第３８卷第１０期２０１０年１０月同济大学学报（自然科学版）
ＪＯＩ瓜ＮＡＩ。ＯＦＴＯＮＧＪＩＵＮＩⅦ强ｃＳＩＴＹ（ＮＡｎ瓜ＡＩ。ｓｃＩＥＮｃＥ）
Ｖｄ．３８Ｎｏ．１０
Ｏｃｔ．２０１０
文章编号：０２５３．３７４Ｘ（２０１０）１０．１５５０．０６ＩＸ）Ｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．０２５３・３７４ｘ．２０１０．１０．０２８
券商集合理财产品定价问题研究
粱进１，孔亮亮１，马俊美２
（１．同济大学数学系，上海２０００９２；２．上海财经大学应用数学系，上海２００４３３）
摘要：基于Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模型，用偏微分方程方法，研究其定价和性质．通过对冲技巧及Ｉｔ６公式，在双因子模型下，建立了具提前转开条款的券商集合理财产品的定价模型，用差分方法得到了定价的数值解．通过固定封闭期模型与一般转开模型的比较，分析了转开条款带来的流动性价
称券集），是由发行产品的证券公司集合投资者的资金进行投资管理、到期与投资者分享收益的兼有基金及信托特点的业务．作为一种私募性产品，券集的条款设计可按投资者需求有很大的自由度，因此受到投资者青睐，规模在短时间内迅速扩大．
２００５年２月，光大证券的阳光集合资产管理计划［１］获中国证监会批准成立，成为首个发行的集合理财产品．之后，券集迅速成为投资者新宠，截至２００７年８月，已有２７个集合资产管理计划相继成立，总规模近５８０亿，市值超８００亿．券集分为限定
值．最后，利用理论结果，对实际产品——光大阳光集合理财
产品进行实证分析，并讨论模型在定价中的作用及局限．关键词：券商集合理财；保底条款；提前转开；偏微分方程；Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ模型中图分类号：Ｆ
８３０．９
文献标识码：Ａ
ＰｒｉｃｉｎｇｏｆＳｅｃｕｒｉｔｙＩｎｖｅｓｔｍｅｎｔＰｒｏｄｕｃｔｓ
ＬＩＡＮＧＪｉｎ１，ＫＯＮＧＬｉａｎｇｌｉａｎ９１，ＭＡＪｕｎｍｅｉ２
（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆ
性和非限定性集合理财计划．前者主要投资新股发行、国债、国家重点建设债券、债券型投资基金等信用度较高的固定收益类金融产品，投资于股票、股票型基金等风险类产品的比例一般不超过２０％．该类产品适合风险承担能力较弱的投资者．后者的投资范围由管理方和投资者约定，一般投资二级市场的股票等高风险、高收益产品适合有较大风险承担能力且能力较弱的投资者．券集与传统基金相比有如下特点：
（１）私募性。不同于传统产品，不能用电视、广播、报刊等媒体发广告．
（２）门槛高。限定性理财产品的投资起点不低于５万元人民币，非限定性的投资起点不低于１０万元人民币，大大高于一般基金．
（３）范围广。虽然限定性券集的投资范围限制
ｃｌａｕｓｅ；
