等差数列的性质
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示。
2.1 等差数列的性质归纳
1. 当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和S n =na 1+
n (n -1) d d
d =n 2+(a 1-) n 是关于n 的二次函数222
且常数项为0。
2. 若公差d >0，则为递增等差数列，若公差d
3. 当m +n =p +q 时, 则有a m +a n =a p +a q ，特别地，当m +n =2p 时，则有
a m +a n =2a p 。
注：a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2=⋅⋅⋅，
4. 若{a n }、{b n }为等差数列，则{λa n +b }，{λ1a n +λ2b n }都为等差数列。
6. 数列{a n }为等差数列，每隔k (k ∈N *)项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等差数列。
7. 设数列{a n }是等差数列，d 为公差，S 奇是奇数项的和，S 偶是偶数项项的和，S n 是前n 项的和
(1) 当项数为偶数2n 时，
S 奇=a 1+a 3+a 5+⋅⋅⋅+a 2n -1=S 偶=a 2+a 4+a 6+⋅⋅⋅+a 2n =S 奇S 偶
na n a
=n na n +1a n +1
5. 若{a n }是等差数列，则S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ，…也成等差数列。
n (a 1+a 2n -1)
2n (a 2+a 2n )
2
=na n
=na n +1
S 偶-S 奇=na n +1-na n =n (a n +1-a n )
=
(2) 当项数为奇数2n +1时，则
⎧S 2n +1=S +S =(2n +1)a n +1⎧S =(n +1)a n +1S n +1
⇒⇒= ⎨⎨
S -S =a S =na S n n +1⎩ n +1⎩
（其中a n+1是项数为2n +1的等差数列的中间项）。
8. {b n }的前n 和分别为A n 、B n ，且则
A n
=f (n ) ， n
a n (2n -1) a n A 2n -1
===f (2n -1) 。 b n (2n -1) b n B 2n -1
9. 等差数列{a n }的前n 项和S m =n ，前m 项和S n =m ，则前m +n 项和
S m +n =-(m +n )。
10. 求S n 的最值
法一：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n ∈N *。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和。
⎧a ≥0
即当a 1>0，d
a ≤0⎩n +1
（2）“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。
⎧a ≤0
即 当a 10， 由⎨n 可得S n 达到最小值时的n 值。
⎩a n +1≥0
或求{a n }中正负分界项
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，S n 取最大值（或最小值）。若S p =S q 则其对称轴为n =
p +q
。 2
2.2 等差数列的判定及证明
经常有一类题目，我们必须先判断是何种数列，然后利用此类数列的性质进行解题，其中等差数列是我们最主要的数列之一，因此，我们应该掌握如何判断一个数列是否是等差数列，判断一个数列是否是等差数列，一般有以下五种方法：
1. 定义法：a n +1-a n =d （常数）（n ∈N +）⇔{a n }是等差数列。 2. 递推法：2a n +1=a n +a n +2（n ∈N +）⇔{a n }是等差数列。 3. 性质法：利用性质来判断。
4. 通项法：a n =pn +q （p , q 为常数）⇔{a n }是等差数列。
2
5. 求和法：S n =An +Bn （A , B 为常数，S n 为{a n }的前n 项的和）⇔{a n }是等
差数列。
其中4、5两种方法主要应用于选择、填空题中，在解答题中判断一个数列是否是等差数列，一般用1、2、3这三种方法，而方法3还经常与1、2混合运用。下面举例说明如何判断一个数列是等差数列。
111b +c c +a a +b
例1：已知, , 成等差数列，求证：也成等差数列。 , ,
a b c a b c
111
解法一：∵, , 成等差数列，
a b c 211∴=+ b a b
∴b (a +c )=2ac
又∵
b +c a +b 2(c +a ) +-a c b
bc +c 2+a 2+ab 2(c +a ) =-
ac b b (a +c )+a 2+c 22(c +a ) =-ac b
2
(a +c )2(c +a )=-
ac
a +c
=0
b +c a +b 2(c +a )+= ∴a c b b +c c +a a +b
, , 即也成等差数列。 a b c
111
解法二：∵，，成等差数列，
