车装电加热玻璃功率的计算
摘要：本文研究在极其寒冷且有风的情况下，汽车上的电加热玻璃的功率计算的问题。 关键词：傅里叶定律、一维稳态导热、纵掠平板对流传热计算
问题陈述
在零下40摄氏度环境下，风速10m/s（5级范围内），停有一辆车，车的前挡风玻璃由25mm 的防弹玻璃和5+5mm的加热玻璃组成，车的前挡风玻璃上结有一层很薄（2mm ）的冰。玻璃有电加热功能。试问要在十五分钟内把冰除掉，电加热功率要多少？
由于防弹玻璃的热阻率很大，可以理想化地认为加热玻璃的热量只向外传播。
问题分析解答
在刚刚开始的时候，挡风玻璃和车外都是-40摄氏度。
随着加热玻璃的作用，玻璃的温度上升，由于热传导和外部风的作用，带走了很大一部分的热量，但是玻璃的温度依然是上升的。
直到加热玻璃的温度逐渐上升到0摄氏度，冰层开始融化，在短暂的升温之后，玻璃将一直处在冰融化的状态，外表面维持0摄氏度。
直到冰层完全融化，玻璃表面维持动态平衡，电加热玻璃产生的热量等于热传导和风带走的热量。
而汽车的前挡风玻璃导热情况可以简化成两层壁导热的情况，壁的内部电加热玻璃内部的电热丝作为稳定热源，壁分为两层，一层是5mm 的电加热玻璃的外层，一层是动态的空气，壁的外侧是-40摄氏度的外部空气。假设风速保持10m/s均匀不变，那么在动态平衡的状态下温度高于-40摄氏度的空气层的厚度可以根据对流传热中的纵掠平板对流传热计算得到，所以将其视作一层空气膜。
由于玻璃和冰层都很薄，我们可以假设其在较短时间内就上升至接近0摄氏度的温度。 对于电加热玻璃外层：
根据傅里叶定律和能量守恒定律推得导热微分方程为：
⎛∂2t ∂t ∂2t ∂2t =a ++222 ∂τ∂y ∂z ⎝∂x ⎫Φ⎪⎪+ρc ⎭
a =λ为热扩散率，λ为导热系数，ρ为密度，c 为比热容，τ为时间变量，x 、y 、z ρc
为三维空间的坐标，Ф为内部热源。
根据实际情况化简:
汽车的前挡风玻璃可以视作一层平壁，由于平壁的长宽远远大于厚度，所以平壁两侧保
持均匀边界条件的稳态导热就可以归纳为一维稳态导热问题。由于到达稳态，温度不再随着时间的变化而变化。得到方程：
∂2t 0=2 ∂x
解得：
t =c 1x +c 2 c 1, c 2为常数
第一层壁（加热玻璃外层玻璃）的边界条件：
x 1=0; x 2=5⨯10-3m ; t 1; t 2 （玻璃厚度为5mm ，玻璃内外温度未知）
t =t 2-t 1t -t x +t 1 代入数据： t =21x +t 1 -3x 2-x 15⨯10
根据傅里叶定律计算得透过玻璃的热流密度q （单位时间内通过单位面积传递的热量称热流密度）：
玻璃的导热系数λ=1.0W/mK
q =λ
x 2-x 1(t 1-t 2) 代入数据：q =200(t 1-t 2)
对于外层空气：
流体以匀速u0和均匀温度t0流过温度为ts 的平板。由于流体与壁面之间发生热量传递，在y 方向上流体温度将发生变化。热边界层厚度δt 在 x ＝0处也为零，然后随x 的增加也逐渐增厚。
通常规定：流体与壁面间的温度差v x 达到最大温差的99％时的 y 方向距离为热边界层的厚度v 0。
这些通过壁面流体层以导热的方式传递的热流量最终是以对流换热的方式传递的，因而有qw=qc。于是：
∂t q c =h (t f -t w )=-λ∂y
y =0h =-λ∂t ∆t ∂y y =0
流体主体的平均温度 tf ；壁面温度 tw 。
它给出了计算对流换热壁面上热通量的公式，也确定了对流换热系数h 与流体温度场之间的关系。
代入数据：定型尺寸（汽车挡风玻璃的长度、长度特征尺度）L=2m；速度特征尺度υ=10m/s；
稳态时为了防止玻璃壁外侧再次结冰应将温度保持在至少0摄氏度。
膜温度t=（t 2+t 0）≈-20C ；在该温度下空气的物理性质如下：