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＴｏｎｇｊｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２０００９２，
ｏｆＡｐｐｌｉｅｄ
Ｃｈｉｎａ；２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ
Ｆｉｎａｎｃｅ
ａｎｄ
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｈａｎｇｈａｉ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆ
Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２００４３３，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ．ＢａｓｅｄｏｎＢｌａｃｋ・Ｓｃｈｏｌｅｓ
Ｍｏｄｅｌ。ｔｈｅｐｒｉｃｉｎｇｏｆＳＩＰｓ
ｄｏｕｂｌｅ－ｆａｃｔｏｒ
ａｎ
ｗａｓｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄｗｉｔｈＰＤＥ
ｍｅｔｈｏｄ．Ｗｉｔｈｔｈｅ
ｍｏｄｅｌ，ａ
ｅａｒｌｉｅｒＩｔｏ
ｐｒｉｃｉｎｇｍｏｄｅｌｆｏｒｔｈｅＳＩＰｓｗａｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｗｉｔｈ
ｅｘｅｒｃｉｓｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｈｅｄｇｉｎｇｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓａｎｄ
Ｌｅｍｍａ．Ａｎｄｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｗａｓｏｂｔａｉｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅ
ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｖａｌｕｅｏｆｔｈｅｌｉｑｕｉｄｉｔｙｗａｓａｎａｌｙｚｅｄｂｙ
ｔｈｅ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｃｏｍｐａｒｉｎｇ
ｍｏｄｅｌｓ
ｗｉｔＩｌｏｒ
ｗｉｔｈｏｕｔｔｈｅ
ｅａｒｌｙｏｐｅｎ
ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ａｒｏｌｅｓｗｅｌｌ．
ｃａｓｅｓｔｕｄｙｗａｓｍａｄｅｏｆＧｕａｎｇｄａＳＩＰ．ｎ塘
ｐｒｉｃｉｎｇ
ｔｈｅｍｏｄｅｌｉｎａｎｄ
ｉｔｓｌｉｍｉｔｓｗｅｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ
