新课改区高考试题《平面解析几何》
2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
全国：（12）已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(-12,-15),则E 的方程为
x 2y 2x 2y 2x 2y 2（A ）-=1 （B ） -=1 （C ） -=1 （D ）
364563x 2y 2
-=1 54
（15) 过点A(4,1)的圆C 与直线x -y -1=0相切于点 B(2,1)．则圆C 的方程为 .
x 2y 2
(20) 设F 1, F 2分别是椭圆E:2+2=1（a>b>0）的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A,B
a b
两点，且AF 2, AB , BF 2成等差数列. （Ⅰ) 求E 的离心率；
（Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA =PB , 求E 的方程.
辽宁： (7) 设抛物线y 2=8x的焦点为F ，准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l, A 为垂足．如果直线AF 的斜
率为那么|PF|=
(A) (B)8
(C) (D) 16
(9) 设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
(A)
(D) x 2y 2
(20) 设椭圆C ：2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l
a b
的倾斜角为60o , AF =2FB . (I) (II)
求椭圆C 的离心率； 如果|AB|=
15
，求椭圆C 的方程. 4
x 2y 2
天津：(5)已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的一条渐近线方程是
, 它的一个焦点在抛物线
a b
y 2=24x 的准线上，则双曲线的方程为
x 2y 2x 2y 2
-=1 （B ） -（A ）=1 36108927
（13）已知圆C 的圆心是直线圆C 的方程为
x 2y 2x 2y 2
-=1 （D ）-=1 （C ）
10836279
⎧x =t ,
与x 轴的交点，且圆C 与直线x +y +3=0相切，则(t 为参数）⎨
⎩y =1+t
x 2y 2（20）已知椭圆2+2=1(a >b >0）
的离心率e =4。
a b （1） 求椭圆的方程；
（2） 设直线l 与椭圆相交于不同的两点A , B ，已知点A 的坐标为（-a ,0），点Q (0,y 0) 在线段AB
的垂直平分线上，且QA ∙QB =4，求y 0的值
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
全国：（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A , B 两点，AB 为
C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为
（A
（B
（C ）2 （D ）3
（14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1, F 2在x
轴上，离心率为线L 交C 于A , B 两点，且V ABF 2的周长为16，那么C 的方程为。
。过F 1的直2
u u u r u u r
（20）在平面直角坐标系xoy 中，已知点A (0,-1) ，B 点在直线y =-3上，M 点满足MB //OA ，
uuu r uu u r uuu r uu r
MA ⋅AB =MB ⋅BA ，M 点的轨迹为曲线C 。
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。
辽宁：(3)已知F 是抛物线y 2=x的焦点，A,B 是该抛物线上的两点，AF +BF =3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 (A)
357 (B) 1 (C) (D) 444
x 2y 2（13）已知点（2,3）在双曲线C 2-2=1（a ＞0，b ＞0）上，C 的焦距为4，则它的离心率为_____________.
a b
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
x 2y 23a
全国：（4）设F 1F 2是椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点，P 为直线x =上一点，∆F 2PF 1是
2a b
底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
(A )
123
(B ) (C ) 234
(D )
4
5
（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A , B
两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）
(A )
(B
) (C ) 4 (D ) 8
（20）设抛物线C :x 2=2py (p >0) 的焦点为F ，准线为l ，A ∈C ，已知以F 为圆心，
FA 为半径的圆F 交l 于B , D 两点；
（1）若∠BFD =90，∆ABD 的面积为42；求p 的值及圆F 的方程；
（2）若A , B , F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，
求坐标原点到m , n 距离的比值。
辽宁：(15) 已知P ，Q 为抛物线x =2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于A ，则点A 的纵坐标为__________。
2
天津：（8）设m ，n ∈R ，若直线(m +1) x +(n +1) y -2=0与圆(x -1) 2+(y-1) 2=1相切，则m +n 的取值范围是
（A
）[1
（Ｂ）(-∞,1
∞
)
（Ｃ）[2-
（Ｄ）(-∞,2-
∞)
（12）己知抛物线y 2=2px (p >0), 焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若
|EF |=|MF |，点M 的横坐标是3，则p =x 2y 2
19. 设椭圆2+2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标
a b
原点.
