第７卷第１２期２００８年１２月
南阳师范学院学报
ＪｏｕｍａｌｏｆＮａｎｙａｎｇ
Ｎｏｍａｌ
Ｕｎｉｖｅ鹉ｉｔｙ
Ｖ０１．７Ｎｏ．１２Ｄｅｃ．２００８
基于三点二次插值的方程求根算法
张天良
（南京信息工程大学数理学院．江苏南京２１００４４）
摘要：考虑非线性方程的求根问题，将方程，（１）＝０的求根问题转化为求函教ｇ（￡）＝［，（＊）】２极小值的问题．利用
优化技术中的三点二次插值法求解，在不需要计算导数的情况下蛤出一种具有超线性收敛的选代算法．
关键词：优化技术；三点二次插值法；方程求根中国分类号：Ｏ２４１．７
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７ｌ一６１３２（２００８）１２—００１９一０３
非线性求根问题广泛存在。它在科学和工程计算中起着非常重要的作用．该问题的研究一直受到人们的关注¨“１．迭代格式的建立是设计求根算法的关键，收敛速度的快慢与迭代格式紧密相关．本文将非线性方程．厂（并）＝０求根问题转化为求函数ｇ（菇）＝［以省）］２极小点的问题。利用优化技术中的三点二次插值法，在不用计算导数的情况下，给出了一种具有超线性收敛的迭代算法．
ｍｉｎｇ（茹）（１）
的极小点，其中ｇ（弗）＝［，（茁）］２．下面简要介绍三点二次插值法．
已知函数在三点菇ｌ，髫２，算３（髫Ｉ＜髫２＜而）处的函
数值为ｇ．，ｇ：，ｇ，，并且满足ｇ，＞ｇ：，９３＞９２，即三点满足“两端高中间低”，对于根附近的任意三个点，该条件可以按步长搜索修改并，，＊：，石，而满足，这个条件是为了保证构造的函数量（聋）在区间有极小点．过三个点（ｚ，，ｇ。），（＊：，ｇ：），（ｚ，，凰）的二次插值公式为
１三点二次插值法
三点二次插值法…是一类重要的一维搜索方法，其基本思想是在搜索区间中不断用低次（通常不超过三次）多项式来近似目标函数，并逐步用插值多项式的极小点来逼近一维搜索问题
ｇ（”２９ｔ瓦了万而＋
．，、
（第一善２）（菇一髫３）
９２瓦■币百■可＋９３瓦了币瓦■可‘
（２）
２００３：１７４一１７７．
（石一戈１）（髫一聋，）（髫一菇１）（茗一髫２）
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（脚口ｎ舭眦矿Ｃ如以Ｅ昭ｉ，Ｉｅｅ一增，Ａｎ，，口增ⅣｏｒｍｏＺ‰如ｅ邝毋，Ａ，咿昭４５５００２，Ｃ矗ｉｎ口）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｄｉｓｃｕｓｓｓｅｒｉｅｓｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｉｎｉｔｉａｌｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒｈｅａｔｃｏｎｄｕｃｔｅｑｕａｔｉｏｎ．ｗ“ｈｏｄｄ
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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｇｅｎｅｍｌｉｚｅｄｏｄｄ（ｅｖｅｎ）ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｏｕｔｅｒｃｏｎｄｉｔｉｏｎ；ｈｅａｔｃｏｎｄｕｃｔｅｑｕａｔｉｏｎ；ｉｎｉｔｉａｌＶａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍ
收稿日期：２００８—０８—２８
基金项目：南京信息Ｔ程大学（数值计算方法）精品课程建设项目（Ｊｃ０３２００６Ｊ０３）作者简介：张天良（１９６５一）．河南延津人，硕士．副教授，主要从事计算数学研究。
・２０・
南阳师范学院学报第７卷
对（２）求导。并求解方程