ａｓ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｅｃｕｒｉｔｙｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔｐｒｏｄｕｃｔｓ；ｇｕａｒａｎｔｅｅｅａｒｌｙ
较多，与债券型基金相似，但是对于非限定性券集来说，只要是在合约中规定的投资品，都是可投资的．
（４）封闭期。封闭期较短，只有６个月到２年，期间不能在交易所交易．因此，投资券集就须等到封闭期结束才能收回投资．
ｅｘｅｒｄｓｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｂｌａｃｋ－
Ｓｃｈｏｌｅｓｍｏｄｅｌ
券商集合理财产品，也称集合资产管理计划（简（５）收益分配方式。与传统基金有很大不同，
收稿Ｅｌ期：２００８—１０—３１
基金项目：国家。九七三”重点基础研究发展计划资助项目（２００７ＣＢＢｌ４９０３）
作者简介｛粱迸（１９５９一），女，教授，博士生导师，主要研究方向为金融数学．Ｅ－ｍａｒｌ：ｌｉａｎｇ＿ｊｉｎ２００５＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｒｎ．∞
第１期梁进，等：券商集合理财产品定价问题研究
券集管理者的收入分为２部分：封闭期内按金额收取的管理费和到期时按业绩提取的分成．
（６）自有资金承担有限责任。在券集成立时，管理者会用自有资金按一定比例参与．与传统基金不同，这部分资金不只和其他资金一起承担风险，还承担有限责任．该条款大大增加了券集的投资价值．
（７）费用低。在收费方面较灵活，如中信理财２号，不收认购费、申购费、赎回费．当然，券商也可以与投资人约定其他收费方式．
券集的投资只有在封闭期结束后，投资者才能赎回投资并获回报，投资券集相当于购买了一份未定权益．本质上说，这是一种价值依赖于所持有的证券组合的价格的衍生证券．因此，可用Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模型对其定价［２］．文献［３］案例篇第１１章中对固定期和触发转开的券集就运用了期权定价模型，并给出显式解．
提前转开条款是券集特有的条款．从对其分析可以看出，提前转开的条件与券集净值超过某一水平的连续累积时间有关．该条款与关卡期权中巴黎期权的敲入（敲出）条款相似，因此可借鉴巴黎期权的定价方法分析此问题．巴黎期权不易得到其显式解．文献［４—７］都是在无套利市场的假设下探讨其定价计算方法，有通过差分方法求解，或通过奇性消除技术［６］得到更高精度的数值解，还有通过拉普拉斯转换的方法得到精度很高且计算时间较短的数值解．这些均是对在常数利率假设下得到的模型进行的数值求解．本文也基于无套利市场的假设下，但假定无风险利率为随机的，先将方程降维化简，再用最简差分格式求解方程．
１定价模型建立
遵循标的资产和利率的随机过程的通用假设［５’８。９】，基本假定如下：
（１）市场有效，无摩擦，无套利机会．
