牛顿插值法的应用

牛顿插值法在处理磁化曲线和铁损曲线

中的应用

指导老师：李国霞 院系：物理工程学院 专业：物理电子学 姓名：夏委委 学号：[1**********]6

一、牛顿插值法简介

在科学研究与其他领域中所遇到的许多实际问题中，经常会出现函数不便于处理或计算的情形。有时候函数关系没有明显的解析表达式，需要根据实验数据或其他方法来确定与自变量的某些值相对应的函数值；有时候函数虽有明显的解析表达式，但是使用很不方便。因此，在实际应用中，往往需要对实际使用的函数建立一个简单的便于处理和计算的近似表达式，即用一个简单的函数表达式来近似替代原来复杂的函数。与用近似数代替准确值一样，这也是计算法中最基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近。用多项式逼近列表函数的问题即为多项式插值问题。根据函数f(x)已有的数据表格来计算函数f(x)在一些新的点x处的函数值，这就是插值法所要解决的问题。因此，所谓的插值法就是在所给定的函数表格中间在插入一些所需要的新的点上的函数值。

插值法的基本思想：首先设法根据表格中已有的函数值来构造一个简单的函数y(x)作为f(x)的近似表达式，然后再用y(x)来计算新的点上的函数值作为

f(x)的近似值。通常可以选用多项式函数作为近似函数y(x)，因为多项式具有

各阶的导数，求值比较方便。用代数多项式作为工具研究插值问题，通常称为代数插值。

代数插值法问题的完整提法如下：设函数yf(x)在区间a,b上是连续的，且已知f(x)在区间a,b上n1个互异点处的函数值，即yif(xi),i0,1,......n 其中，xixj(ij)。寻找一个次数不高于

n

的多项式

Pn(x)anxnan1xn1a1xa0使满足条件Pn(xi)f(xi),i0,1,,n称Pn(x)为f(x)的插值多项式，xi(i0,1,,n)称为插值结点，a,b称为插值区间。 牛顿(Newton)插值是数值逼近中的一个重要部分,它向前继承了拉格朗日(Lagrange)插值,向后引出了埃尔米特(Hermite)插值,可以看作对多项式插值作了一个简单的统一。牛顿插值公式具有形式简单,便于计算等优点。因此,在插值中得到广泛的应用。牛顿插值公式为f(x)Pn(x)Rn(x)，其中Pn(x)是牛顿插值多项式，Rn(x)为牛顿插值余项，Pn(x)和Rn(x)的表达式如下式所示：

Pn(x)fx0fx0,x1(xx0)fx0,x1,x2(xx0)(xx1)fx0,x1xn(xx0)(xxn1)f(n1)()n

它对于列Rn(x)(xxi)可以看出牛顿插值公式余项更具有一般性，(n1)!i0表函数或f(x)导数不存在的情形也同样适用。

大多数给出的函数表，或是全区间是等距的，或者虽然全区间不等距而子区间是等距的。上式适用于等距和不等据节点的计算。当节点等距分布时，用差分代替差商从而可以避免多次除法便于计算。因而导出了牛顿前插公式和后插公式。在实际运作时，究竟要采用哪一个公式，视插值点在插值区间的位置而定。 牛顿前差公式及其余项公式如下：

n

t(t1)2t(t1)(tn1)nt(t1)(tk1)k

Nn(x)f0tf0f0f0f0

2!n!k!k0

f(n1)()

Rn(x)Rn(x0th)t(t1)(tn)hn1，x0,xn

(n1)! 牛顿后差公式及其余项公式如下：

Nn(x)fntfn

nt(t1)2nt(t1)(tn1)nkt(t1)(tk1)k

fn(1)fn(1)fn

k02!n!k!

f(n1)()

Rn(x)Rn(xnth)t(t1)(tn)(1)n1hn1,x0,xn

(n1)!

在实际应用中，如果插值点x离x0比较近，则一般使用牛顿前差公式；如果插值点x离x0比较远，则一般使用牛顿后差公式。但对于同一个插值点x来说，不管用牛顿前差公式还是用牛顿后差公式，得到的结果是一样的，这两种插值公式只是形式上的差别。

二、利用牛顿插值法处理磁化曲线和铁损曲线

数值分析是用计算机来处理数学问题的方法。在其所涵盖的领域里,插值的地位十分重要。插值公式不仅能用于计算插值表以外的函数值,而且插值理论还是数值微分、积分、常微分方程初值问题数值解和非线性方程求根的理论基础。牛顿插值法是根据一组已知的插值节点xi,fi来构造牛顿插值多项式：