言’（髫）＝ｏ，
得到罾（石）的极小值点
—————————■广———————一’有“‘
，
［ｇ。（ｘｉ—ｚ；）＋ｇ：（石；一石：）＋９３（并：一石：）］，
菇ｌ或菇＞省３（菇硭（髫ｌ，茹３）），贝４置搿＝茗２，ｇ＝９２，停止计算（输出省，ｇ的信息）；
Ｓｔｅｐ４计算ｇ＝ｇ（并），若Ｉ茁一算：ｌ＜８，则停止计算（ｚ作为极小点）；
Ｓｔｅｐ５直Ⅱ果并∈（并２，筇３），贝０
若ｇ＜９２，贝０置并ｌ＝茹２，ｇｌ＝９２，茗２＝戈，９２＝ｇ；
否贝ｑ置戈３＝茁，９３＝ｇ；
否贝４（并∈（ｘｌ，书２）），
ｇ。（石：一ｘ；）＋ｇ：（ｘ；一茗：）＋ｇ，（名：一菇；）
２［ｇ】（石２一石３）＋９２（髫３一筇１）＋９３（髫Ｉ一茗２）］‘
（３）
用ｚ作为方程．厂（髫）＝ｏ的解＊’的估计值，并计算茄处的函数值ｇ＝ｇ（名）．
第一次的近似结果往往不够理想，需要做进一步的近似，现已得到四个点（聋。，ｇ．），（＊：，ｇ：），（％，ｇ，），（＊，ｇ），仍然按照最初的原则，选取满足“两端高中间低”的三个点，继续计算得到序列｛扎｝，这样通过有限次迭代就得到极小值点．
下面是标准的三点二次插值法的收敛性定理．
定理１¨。
若ｇ＜９２，则置髫３＝ｘ２，９３＝９２，髫２＝算，９２＝ｇ；
否贝Ⅱ置ｚｌ＝髫，ｇｌ＝ｇ；
Ｓｔｅｐ６转Ｓｔｅｐ２．
关于该算法的收敛性，我们有如下定理：定理２设，（筇）存在连续四阶导数，ｘ‘满足，（髫‘）＝Ｏ／’（算‘）≠Ｏ，则该三点二次插值法产生的序列｛戈。｝的收敛速度约为１．３２．
证明要求八茹）存在连续四阶导数，对于＊‘满足八髫＋）＝Ｏ，并且／’（并’）≠０，则很显然有ｇ’（聋＋）＝２厂（菇’），’（石＋）＝Ｏ，且ｇ，，（＊‘）＝
设，（ｚ）存在连续四阶导数，方程
八ｚ）＝ｏ的解髫＋满足，’（髫＋）＝ｏ，，”（石’）≠Ｏ，则三点二次插值法产生的序列｛ｚ。｝的收敛速度约为
】．３２．２
求根算法
本文将＿厂（＊）的求根问题转化为求ｇ（＊）＝
２［，’（ｇ＋）］２＋扒省＋），”（ｘ’）≠ｏ，满足上述定理ｌ
的条件，这表明该方法的收敛阶为１．３２．
３
［八＊）］２的极小点问题．为避免求导，我们采用三点二次插值法求解，具体算法如下：
Ｓｔｅｐｌ
取初始点：ｘｌ＜ｘ２＜ｚ，，计算ｇｆ＝
算例
下面给出几个算例，在这些算例中误差限均取
ｇ（石；），ｉ＝１，２，３，并且满足ｇＩ＞９２，酯＞９２（两端高中间低），（对于不满足该条件的任意三点，根据相应的函数值的大小，按照变步长搜索法前进或后退其中一点，直到满足条件为止），置精度要求占；
Ｓｔｅｐ２
占＝ｌＯ一．
例１以石）＝髫３＋２石２—４
令ｇ（石）＝［以ｘ）］２，取初始值＊。＝１，ｚ。＝１．３，ｚ，＝１．４，对ｇ（石）用上述方法计算其极小点，得到结果如表１，得出函数ｇ（并）极小点为１．１３０３９２，也就是方程的近似解．
计算Ａ＝２［ｇｌ（并２一菇３）＋９２（茹３一茹１）＋
乳（菇。一ｚ：）］，若月＝０则置石＝聋：，ｇ＝ｇ：，停止计算（输出石，ｇ的信息）；
Ｓｔｅｐ３计算省＝
裹ｌ
例２＿，Ｉ石）＝石３—２ｚ一５
得到结果如表２，得出函数ｇ（髫）极小点为２．０９４５５１，也就是方程的近似解．
令ｇ（ｘ）＝［，（茗）］２，取初始值茁，＝２．ｏ，筇：＝２．３．扎＝１．５，对ｇ（算）用上述方法计算其极小点，
裹２
例３／Ｉｚ）＝石ｅ。一ｌ
令ｇ（ｘ）＝［，（ｘ）］２，取初始值ｘ，＝Ｏ．４，ｘ：＝
０．５，ｘ，＝Ｏ．６，对ｇ（ｚ）用上述方法计算其极小点，得到结果如表３，得出函数ｇ（ｚ）极小点为
第１２期张天良：基于ｊ点二次捕值的方程求根算法
２ｌ・
Ｏ．５６７１４３，也就是方程的近似解
表３
例４八戈）＝ｅ““‘一ｘ—ｌ
令ｇ（算）＝［八ｚ）】２，取初始值髫。＝１，ｚ：：１．３，％＝１．４，对ｇ（ｚ）用上述方法计算其极小点，得到结果如表４，得出函数ｇ（茹）极小点为１．１３８９ｌｌ，也
