. 003x 3
通过拟合曲线图观察到拟合度相当高，与实际相符，故拟合曲线趋势变化符合实际。为验证拟合函数的合理性，对第五类食品价格走势的曲线拟合进行检验.
6. 第六类食品均价数据的拟合与检验
对第六类食品黄瓜标准化均价随时间的变化关系进行拟合，
三次方程拟合R 为0.872，拟合度最高，拟合的关系式是：
2
y =5. 753+0. 206x +0. 115x 2+x 3
5.2.3 根据求解模型结果预测
针对以上模型建立和预测结果，可以得到以下结论：
第一类食品零售价格先较大幅度增长，然后保持较小增长率；
第二类食品零售价格先较大幅度下降，然后保持较小增长率； 第三类食品零售价格先小幅度下降，然后保持较大的负增长率； 第四类食品零售价格先较大幅度下降，然后保持平稳的增长率； 第五类食品零售价格先较大幅度增长，然后保持较小的增长率；
第六类食品零售价格一直保持较小的增长势头。
从选取的六类代表性食物来看，2015五月份食品价格整体持增长趋势
5.3. 问题三模型的建立与求解
5.3.1相关分析模型建立
5.3.2相关性分析模型求解
应用SPSS 以2014年1-4月食品价格涨跌幅与CPI 的涨跌幅为原始数据进行相关分析，数据见附录文件
我们选择相关性P >0.7的食品种类1、7、15（数据见附录1），即大米，菜籽油，鸡蛋，作为检测CPI 的数据
5.3.3结论分析推测
根据经济条件的差异选择收集河北和上海两地的CPI 和食品价格数据，通过上述同样方法可得到大米，菜籽油，鸡蛋的权重对比图：
数据缺失（网站打不开）
由图表可清晰看出河北和上海两地的各类食品的权重不相同，故在同样的精度要求下，所选取的食品种类不尽相同。
六 模型推广与评价
6.1 优点
在问题一中，我们采用了聚类分析法对，建模过程简单，准确. 聚类分析法对所涉及到的食品的零售价格走势等模糊性质进行了定量地确定，合理地分型化类。
在问题二中，我们根据每类食品的代表性食品价格变动建立了不同的模型，通过比较这些模型的R 2的值来找到最吻合的曲线。其中我们建立的模型主要包括线性回归模型、二次函数模型、对数函数模型等，这种比较方法大大提高了预测5月份食品价格的准确度。
在问题三中，我们运用了关联度分析法来度量各食品价格走势与CPI 指数变动特点的相关度，定量地确定，合理地分型化类，也可以减少指标选择的工作量，提高了计算的准确度和可靠性。
6.2 缺点
问题一中的要求对所涉及到的食品进行分类，本文仅根据食品均价涨跌幅的相似性进行了分类，使得分类指标较单一，未对各食品之间的内在关联进行过深挖掘。
问题二中拟合函数误差较大, 且无法规避，对于五月份的预测精度不够。
问题三中对于比较城市的选择十分主观，不具有客观性
七、参考文献
[1] . 数学建模算法大全 百度文库
[2] . 邓维武，唐兴艳《SPSS 统计分析实用教程》，电子工业出版社，2014-07 [3] . 中华人民共和国国家统计局: http://www.stats.gov.cn/;
[4]. 上海市主副食品价格公布
[5]
附录一