密度ρ/kg·m-3 1.395；粘度μ/10-5Pa·s 1.62； 比定压热容cp/kJ·kg-1·K-1 1.009；导热系数λ/10-2W·m-1·K-1 2.279； 普兰德数Pr 0.716；
根据雷诺数的定义在流体运动中惯性力对黏滞力比值的无量纲数Re=UL/ν 。其中U 为速度特征尺度，L 为长度特征尺度，ν为运动学黏性系数。
Re=UL/ν=1. 23⨯10
准数关联式是一种半经验公式，选用时要注意它的适用范围，还要注意定性温度和特性尺寸的选取。
当Re=5×105-107(紊流）、Pr=0.5—50时，空气、水和油等的努塞尔准数：
Nu=0. 037Re
6ο(0. 8-850Pr =1704.27 )13
h =Nu ⨯K
L =
q c =h (t f -t w )=68170.8J(每秒)
计算功率
当稳态时汽车挡风玻璃前表面向外传递的热量的功率为68170.85J (m ⋅s ) 。
冰的比热c1=2050J/(kg·K) ； 玻璃的比热c2=84J/(kg·K) ；
冰的熔化焓为335J/g ； 冰的密度917 kg.m-3；
玻璃的密度为2500 kg.m-3
玻璃和冰到达0摄氏度状态每平方米需要的热量：Q=192388J
冰融化每平方米需要的热量：Q=614390J 2
当冰开始融化的时候哦我们就可以将其视为稳定状态，冰层传递给风的热流密度为q c 。由于冰融化所需的热量比玻璃和冰到达融化状态的热量大得多，到达稳定状态的时间必然会比较短，且实际情况下电加热玻璃的热量会向内传，将会抵消一部分误差。我们可以考虑忽略开始加热时外部的风比稳态时少带走的热量。
功率P=(192388+614390)/(60*15)+68170.8=69066.42w
并且我们可以算出此时电加热玻璃中间的温度为345.33摄氏度。
努塞尔(Nusselt)数的定义为：Nu=h*L/K，其中h 为对流换热系数，K 为导热系数，L 为特征长度，Nu 的物理意义为是表示对流换热强烈程度的一个准数, 又表示流体层流底层的导热阻力与对流传热阻力的比例。其他的准数还有:
普朗特(Prandtl)准数，Pr=u*Cp/K, 其中u 为气体动力粘度，Cp 为气体比热，K 为导热系数，Pr 的物理意义是反映流体物理性质对对流换热影响的准数。表示运动粘度与导热系数的比值，表明流体动量和热量传递能力的相对大小，还表明了温度场与速度场之间的相似程度。 葛拉晓夫(Grashoof)准数，Gr=r^2*b*g*L^3*T/u^2，其中r 为气体密度，b 为气体膨胀系数,L 为特征长度，T 为温度，u 为气体动力粘度，Gr 反映由于流体各部分温度不同而引起的浮升力与粘性力的相对关系。
还有傅立叶准数Fo=a*t/L^2,表明传热现象的不稳定程度。
根据流体力学原理，当气流速度达到V ≤0.15m/s时，边界层内属于自然层流对流，相当于人处于基本静止的空气环境中。当气流速度达到V ≥3m/s时，边界层内主要是受迫紊流对流。当介于两者之间时即3m/s≥V ≥0.15m/s时，边界层内主要为受迫层流对流。 不同空气流速下，对流换热系数也不相同。
对流换热系数一般是通过判断流态得出的，这就需要知道空气的流速U ，查表得到623时空气的运动粘度系数γ，选定空气流动是的特征几何长度L （如管内流则选管内径；管外流则选管外径；横掠平板则选取流动方向上的长度，以此类推），由这些参数可以求出表征流态的雷诺数Re=U*L/γ，通过Re 的数量级来判断该流动时处于层流还是紊流（查表）。
如果流动处于层流区，我们一般选取对流换热系数为8-10；
如果流动处于紊流区则需要进行严格的计算，首先计算努赛尔特数Nur ，这个公式是经验公式（可参照传热学），知道这个参数以后可以通过Nur=h*L/a来反算对流换热系数h ，其中a 为空气的导热系数，L 为特征长度。