c a b
∴
a +b +c a +b +c a +b +c ，，也成等差数列， a b c
即
b +c a +b a +c +1，+1，+1也是等差数列， a b c b +c a +c a +b ，，也是等差数列。 a b c
故
评析：上面的解法一是利用递推法，解法二是利用性质来判断。
(1) 解决此类问题常用两个途径：一是回归定义，二是巧用性质。根据条件宜用后者。
(2) 证明时不能只用化基本量的方法，还要会对条件作多种变形，化成什么形式, 什么时候用要根据具体题目而定。
2S n 1
例2：设数列{a n }中，a 1=1，且a n =（n ≥2），证明数列{是等差
2S n -1S n
2
数列，并求S n 。 解：由已知S n -S n -1
2S n 2=，去分母得(2S n -1)(S n -S n -1) =2S n ，2S n -1
11111
-=2，∴{是以==1为
S S n S n -1S 1a 1n
2
S n -S n -1=2S n S n -1，两边同除以S n S n -1，得
11
=+(n -1) ⋅2=2n -1（n ≥2）首项，以2为公差的等差数列，故。 S n S 1
经验证n =1时也成立，所以S n =评析：上面的解法是利用定义法。
例3：设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于所有的自然数n ，都有S n =证明{a n }是等差数列。（1994年高考题）
解：当n ≥2时，S n =
1
（n ∈N +）。 2n -1
n (a 1+a n )
，2
(n -1)(a 1+a n -1) n (a 1+a n ) S =，n -1
22
n (a 1+a n ) (n -1)(a 1+a n -1)
- （1） 22
两式相减：a n =S n -S n -1=
∴a n +1
(n +1)(a 1+a n +1) n (a 1+a n )
=- （2）
22
(n +1)(a 1+a n +1) (n -1)(a 1+a n -1)
-n (a 1+a n ) +
22
（2）－（1）：a n +1-a n =
整理得a n +1-a n =a n +a n -1（n ≥2） ∴a n +1-a n =a n +a n -1=⋅⋅⋅=a 2-a 1， ∴数列{a n }是等差数列。 评析：此题的解法是利用递推法。
3 等差数列的性质运用技巧
在解决等差数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。本文对等差数列有关性质的运用技巧作一些介绍，希望能对同学们的学习提供一些帮助。
3.1 巧用等差数列的第二通项公式
等差数列的通项公式：a n =a 1+(n -1)d ， 第二通项公式：a n =a m +(n -m )d (m , n ∈N *)。
例4：已知数列{a n }是等差数列, 且有a n =m , a m =n (m ≠n )，求a m +n 。
分析：此题设首项为a 1，公差为d ， 根据条件列方程组解出a 1 和d ，即可求出a m +n ， 下面利用第二通项公式解决，同学们可以比较一下两种方法的优劣。
解：∵a n =a m +(n -m )d
∴m =n +(n -m )d
∴d =-1
∴a m +n =a m +nd =n -n =0 ∴a m +n =0
评注：运用第二通项公式充分利用了已知条件，减少了设置的变量个数，从而达到简化运算的目的。
3.2 设项的技巧
等差数列中设项时可以用首项和公差来设，但有时解题过程显得过于复杂，在设项时大家可以考虑以下两种设法：
（1）对于连续奇数项的等差数列，可设为 , a -2d , a -d , a , a +d , a +2d , ，此时公差为d ；
（2）对于连续偶数项的等差数列，可设为 , a -3d , a -d , a +d , a +3d , ，此时公差为
2d 。
例5：成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数。
分析：如果设四个数分别为a 1，a 1+d , a 1+2d , a 1+3d ，根据条件列方程组解出a 1 和
d ，即可求出四个数，但可以预见解方程组时比较复杂，作为对比，同学们可以自己解下。再来看下面的解题过程，体会这样设项的好处。
解：设这四个数为a -3d , a -d , a +d , a +3d ，
⎧(a -3d )+(a -d )+(a +d )+(a +3d )=26则 ⎨
（2）⎩(a -d )(a +d )=40
（1）
133，代入（2）得d =±。 22
所以四个数为2, 5, 8, 11 或11, 8, 5, 2。
评注：这种设项方法充分考虑了题目中各项和的条件，避免了烦琐的计算过程。
由（1）得a =
3.3 基本量与性质的应用技巧
例6：等差数列{a n }中, a 4+a 5=15, a 7=15, 则a 2 等于（ ）
A . 1
B . -1 C . 0 D . 2
分析：利用基本量法, 可以求出a 1 和d ， 再利用通项公式即可求出(解法一) ， 当然如果能看出4+5=7+2, 利用性质题目将会变得更为简洁(解法二) 。