（２）在封闭期内，产品净值Ｓ。满足几何布朗运动
ｄＳ￡＝ｒｔＳｔｄｔ＋ｄｌＳｔｄＷｌｔ
（１）
式中：ｒ。为无风险利率，ｔ为时间；口。为净值波动率，是常数；Ｗ１。为标准布朗运动．
（３）无风险利率ｒｔ服从Ｖａｓｉｃｅｋ模型
ｄｒ￡＝ａ（口一ｒ）ｄｔ＋盯２ｄＷ，２ｔ（２）
式中：ａ，口，口２为常数；Ⅳ２。为标准布朗运动．Ｃｏｙ
（ｄＷｌ￡，ｄ％￡）＝ｐｄｔ，Ｉ
Ｐ
ｌ≤１．
（４）保底条款．管理者自有资金参与产品，比例为甜（自有比例）．券集约定一个收益水平Ｋ（承诺收益），当到期其净值Ｓ。≥Ｋ时，管理者收取超出部分管理费，比例为１一ｐ（佣金比例）；否则，管理者的自有部分将补偿投资者，直至偿完．０＜／３，∞＜１．
（５）提前开放条款．设约定收益水平为Ｋ。，在封闭期内，如果券集净值持续超过Ｋ。Ｐ（’．，ｔ；Ｔ）的时间达Ｄ，则封闭期提前结束．Ｐ（ｒ，ｔ；Ｔ）是到期日为Ｔ、面值为１的无风险零息票价格．开放后，投资者与管理者按假设（４）约定，分享收益．
假设（５）的意义是，券集净值高过贴现的门槛Ｋ－时，则计时参数开始计时．
引入计时参数ｒ：ｒ（￡）＝ｔ—ｓｕｐ｛ｔ７≤ｔＳ（ｔ７）≤
ＫｌＰ（ｒ，ｔ７；Ｔ））．ｒ是时间ｔ与净值Ｓ的函数，是在ｔ
时刻产品净值连续超过关卡Ｋ，的贴现的时间．若ｔ时刻净值不大于Ｋ。，则ｒ（￡）＝０．图１为计时参数示意图（取ｒ＝Ｏ，边界为直线）．
对于计时函数ｒ（ｔ），有
ｆ
ｄｔ
Ｓ￡＞Ｋ１Ｐ
ｄｒ（ｔ）＝≮一ｒ（ｔ一）Ｓ￡＝Ｋ１Ｐ
（３）
【０
Ｓｔ＜ＫｌＰ
其中，ｒ（ｔ一）是ｒ（ｔ）的左极限．当Ｓｔ＞ＫｌＰ时，ｒ（ｔ）的变化率与ｔ一致；当Ｓ。＝Ｋ１Ｐ时，ｒ（ｔ）重置为零；而当Ｓ。＜Ｋ－Ｐ时，ｒ（ｔ）一直为零．
投资者的权益是关于券集净值Ｓ。、利率ｒ、时间ｔ以及计时参数ｒ的函数，记为Ｃ（Ｓ，ｒ，ｔ，ｒ）．由假
设（４），在封闭期到期日投资者的收益可表示为
Ｃ（Ｓ，ｒ，Ｔ，ｒ）＝９（Ｓ）
（４）
甲（Ｓ）ＺＸ［Ｋ＋卢（Ｓ—Ｋ）＋］ｌＪ（≤ｓ＋
［击ｓ一（击ｓ—Ｋ）＋ｋ㈣
其中，１。表示集合ａ的示性函数．
根据假设（５），当ｒ（ｔ）＝Ｄ时，封闭期提前结束．此时，投资者收益为
Ｃ（Ｓ，ｔ，ｒ，Ｄ）＝蠡口＋（Ｓｔ—ＫＰ）ｐ
（６）
利用对冲技巧，构造投资组合Ⅱ由１份券集Ｃ多头、△。份券集标的资产以及△ｚ份无风险债券空
１５５２
同济大学学报（自然科学版）第３８卷
头组成，即
１１ｔ＝Ｃｔ一△１Ｓｔ一△２Ｐ￡
（７）
在（ｔ，ｔ＋Ａｔ）内，ＩＩ的收益为
ｄＩＩ￡＝ｄＣｔ一△１ｄＳ￡一Ａ２ｄＰｔ
（８）
由Ｉｔ６公式
ｄＣ＝（詈ｔ＋萼襄ｔ＋望２等＋
＼ａ
ａｒａ
ａＳ２
譬等…口ｚ盟ＯｒＯＳ）卅
２
…～
ａｒ２
／…
》ｓｔ＋》ｒｔ
㈣
∽＝ｏＲａｔ¨ＯＲａ＇＿帆＋堡２氅Ｏｒ
。
。
ａｔａ＇＿
２
ｄｔ（１０）Ｉ及／ｈ＝器ＯＣ，△２＝ＯａＣｒ／／ＯａＰｒ，可使Ⅱ无风险．即
ｄ盯ｔ＝ｒ／／ｔｄｔ
（１１）
得［誊＋ｏｃａｒ＋争＋丢（等加等邪２＋
２鼢慨）一们ｊ１／７－ｗ５Ｔｒ＝
Ｌ『－蓄ｔ＋三２笔Ｏｒｔ舡伊］璧Ｏｒ
ａ
２。。
－Ｊ／
㈣，…７
