第一章 有理数
1.1 正数和负数
① 大于0的数叫正数。(有时，为了明确表达意义，在正数前面加上“＋”号。) ② 在正数前加上“－”（负）号并小于0的数叫负数。
③ 0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界点，是唯一的中性数。 ④ 一个数前面的“＋”“－”号叫做它的符号。
⑤ 如果一个问题中出现相反意义的量，可以用正数和负数表示它们。
1.2 有理数
1.2.1 有理数
① 正整数、0、负整数统称为整数。
② 正分数、负分数统称为分数（有限小数和无限循环小数可以化为分数，而无限不循环小数不能化为分数。）
③ 整数和分数统称为有理数（Rational number）。
④ 有理数的分类：
⑴ 按定义分： ⑵ 按符号分： 整数
有理数
正分数
分数
负分数负有理数0有理数0负整数正有理数正分数正整数 负分数
1.2.2 数轴
① 用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴（number axis）。 ② 数轴三要素：原点、正方向、长度单位。
③ 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin ），原点是数轴的“基准点”。
④ 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向。 ⑤ 数轴上的点和有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点，不都是表示有理数。
⑥ 设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个长度单位；表示数－a 的点再原点的左边，与原点的距离是a 个长度单位。
1.2.3 相反数
① 只有符号不同的两个数叫做互为相反数（opposite number），其中一个数就叫另一个数的相反数。
② a 和－a 互为相反数。0的相反数是0。
③ 设a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，它们分别在原点的左右，表示－a 和a ，这两点关于原点对称。
④ 在任意一个数前面添上“－”号，就得到这个数的相反数。
1.2.4 绝对值
① 数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值（absolute value），记作|a |。 ② 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 ③ 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
④ 两个负数，绝对值大的反而小。
⑤ 异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值。
1.3 有理数的加减法
1.3.1 有理数的加法
① 有理数加法法则：
⑴ 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
⑵ 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
⑶ 一个数同0相加，仍得这个数。
② 有理数加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 。
③ 有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。加法结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）。
④ 利用加法交换律、结合律，可以使运算简化。进行加法运算律的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相 加；把相加得整数的数先相加。
1.3.2 有理数的减法
① 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数再按有理数加法法则进行运算，也可以表示成a －b ＝a ＋（－b ）。
② 较小的数减去较大的数，所得的差的符号是“－”（负）号。
③ 加减混合运算可以统一为加法运算，即a ＋b －c ＝a ＋b ＋（－c ）。
④ 为书写简单，可以省略算式中的括号和加号。
1.3 有理数的乘除法
1.3.2 有理数的乘法
① 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘都得0。
② 要得到一个数的相反数，只要将它乘－1。
③ 乘积是1的两个数互为倒数，即ab =1。
④ 几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。
⑤ 有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。乘法交换律：ab ＝ba 。 ⑥ 有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。乘法结合律：（ab ）c ＝a （bc ）。
⑦ 有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。分配率：a （b ＋c ）＝ab ＋ac 。
1.3.3 有理数的除法
① 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，这个法则也
1可以表示成a ÷b ＝a ×（b ≠0）。除法法则也可以看成是：两数相除，同号得
正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
② 因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
1.5 有理数的乘方
1.5.1 乘方
① 求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫幂（power ）。在a n中，a 叫做底数（base number），n 叫做指数（exponent ）。当a n 看作a 的n 次方的结果时，也可以读作“a 的n 次幂”。
② 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
③ 有理数的混合运算法则：
⑴ 先乘方，再乘除，最后加减；
⑵ 同级运算，从左到右进行；
⑶ 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
1.5.2 科学计数法
① 把一个大于10的数表示成a ×10n 的形式（其中a 大于或等于1且小于10，n 是正整数），使用的就是科学计数法。
1.5.3 近似数
①在许多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，可以使用近似数
（approximate number），近似数与实际数量还有差别。
② 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。四舍五入遵从精确到哪一位就从这一位的下一位开始，而不是从数字的末尾往前四舍五入。
第二章 整式的加减
2.1 整式
① 在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号省略不写。
② 由数或字母乘积组成的式子叫做单项式（monomial ）。单独的一个数或一个字母也是单项式。
③ 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数（coefficient ）；单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数（degree of a monomania）。
④ 几个单项式的和叫做多项式（polynomial ）。其中，每个单项式称项（term ），不含字母的项叫做常数项（constant term）。多项式里，次数最高的次数，叫做多项式的次数（degree of a polynomial）。
⑤ 单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号。
⑥ 单项式与多项式统称整式（integral expression）。
2.2 整式的加减
① 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。
② 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。可以运用交换律、结合律、分配律进行合并。
③ 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变；
④ 去括号法则：
⑴ 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项符号与原来的符号相同； ⑵ 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项符号与原来的符号相反。 ⑤ 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程
① 含有未知数的等式叫做方程（equation ）。
② 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做
一元一次方程（linear equation in one unknown）。
③ 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的
解（solution ）。
3.1.2 等式的性质
① 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果a
＝b ，那么a ±c ＝b ±c 。
② 等式的性质2
的数，结果仍相等。如
果a ＝b ，那么ac ＝bc ；如果a ＝b （c ≠0）。
3.2 解一元一次方程（一）
——合并同类项与移项
① 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
② 系数化为1：字母及其指数不变系数化成1，在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解。
3.3 解一元一次方程（二）
——去括号与去分母
① 去括号时遵从先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
② 去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；分子是一个整体，去分母后应加上括号。
③ 解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等，通过这些步骤可以使以x 为未知数的方程逐步向着x ＝a 的形式转化， 这个过程主要依据等式的基本性质和运算定律等。
第四章 几何图形初步
4.1 几何图形
① 从形形色色的物体外形中得到的图形叫做几何图形（geometric figure）。
4.1.1 立体图形与平面图形
① 各部分不都在同一个平面内的几何图形叫做立体图形（solid figure），如长方体、
正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等。
② 各部分都在同一个平面内的几何图形叫做平面图形（plane figure），如直线、射线、线段、角、三角形、正方形、长方形、平行四边形、圆等。
③ 虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的。立体图形中某些部分是平面图形。
④ 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成
平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图（developing drawing）。
4.1.2 点、线、面、体
① 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。几何体也简称体（solid ）。
② 包围着体的是面（surface ）。面有平的面和曲的面两种。
③ 面与面相交的地方形成线（line ）。线有直的线和曲的线两种。
④ 线与线相交的地方是点。
⑤ 几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。
4.2 直线、射线、线段
① 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。即两点确定一条直线。
② 当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交（intersection ），这个公共点叫做它们的交点（point of intersection）。
③ 射线和线段都是直线的一部分。
④ 用无刻度的直尺和圆规作图就是尺规作图。
⑤ 把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做这条线段的中点（midpoint ）。 ⑥ 两点的所有连线中，线段做短。即两点之间，线段最短。
⑦ 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离（distance ）。
4.3 角
4.3.1 角
① 角（angle ）是一种基本的几何图形，用符号“∠”表示。有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两边。 ② 用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位。把一个周角360等分，每一份就是1度（degree ）的角，记作1°；把1度60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。
③ 角的度、分、秒是60进制的：1度=60分 1分=60秒。
4.3.2 角的比较与运算
① 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线（angular bisector）。
4.3.3 余角和补角
① 如果两个角的和等于90度（直角），就说这两个叫互为余角（complementary angle ），即其中每一个角是另一个角的余角。
② 如果两个角的和等于180度（平角），就说这两个叫互为补角（supplementary angle ），即其中每一个角是另一个角的补角。
③ 同角（等角）的补角相等，同角（等角）的余角相等。