解法一：设首项为a 1，公差为d ，根据等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1)d ，有
(a 1+3d )+(a 1+4d )=15, a 1+6d =15
解得a 1=-3, d =3，所以a 2=0，故选C 。
解法二：利用性质若m +n =p +q ，则a m +a n =a p +a q (m , n , p , q ∈N *)，则a 4+a 5=a 7+a 2，
所以a 2=0，故选C 。
评注：遇到几个项的项数和相等时可以考虑这种应用技巧，但要注意等式两边项的个数要相等。
3.4 等差中项与前n 项和公式结合运用技巧
等差中项公式的变形“若m +n =2p , 则a m +a n =2a p , (m , n , p , q ∈N *)” 和等数列前n 项和公式S n =
例7：等差数列{a n }中, S 11=121, 那么a 6的值是( )
A . 11 B . 22 C . 12 D . 24
分析：如果设出首项和公差，题目中只有一个条件，不能解出两个变量，所以要结合等差数列的性质解决。
(a +a )解：∵S 11=111⨯11=121 2
∴a 1+a 11=22
(a 1+a n )⋅n 的有机结合可以具有意想不到的效果。
2
∵a 1+a 11=2a 6
∴a 6=11
评注：应用等差中项与前n 项和公式的有机结合很容易解决了问题, 当然也可以将第3类技巧与等差数列前n 项和有机结合。
3.5 等差数列前n 项和公式的运用技巧
(1) 等差数列前n 项和公式S n =
(a 1+a n )⋅n =na
2
1+
n (n -1)n (n -1)⋅d =na n -⋅d 整理22
以后得到S n =An 2+Bn ( 其中A 、B 为不同时为0的常数) ，是关于n 的缺少常数项的二次函数，利用这一性质可以得到许多用“基本量法”无法替代的简便方法。
(2) 等差数列
{a n }
的任意连续m 项的和构成的数列
S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m , S 4m -S 3m , 仍为等差数列(可以称为连续等差片断) 。
例8：数列{a n }是等差数列，且有S n =m , S m =n ，(其中m , n ∈N *且m ≠n )，求S m +n 。 分析：用基本量法来解决，则要设出首项a 1和公差d ，再根据条件求出两个未知量a 1和d ，最后再用数列前n 项和公式求出S m +n =-(m +n )，计算量相对较大。我们可以考虑
利用等差数列前n 项和公式的特点来求解。
解法一 ：因为数列{a n }为等差数列，所以可设S n =An 2+Bn
的常数
(
其中A 、B 为不同时为0
)，则有
（1） （2）
2
⎧⎪An +Bn =m ⎨2⎪⎩Am +Bm =n
（1）-（2）得A (n 2-m 2)+B (n -m )=m -n
∵m ≠n
∴A (n +m )+B =-1
∴A (n +m )+B (n +m )=-(n +m )
2
即S m +n =-(m +n )。
S n An 2+Bn S
解法二 ：==An +B , 所以n 是关于n 的一次函数，因此点
n n n
S m S n S m +n S n
--
S m +n ⎫=⎛S n ⎫⎛S m ⎫⎛
，所以 n , ⎪、 m , ⎪、 m +n , ⎪在同一直线上，即
m -n m +n -n n m m +n ⎝⎭⎝⎭⎝⎭S m +n =-(m +n )。
评注：解法一充分利用了等差数列前n 项和公式的特点，融合了函数思想，解法新
颖、过程简单；解法二技巧性较强，结合了平面几何三点共线的知识，要求比较高。
例9：等差数列{a n }的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为_________。
分析：此题我们给出三种方法，大家可以自己体会一下三种解法各自的优缺点。
n (n -1)解法一：将S m =30, S 2m =100代入S n =na 1+⋅d ，得： 2
m (m -1)⎧ma +d =30 ⎪⎪12⎨
⎪2ma +2m (2m -1)d =100
1⎪2⎩
解得d =
4010203m (3m -1)，所以, a =+S =3ma +⋅d =210 13m 122
m m m 2
解法二：设S n =An 2+Bn (A 、B 是不同时为0的常数）。
将S m =30，S 2m =100代入，得
20⎧A =⎪⎧⎪Am +Bm =30⎪m 2
⇒⎨⎨2 ⎪⎩A (2m )+B ⋅2m =100⎪B =10⎪m ⎩
2
所以S 3m =A ⋅(3m )+B ⋅3m =210。
2
解法三：根据等差数列性质知S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m 也成等差数列，
从而有2(S 2m -S m )=S m +(S 3m -S 2m )， 所以S 3m =3(S 2m -S m )=210。
等比数列性质
1. 等比数列的定义：2. 通项公式：
a n
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)，q 称为公比 a n -1
a n =a 1q n -1=