式（１２）左边为Ｃ的表达式，而右边为Ｐ的表达式．因此，两边应该等于一个与Ｃ，Ｐ均无关的值．由Ｖａｓｉｃｅｋ利率模型的定价方程知
ｏＰａａ
圳㈣）ｏＰｔ
ａｒ＋三２盯；笔Ｏｒｔ一妒＝。
。
ａ
２
（１３）
进一步推得：当Ｓｔ＞Ｋ，Ｐ时
蜘＋娑：ｏ
（１４）
ｄｒ
其中，算子ｇ为
ｇ＝未＋ｓｒ未＋口ｃ目一ｒ，未＋竽・
兰ＯＳ＋生２笔Ｏｒ＋№硝旦ＯＳＯｒ—ｒ（１５）一十一一十ｐ，，１，ｒｏ＾一一ｒ
‘Ｉ２‘。１。‘。
…７
ｈ，
。
２当Ｓ。＜Ｋ。Ｐ时
蜘＝０
（１６）
连接条件：由于在Ｓ。＝Ｋ。Ｐ处，ｒ（ｔ）被重置，故有
Ｃ（Ｋ１Ｐ，￡，７．，ｒ）一Ｃ（ＫｌＰ，ｔ，ｒ，Ｏ）
（１７）
因此。含封闭期撂前转开条款的帘价为
曼盟！．盟＋ＬＣ（Ｓ，ｔ，ｒ，ｒ）：ｏ
ａｒ
Ｓ￡＞Ｋ１Ｐ，０＜ｔ＜Ｔ，０＜ｒ＜Ｄ
ＬＣ（Ｓ，ｔ，ｒ，ｒ）＝０
０＜Ｓ＜Ｋ１Ｐ，０＜ｔ＜Ｔ
Ｃ（Ｓ，ｔ，ｒ，ｒ）＝Ｃ（Ｓ，ｔ，ｒ，０）
Ｓ＝Ｋ１Ｐ，０＜ｔ＜Ｔ
Ｃ（Ｓ，ｔ，ｒ，ｒ）＝ＫＰ＋（Ｓ￡一ＫＰ）卢
Ｓ＞Ｋ１Ｐ，０＜ｔ＜Ｔ
Ｃ（Ｓ，Ｔ，ｒ，ｒ）＝驴（Ｓ）
Ｓ∈Ｒ＋
（１８）
需要说明的是若无提前转开条款，固定封闭期的含隐性保底条款的券集定价满足
茹（ｓ，ｒ，￡）＝Ｏ，０＜Ｓ＜＋ＯＯ
１
０＜ｔ＜Ｔ
ｌ（１９）
一，
Ｃ（Ｓ，ｒ，Ｔ）＝Ｐ（Ｓ）０＜Ｓ＜＋ＯＯＪ
２模型求解
但没有解析解．下面利用数值方法对其求解．仔细分
析会发现，除了边值条件及终值条件不同外，式（１８）与巴黎期权结构一样，因此，可以借鉴巴黎期权的
巴黎期权求解［－４－５］，罗和吴用奇性消除技术对巴黎期权求解，得到的精度更高［６］，均是对在常数利率假摹ａ
…－。ｒ嚣）ｔ
ａ７．
ａ俨
…、
（，）∈
ｒｔＲ譬Ｘ雾Ｅｏ船ｋ，
２
，１’ＪＩ‘
Ｐ（ｒ，Ｔ）：１
Ｊ
舢；Ｄ＝（ｐ一嘉）ｃＢ—ＴⅧ一等Ｉ
设下得到的模型求解数值．本文假设无风险利率为
Ｖａｓｉｃｅｋ给出该问题的解［蝴
转换计价单位，令Ｖ＝Ｃ／Ｐ，Ｘ＝Ｓ／Ｐ，化简得
第１期梁进，等：券商集合理财产品定价问题研究
１５５３
警ｔ＋警＋巡２娶Ｘ＝ｏ丛０ｔ＋型２警Ｘ２＝。、
ａ
ａｒ
ａ
２
Ｘ＞Ｋ１，０＜ｔ＜Ｔ，０＜ｒ＜ＤＸ＜Ｋ１，０＜ｔ＜Ｔ
（２３）
ａ
ｙ（Ｘ，ｔ，ｒ，ｒ）＝Ｖ（Ｘ，ｔ，ｒ，０）Ｘ＝Ｋｌ，０≤ｔ≤ＴＸ＞Ｋ１，０＜ｔ≤Ｔ
Ｘ∈Ｒ＋
Ｂ
Ｖ（Ｘ，ｔ，ｒ，Ｄ）＝Ｋ＋（Ｘ—Ｋ）ｐ
ｙ（Ｘ，Ｔ，ｒ，ｒ）＝Ｐ（Ｘ）
叛卟舢口；（蒡）２壶一２舢：刍蓦叫喇Ｂ２＋２帅ｚ
令Ｙ＝Ｉｎ（Ｘ／Ｋ。），则式（２３）可化为
ａＶ．ａＶ．ｄ２（ｔ）ａ２Ｖ
８ｔ
ａｒ
２
（２４）
盯２（ｔ）ａＶ
２
ａＹ
，、。
一十一一～＝＝－－
３Ｖ．口２（ｔ）ａ２Ｖ
ａ￡
２
ａｙ２
ａＰ
＝０
Ｙ＞０，０＜ｔ＜Ｔ，０＜ｔ＜Ｄｙ＜０，０＜ｔ＜Ｔ
（２５）
盯２（ｔ）ａｙ
２
ａｙ
ｙ（Ｙ，ｔ，ｒ）＝Ｖ（Ｙ，ｔ，０）Ｙ＝０，０≤ｔ≤Ｔｙ＞０，０＜ｔ≤Ｔ
ｙ∈Ｒ
ｙ（Ｙ，ｔ，Ｄ）＝Ｋ＋（Ｋｌｅｒ—Ｋ）ｆｌ
ｙ（Ｙ，ｔ，ｒ）＝Ｐ（Ｋ１ｅ７）
需要说明的是对于式（１９），同样变换计价单位Ｖ＝ｃ／Ｐ，Ｘ＝Ｓ／Ｐ，得