就是方程的近似解．
袭４
高等学校计算数学学报，２０００（１）：４１—４６．
４
结论
本文将方程厂（并）＝０的求根问题转化为求函
［２］
郑权．具有参数的不带有导数的平方收敛的迭代法［Ｊ］．计算数学，２００３，２５（１）：１０７—１１２．
数ｇ（并）＝［，（算）］２极小值的问题．利用优化技术中的三点二次插值法求解，在不需要计算导数的情况下。给出了一种具有收敛阶为１．３２的迭代算法．当初值接近于根的时候，该方法比不动点迭代法和牛顿迭代法快，且比较简单．然而若取初值不当其结果可能误差很大，所以初值应取接近根的点．
［３】楮晓勇，宋围乡．一种求解非线性方程的新算法［Ｊ】．
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参
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Ｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｒｏｏｔｂａｓｅｄ
ｏｎ
ｔｈｒｅｅ－ｐｏｉｎｔｓｑｕａｄｒａｔｉｃｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ
ＺＨＡＮＧＴｉａｎ－ｌｉａｎｇ
（Ｃｏｌ妇ｅ矿＾忆｝矗ｅｍⅡ‘洒ｏｎｄ
Ｐ咖池，Ⅳｏ彬昭‰觇搿蚵∥坳厂，７ｌ口ｆ如ｎ
舭，归酱２ｌ００４４，傩趣８）
Ｓｃ拓耽ｅｏ蒯ｎ如肋三。彰，
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒ
ｃｏｎｃｅｒｎｓ
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ｔｏ
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ｓｏｌｖｉｎｇｎｏｎＩｉｎｅａｒ
ｏｎ
ｅｑｕａｔｉｏｎ以戈）＝Ｏ
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ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ
ｔｈｅｅｖａｌｕａｔｉｏｎｅｘｔｒｅｍｕｍｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎ
ｇ（菇）＝［，（菇）］２．
Ｂａｓｅｄ
ｔｈｒｅｅ－ｐｏｉｎｔ８
ｑｕａｄｒａｔｉｃｊｎｔｅｒＰｏｌａｔｉｏｎ，ａｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｐｒｏｖｉｄｅｄｆｂｒｓｏＩｖｉｎｇｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎ．ＫｅｙｗＯｒｄｓ：ｅｘｔｍｃｔ
ｅｑｕａｔｉｏｎ
ｒ００ｔｓ
ｕｓｉｎｇ０ｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｔｅｃｈｎｏＩｏｇ）ｒ；ｔｈｒｅｅ—ｐｏｉｎｔｓｑｕａｄｒａｔｉｃｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ；
ｓｏｌｖｉｎｇｎｏｎｌｉｎｅａｒ
基于三点二次插值的方程求根算法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
张天良， ZHANG Tian-liang
南京信息工程大学,数理学院,江苏,南京,210044南阳师范学院学报
JOURNAL OF NANYANG NORMAL UNIVERSITY2008,7(12)
参考文献(6条)
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