a 1n
q =A ⋅B n (a 1⋅q ≠0, A ⋅B ≠0)， 首项：a 1；公比：q q
n -m
推广：a n =a m q 3. 等比中项
， 从而得q
n -m
=
a n
或q =n a m
2
（1）如果a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A =
ab 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反
数）
（2）数列{a n }是等比数列⇔a n =a n -1⋅a n +1
2
4. 等比数列的前n 项和S n 公式： (1) 当q =1时， S n =na 1 (2) 当q ≠1时，S n =
a 1(1-q n )1-q
=
a 1-a n q
1-q
=
5. 等比数列的判定方法
a 1a
-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' （A , B , A ', B ' 为常数） 1-q 1-q
（1）用定义：对任意的n, 都有a n +1=qa n 或
2
a n +1
=q (q 为常数，a n ≠0) ⇔{a n }为等比数列 a n
（2） 等比中项：a n =a n +1a n -1（a n +1a n -1≠0）⇔{a n }为等比数列
（3） 通项公式：a n =A ⋅B
n
(A ⋅B ≠0)⇔{a n }为等比数列
n
n
（4） 前n 项和公式：S n =A -A ⋅B 或S n =A ' B -A ' (A , B , A ', B ' 为常数)⇔{a n }为等比数列
6. 等比数列的证明方法 依据定义：若
a n
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n ⇔{a n }为等比数列 a n -1
7. 注意
（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、q 、n 、a n 及S n ，其中a 1、
q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
n -1
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；a n =a 1q
a a 2
如奇数个数成等差，可设为…，2, , a , aq , aq …（公比为q ，中间项用a 表示）；
q q
8. 等比数列的性质 (1) 当q ≠1时
①等比数列通项公式a n =a 1q 数为公比q
n -1
=
a 1n
q =A ⋅B n (A ⋅B ≠0)是关于n 的带有系数的类指数函数，底q
②前n 项和S n =
a 1(1-q n )1-q
a 1-a 1q n a 1a =-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' ，系数和常数项
1-q 1-q 1-q
是互为相反数的类指数函数，底数为公比q
(2) 对任何m,n ∈N *, 在等比数列{a n }中, 有a n =a m q n -m , 特别的, 当m=1时, 便得到等比数列的通项公式. 因此, 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t∈N *), 则a n ⋅a m =a s ⋅a t . 特别的, 当n+m=2k时, 得a n ⋅a m =a k 2 注：a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3a n -2⋅⋅⋅ (4) 列{a n }, {b n }为等比数列, 则数列{为等比数列.
(5) 数列{a n }为等比数列, 每隔k(k∈N *) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等比数列
(6) 如果{a n }是各项均为正数的等比数列, 则数列{loga a n }是等差数列 (7) 若{a n }为等比数列, 则数列S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n , ⋅⋅⋅，成等比数列
a k
, {k ⋅a n }, {a n k }, {k ⋅a n ⋅b n }{n } (k为非零常数) 均
b n a n
(8) 若{a n }为等比数列, 则数列a 1⋅a 2⋅⋅⋅⋅⋅a n , a n +1⋅a n +2⋅⋅⋅⋅⋅a 2n , a 2n +1⋅a 2n +2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a 3n 成等比数列
(9) ①当q >1时， ②当0
a 1>0，则{a n }为递减数列1>0，则{a n }为递增数列
{a {a 1
③当q=1时, 该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q
(10)在等比数列{a n }中, 当项数为2n (n∈N *) 时,
S 奇S 偶
=1,. q
(11)若{a n }是公比为q 的等比数列, 则S n +m =S n +q n ⋅S m