～Ｃ（Ｓ，ｒ，ｔ）＝（Ｓ／１一∞）Ｎ（ｄ１（（１一（ｃ，）Ｋ））＋
脚（一ｄ１（Ｋ））＋ＰＫ［（１一ｐ）＋
石ｙ＝ｌｎ（Ｓ／Ｐ）ｒ＝Ｉ
Ｊ
位、ｒ（ｄ２（Ｋ））一Ｎ（ｄ２（（１一ｃｏ）Ｋ））］
（２７）
誉０Ｖ＋丢扪，矛娶＝。ｃｘ朋∈ⅣｘＥｏ，Ｔ３１．
＾
ｄ１（ｚ）＝（１ｎｚ—ｙ—ｒ／２）／√；－ｄ２（ｚ）＝ｄｌ（２）＋
ｒＴ
ｙ（Ｘ，Ｔ）＝尹（Ｘ）Ｘ∈Ｒ＋
Ｊ（２６）
ｆ
ｄ２（拿）ｄ亭
ｔ
（２８）
２
ｒｏ
其中，口２（拿）由式（２４）给出．特别地，当Ｓ（常数）时，３个参数Ｋ，ｃｕ，ｐ满足关系式
２
１，ｒｌ
可得式（１９）的解为
。
’
ｅ－ｔＯＴ｛１－Ｎ｛［２１１１（（１一∞）Ｋ）＋（斫－ｒｏ）丁］／２ｄ。／亍）｝＋Ⅳ／（１一ｃｏ）｛Ｅ２ｌｎ（（１一∞）Ｋ）一（斫＋％）ｒ］／２盯・／Ｔ｝
ｅ－ｔｏＴ｛卜Ｎ｛［２
ｈＫ＋（斫一ｒｏ）Ｔ］／２盯，仃））－Ⅳ｛－［似一（斫＋ｒｏ）Ｔ３／２盯・仃）
（２９）
其中，Ｎ（・）为标准正态分布函数．
固定封闭期的含隐性保底条款的券集定价由显式（２７）、式（２８）给出．而具提前转开条款的券集定价能计算数值．下面对式（２５）做差分［１１｜．令Ｙｉ＝ｉＡＹ，Ｔ＝一ｔ。＝ｎａｔ，Ｄ—ｒＪ＝ｊＡｒ．记Ｎ，Ｊ，ｉ分别满足Ｔ＝ＮＡｔ，Ｄ＝ｊａｒ，Ｓ＝Ｋ１ｅ¨Ｙｐ＝Ｋ１Ｐ的参数，则ｉ＝ｉ，歹＝Ｊ时，分别对应达到空间关卡与计时关卡的点，即当ｉ＝ｉ时，Ｓ＝ＫｌＰ；Ｊ＝Ｊ时，ｒ＝Ｄ—ｊ＆ｔ＝０．令
Ｌ（ｉｊ），。＝（盯２（ｔ＂）／２）（Ｖ（ｉ＋１，卵，。一２ｙ（ｉ。Ｄ。。＋
Ｖ（ｉ－ｌ，ｊ），ｎ／△ｘ２）＋ａｒ２（ｔ。）・（ｙ（ｉ＋ｌ，ｍ。一Ｖ（ｔ一１，ｊ），。）／４ＡＸ
（３０）
当ｉ＜Ｙ时，Ｓ＜Ｋ。Ｐ，由式（３）知，计时参数不变．由式（６）得
Ｖ（ｔ。ｍ州＝ｙ（ｉ，ｍ。＋△圮（｛，弘。Ｖ歹（３１）
当ｉ＝彳时，Ｓ＝Ｋ。Ｐ，由计时参数ｒ的定义知，此时ｒ被重置为零，或者说歹＝歹．利用式（６），有
Ｖ（∞Ⅲ１＝Ｖ（琊）．＂＋Ａｔ
Ｖ（ｚ，Ｊ）Ⅲｌ＝Ｖａ，ｊ）Ⅲ１
Ｌ（琊）。＂
（３２）
由于此时计时参数被重置为零，故有
０＜Ｊ＜歹，０≤ｎ≤Ｎ
（３３）
当ｔ＞ｉ时，Ｓ＞Ｋ，Ｐ，由式（３）知，ｒ与ｔ的变化一致．由式（６）得
Ｖ（ｉ，ｐ１），％＋１＝Ｖ（ｉ．Ｊ）。＂＋ＡｔＬ（ｉ．』），ｎ
（３４）
同济大学学报（自然科学版）第３８卷
综合以上分析，式（６）可化为
Ｖ（ｉ．，）Ⅲ１＝Ｖ（ｉ．ｊ）．。＋△ｔＬ（ｉ，，），。ｉ＜ｉ，０≤他＜Ｎ，１
０≤歹≤歹
ｙ（｛．ｐⅢ１＝Ｖ（｛，ｊｍ＋１
ｔ＝ｔ，０≤竹＜Ｎ，歹＜歹
关系．
图１为Ｋ＝１．０３，Ｋ２＝１．０６，０＂１＝０．２５，Ｔｏ＝
０．０２５，ｏ＝１，０＝０．０２２５，盯２＝０．２，（ｃＪ＝０．１，ｐ＝
０．５，Ｔ＝１，产品的ｔ＝０时，券集投资价值关于产品
ｙ（｛．ｊｍ＋１＝Ｖ（｛’ｊｍ＋ＡｔＬａ，ｊ）．。Ｊ＝歹Ｖ（ｉ．ｐｌｍ＋１＝ｙ（｛．ｍ。＋ＡｔＬ（ｉ，Ｊ）．。
０≤歹＜歹
ｙ（￡．ｏ），。＝Ｋ＋（Ｋｌｅ地７一Ｋ）卢