（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为-
1
，求椭圆的离心率； 2
（Ⅱ）若|AP |=|OA |，证明直线OP 的斜率
k 满足|k
2013年全国统一考试理科数学
x 2y 2全国一： 4、已知双曲线C ：2-2=1（a >0, b >
0C 的渐近线方程为
a b A . y =±
111
x B . y =±x C . y =±x D . y =±x 432
x 2y 2
10、已知椭圆1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。若AB 的中点坐标
a b
为(1，－1) ，则E 的方程为 ( ) x 2y 2
A 、＋1
4536
x 2y 2
B 、＝1
3627
2
2
x 2y 2
C 、＋1
2718
2
2
x 2y 2
D 、＋＝1
189
(20) 已知圆M :(x +1) +y =1, 圆N :(x -1) +y =9, 动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C.
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）l 是与圆P , 圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.
全国二：设抛物线C y 2=2px (p >0) 的焦点为F ，点M 在C 上，MF =5若以MF 为直径的圆过点
(0, 2)，则C 的方程为( )
(A)y =4x 或y =8x (B)y =2x 或y =8x (C)y =4x 或y =16x (D)y =2x 或y =16x
（12）已知点A (-1, 0), B (1, 0), C (0, 1) , 直线y =ax +b (a >0) 将∆ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )
(A)(0, 1) (B)(1-
2
2
2
2
2222
112121
, ) (C)(1-, ) (D)[, )
322223
x 2y 2
(20) 平面直角坐标系xoy 中，过椭圆M :2+2=1(a >0, b >0) 右焦点x +y -3=0交M 于
a b
A , B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为
1
. 2
(Ⅰ) 求M 的方程
(Ⅱ) C , D 为M 上两点，若四边形ABCD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形面积的最大值.
3
辽宁：（9）已知点O (0,0), A (0, b ), B a , a . 若∆ABC 为直角三角形, 则必有
()
A ．b =a 3 B．b =a 3+
1
a
1⎫1⎛
C ．(b -a 3) b -a 3-⎪=0 D．b -a 3+b -a 3-=0
a ⎭a ⎝
x 2y 2
（15）已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F , C 与过原点的直线相交于
a b
A , B 两点，连接AF , BF . 若AB =10, AF =6,cos ∠ABF =, 则C 的离心率e =
4
5
20． 如图，抛物线C 1:x 2=4y , C 2:x 2=-2py (p >0). 点M (x 0, y 0)在抛物线C 2上，
过M 作C 1的切线，切点为A , B (
M 为原点O 时，A , B 重合于O ). 当x 0=11切线MA 的斜率为-.
2
（I ）求P 的值；
（II ）当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程
(A , B 重合于O 时, 中点为O ).
x 2y 2
天津：(5) 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的两条渐近线与抛物线y 2=2px (p >0) 的准线分别交于A , B
a b
两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB
则p =
(A) 1
(B)
3
2
(C) 2 (D) 3
x 2y 2
(18) 设椭圆2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F ,
, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的
a b
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若AC ·∙DB +AD ·∙CB =8, 求k 的值.
2014年全国统一考试理科数学
全国一：4. 已知F 是双曲线C ：x -my =3m (m >0) 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为
2
2
A
B .3 C
. D . 3m
10. 已知抛物线C ：y =8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C
的一个交点，若
2
FP =4FQ ，则|QF |=
A .
75
B . C .3 D .2 22
x 2y 220. 已知点A （0，-2），椭圆E ：2+2=1(a >b >
0) F 是椭圆的焦点，直线AF 的
a b O 为坐标原点. (Ⅰ) 求E 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P , Q 两点，当∆OPQ 的面积最大时，求l 的方程.
全国二：10. 设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）
A.
B.
C. D.
32416. 设点M （x 0,1），若在圆O:x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN=45°，则x 0的取值范围是________.
2y 220. 设F M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 11, F 2分别是椭圆2+2=1(a >b >0)的左右焦点，a b
与C 的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN 的斜率为，求C 的离心率；
（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且MN =5F 1N ，求a,b .
x 2y 2
天津： （5）已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的一条渐近线平行于直线l ：y =2x +10，双曲线
a b
的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）
x 2y 23x 23y 23x 23y 2x 2y 2
=1 （C ）-=1 （D ）-=1 -=1 （B ）-（A ）
[**************]0
x 2y 2
（18）设椭圆2+2=1（a >b >0）的左、右焦点为F 1, F 2，右顶点为A ，上顶点为B .
a b
已知AB =
1F 2. （Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点的直线l 与该圆相切. 求直线的斜率.
辽宁：10. 已知点A (-2,3) 在抛物线C ：y 2=2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．
1234
B ． C ． D ． 2343
x 2y 2
+=1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段15. 已知椭圆C ：94
MN 的中点在C 上，则|AN |+|BN |=.
20. 圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P
x 2y 2
（如图），双曲线C 1:2-2=1过点P
a b
（1）求C 1的方程；
（2）椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程
.