Nn(x)fx0fx0,x1(xx0)fx0,x1,x2(xx0)(xx1)fx0,x1xn(xx0)(xxn1)



满足Nn(xi)fi i0,1,n其余项（误差）为Rn(x)fx0,x1,x2xn(xxj)

j0

n

因为Rn(x)中含有f(x)的n1阶差商fx0,x1,x2xn，所以当f(x)是次数不超过n的多项式时，Rn(x)0。

武钢公司在1998年3月向用户发布了新的晶粒取向磁化钢带(片)的磁化曲线和铁损曲线。对于设计人员来讲,查曲线是一件麻烦的事情,不但要拿尺子打准坐标,还要进行估算。尤其是单位铁损曲线,是每次设计都要查的。这样不仅工作量大,而且容易出错。因此,有必要对磁化曲线和铁损曲线进行一些数值处理,让使用者可以根据硅钢片的型号和磁感应强度,方便地找到磁场强度或单位铁损。为此,本文采用了数值分析方法中的牛顿插值法对磁化曲线和铁损曲线作了一些处理,在实际应用中取得了较好的效果,大大提高了工作效率。

根据磁化曲线和铁损曲线的实际情况，采用分段的二次牛顿插值多项式来处理它，在实际应用中完全可以满足工程精度的要求。

首先,对于原始曲线,均匀地采集其插值出节点并输入计算机;然后程序采用三点分段插值的办法来构造二次牛顿插值多项式N2(x) ,并根据此计算出所需数据；然后将结果输出。 源程序如下： #include″stdio.h″ #include″iostream.h″ #include″math.h″ void main() {

int n,i ,j ,k,z;

float y[20] ,x[20] ,d[20] ,q[20] ,p,t ,v char chl;

printf(“请输入节点个数n! \ nn”) ; scanf(″%d,″&n) ;

printf(″请输入各节点值! \ n”) ;

for(i =0;i

scanf(″%f , %f ,″&q[i] ,&d[i]) ; }

for(k=1;k

printf(″请输入插入点! \ n″) ; scanf(″%f ,″&t) ; for(i =0;i

if(x[i] - t >0) break; } z=i-1

for(i =1;i

{x[i] =x[z] ;y[i] =y[z] ;z=z+1;} for(i =1;i

for(j =2;j > =i;j-- ) {

y[j] =(y[j] - y[j - 1])/ (x[j] - x[j - 1]) ; ∥求插商 } }

printf(″磁感应强度(T)| 铁损(W/ kg) \ n″) ; V=x[0] ;

for(j =1;j

p=y[2] ;

for(i =1;i > =0;i - - ) P=y[i] +(v-x[i])*p;

printf(″%f| ″%f \ n″,v,p) ; v=v+0.01;/ /步距为0.01 }

cout >ch1;

if(ch1= =′y′)break; } }

此程序用于处理铁损曲线，若需要处理磁化曲线，只需要改动表头汉字，其余步骤均相同。

对于该程序的应用,以30Q130型硅钢片铁损曲线为例,其过程如下: 首先,输入插值节点数据,„1.50,1.51„1.61,然后程序将构造出N2(x)并计算出所需数据,最后将结果输出。

对于30Q130型硅钢片的数据,我们将人工查找插值计算的两组结果进行比较(见下表)：

从中可以发现,插值结果具有良好的收敛性。这是因为实际曲线在一定区间内具有较好的线性特征,所以分段的二次牛顿插值能够达到足够的精度,完全符合实际生产的需要。

利用牛顿插值法处理磁化曲线和铁损曲线的优点：

(1)用分段的二次牛顿插值法处理磁化曲线和铁损曲线完全可以满足工程精度的要求。

(2)此法能大大提高工作效率,把设计人员从繁复的查曲线工作中解放出来。 (3)此法具有普遍性。对于其他国家生产的硅钢片,若提供曲线,可同样照此处理。

三、牛顿插值法的应用前景

目前，牛顿插值法已经运用到了工程上的各个领域，并解决了许多实际工程中遇到的问题，如物体加热时间的分析、计算；加药量自动标定；智能气体体积分数测量；自动确定支持度阈值；漏磁探测；电力系统采样；凸轮曲线的修正设计等。有时根据实际情况也会使用局部牛顿插值法，如运用局部牛顿插值法提高多狭缝自准直仪准确度。

在插值问题中，要求插值多项式通过给定的数据点，但实际上所谓给定的数据本身是有误差的，而且即使插值多项式通过了给定的数据点，在这些给定数据点上的误差很小，但在其他点上的误差可能会很大，这是插值问题的缺点。在实际应用中，可以采用与曲线拟合结合等方法来达到更好的效果。