Ｖ（ｆ．力。ｏ＝垆（Ｋ１ｅ‘６７）
Ｉ
净值与累积计时参数的关系．可以看到，当净值较小时，投资价值高于净值．这由于产品的保底性条款使得投资者回报有保障．而当净值较大时，券集价值反而比净值低，原因在于若投资者在净值较高时投资券集，产品转开的可能性大，而产品转开管理者将收
ｉ＞ｚ，０≤他＜Ｎ，ｌ
歹＝０，Ｖｔ，佗
Ｊ
（３５）
佗＝０，ＶＪ，咒
取比例佣金，投资者收益反而受损．图２给出了在初始时刻计时参数为零的情况下投资价值与产品净值的关系．可以看出，总体上，随着净值增加，券集投资价值也增加，但增加幅度有所不同．在转开边界附近曲线较平缓，而在净值较低或较高时，变化较快．
图３为在上述参数下，产品价值对净值的相对变化情况．可以看出，随着计时参数的增加，在转开边界附近，产品价值的变化很快．在转开边界上，存在着不连续点．这一性质与巴黎期权在敲入（敲出）边界上的性质相似．
这样，由式（３５）及Ｃ＝ＶＰ可以计算券集定价．
３计算结果与参数分析
由于式（３５）中｛ＥＺ，在实际运算中，取适当的Ｊ＞
＾
０，一Ｊ≤ｉ≤Ｉ，并令ⅥⅧｍ＝Ｋ＋（Ｋ１—７一Ｋ）卢，
＾
Ⅵ－ＬＪ）。。＝ｅｌａＹ／１一（￡，．利用式（３５）、Ｃ＝ＶＰ及ＭＡＴＬＡＢ编程，得到初始时刻产品价值和产品净值的
图１产品价值与净值及计时参数的关系
Ｆｉｇ．１
Ｒｅｌａｔｉｏｎ
图２初始时刻产品价值与
净值的关系
Ｆｉｇ．２
Ｖａｌｕｅａｇａｉｎｓｔｔｈｅｎｅｔａｔ
ｔｈｅ
图３产品价值随产品净值的变化关系
Ｆｉｇ．３
Ｖａｌｕｅｏｆｔｈｅｐｒｏｄｕｃｔ
ａｍｏｎｇｔｈｅｖａｌｕｅ。
ｔｉｍｅ
ｎｅｔａｎｄｔｈｅ
ａｇａｉｎｓｔ
ｔｈｅｎｅｔ
ｉｎｉｔｉａｌｔｉｍｅ
在固定封闭期的券集模型中无提前转开条款，其余假定与提前转开条款券集一致，式（２８）给出了其显式解．式（２５）给出的是市场无风险利率服从Ｖａｓｉｃｅｋ利率模型的情况下具提前转开条款的产品所满足的定价方程．因此，这２个解之间的差别体现的就是转开条款所带来的产品投资价值的变化．
利用式（２９）、式（３５）可以计算出提前转开条款下券集的定价．
图４为所有参数相同的情况下２个产品的价值．由图看出，有提前转开条款的产品价值高于相应的封闭期固定的产品．含提前转开条款的奖励价值与固定封闭期的价值之比随着净值的上升而下降．当净值较低时，比值相对较大，且变化率也大．这说明在净值较低时流动性在整个投资价值中贡献较
大，而随着净值的增加，比值趋于常值，转开条款所能提供的流到性价值越来越弱．
一般情况下，产品成立时净值为１．从图４可看到，提前转开条款下产品的价值比不含此条款产品
趔￥咯｛Ｌ
图４
Ｆｉｇ．４
固定封闭期产品与提前转开产品价值比较
ａｄｖａｎｃｅｐｒｏｄｕｃｔ
ｖａｌｕｅ
Ｃ阻川“鲫ｌｋ帆蹭哪ｔｈｅｖａｌｕｅｏｆｔｈｅｐｒｏｄｕｃｔｓ硝山
ｆｉｘｅｄｃｌｏｓｅ
ｐｅｒｉｏｄ
ａｎｄｔｈｅ
第１期梁进，等：券商集合理财产品定价问题研究
的价值高出约２％，从而体现提前转开条款的价值．４实例分析
图５给出了从２００５年４月光大阳光集合理财计划‘１３成立至２００７年７月间净值的变化情况．
３．０２．５
蚓
１．ＯＯ．５
图５光大阳光集合理财计划净值
Ｆｉｇ．５
Ｎｅｔ
ｖａｌｕｅｏｆｔｈｅＧｕａｎｇｄａＳｕｎｓｈｉｎｅ
ｅｈｏｗｎｍｔｉｓｔｉｃｐｌａｎ
从其招募书中知，封闭期为２年，隐性保底收益为１．０３．即只有当２年后净值高于１．０３时，管理者才能收取业绩分红，比例为５０％（提前转开时也按此比例收取报酬）．光大证券自身参与到计划的成立中，所占份额为１０％．该份额将承担有限责任．转开边界门槛为１．０６，计时边界为１０ｄ，即在封闭期内，若净值超过１．０６累计达到１０ｄ，则封闭期提前结束，投资者可以赎回投资并获得收益．利用市场数据可得年化波动率为０．２０．虽然从严格意义上讲，在投资初期不可能知道产品的波动率，但波动率体现了管理者的能力．因此，可以利用它来计算产品的投资价值．２００５年，我国的１年期存款利率为２．２５％，因此，在模型中取ｒ＝０．０２２
３．
利用式（３），得到其初始时刻的价值为１．０１８７，
大于初始时刻投资者所必须投资的１．原因可能包括
以下几方面：
（１）作为第１个券商集合理财产品，出于吸引投资者的目的，做了许多让利于投资者的设计．而最重要的原因在于，在收取的报酬比例为５０％的前提下，券商自有资金的投资比例高达１０％，且该份额将承担投资收益不足时弥补投资者损失的责任．在这之后的券商集合理财产品中，券商自有资金的参与比例多为３％～５％，而且自有份额往往不承担投资失败的责任．从本模型看，该比例过高．
（２）本模型与实际略有不同．在本模型中，计时参数开始与结束的边界是时间的函数，而在实际中这个边界是常数．
（３）从２００５年起，我国进入加息周期，利率不断
上升，而本文均假设利率为均值回复的Ｖａｓｉｃｅｋ模型，参数与实际可能有差别．
５结语
基于Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价理论，在无风险利率为均值回归Ｖａｓｉｃｅｋ模型假设下，建立了含提前转开条款的券商集合理财产品定价的偏微分方程模型，并且用差分方法得到了数值解．在此基础上进一步分析了转开条款带来的流动性价值．最后以光大阳光集合理财计划为例进行了实证分析．
致谢：感谢姜礼尚教授对本文的关心指导与有效建议和意见．
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券商集合理财产品定价问题研究
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
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梁进,孔亮亮,LIANG Jin,KONG Liangliang(同济大学,数学系,上海,200092)， 马俊美,MAJunmei(上海财经大学,应用数学系,上海,200433)同济大学学报（自然科学版）
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