高考冲刺：函数与不等式问题的解题技巧（编稿：林景飞
热点分析 高考动向
审稿：张扬责编：严春梅）
1．函数问题是高考每年必考的重要知识点之一， 分析历年高考函数试题，大致有这样几个特点： ①常常通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象．
②在解答题的考查中，常常与不等式、导数、数列、甚至解析几何等结合命题,以综合题的形式出现． ③从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查． ④涌现了一些函数新题型．
⑤函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分．
2. 不等式试题则有这样几个特点：
①在选择题中常考查比较大小，解不等式等，可能与函数、方程、三角等知识结合出题. ②在选择题与填空题中，需建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值的应用题. ③不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法. ④分值在27---32分之间，一般为2个选择题，1个填空题，1个解答题．
3．通过分析，预测在今年的高考试题中，选择题与填空题中会出现一些与函数、方程、三角等知识结合的不等式问题，在解答题中会出现一些不等式的解法以及建立不等式求参数的取值范围，和求最大值和最小值的应用题特别是不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合题，会有与导数结合的函数单调性－函数极值－函数最值问题；这些题目会突出渗透数学思想和方法，值得注意。
知识升华
1．了解映射的概念，理解函数的概念．
2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程．
3．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质． 4．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质． 5．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
6．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力．
7．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式．
8．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题．
9．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力． 10．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．
11．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．
经典例题透析
类型一：函数的定义域及其求法
函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.
例1．（广东卷）已知函数 （A）
（B）
的定义域为M，g(x)= （C）
的定义域为N，则M∩N= （D）
命题意图：本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.
解：函数 g(x)= ∴M∩N=
举一反三：
的定义域M=的定义域N=
．故选C
变式1（安徽））函数答案： 解析：由
变式2 (湖南卷）函数
且
且
的定义域为______________．
得
的定义域是( )
（A）(3,+∞) （B）[3, +∞) （C）(4, +∞) （D）[4, +∞)
答案：由
变式3（全国I）函数 A． 答案：C. 解析：由
，故选D.
的定义域为（ ） C．
D．
B．
且得或.
类型二：复合函数问题
复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域. 例2．（北京卷）对于函数①，②
，③
，判断如
下两个命题的真假： 命题甲：是偶函数；
命题乙：
在
上是减函数，在
上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ）
Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③ 命题意图：本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力. 解：是偶函数，
又函数
开口向上且在
上是减函数，在
上是增函数．
故能使命题甲、乙均为真的函数仅有．
故选Ｃ
举一反三：
变式1（安徽卷）函数对于任意实数满足条件，
若则__________. 答案：
解析：由,得，
所以，则.
变式2（江西）若函数的值域是，则函数的值域是（ A． B． C． D． 答案：解析：令，则，
）
变式3（山东）设函数则的值为（ ）
A． B． C．，
D． 答案：A
解析：∵
∴
.
变式4（天津）已知函数 (A) (C)
(B) (D)
，则不等式
的解集是（ ）
答案：C
解析：∵等价于
或
解得
或
， ，∴
.
类型三：函数的单调性、奇偶性和周期性
函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.
例3．（全国卷） 已知函数，若为奇函数，则________.
命题意图：本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用.
常规解法：由为奇函数,所以,即
应填.
巧妙解法：因为为奇函数且定义域,所以,即
,这一重要结论.
应填.
总结升华：巧妙解法巧在利用了
举一反三： 变式1（全国卷）为偶函数”是“
，
为奇函数,所以
是定义在上的函数，，则
“，均
为偶函数”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 答案：
，，
为偶函数．
为偶函数，
，
不一定是偶函数．
均为偶函数，
，有
，
解析：先证充分性：因为 所以 所以
反过来，若 如
，
，故选B.
方法二：可以选取两个特殊函数进行验证．
点评：对充要条件的论证，一定既要证充分性，又要证必要性，二着缺一不可．同时，对于抽象函数，有时候可以选取特殊函数进行验证．
变式2（安徽）若函数 A． C． 答案：D
、分别是上的奇函数、偶函数，且满足
，则有（ ）
B． D．
解析：∵ 即，
∴
∴
，
，
又∵单调递增，
∴
变式3 （上海）设函数
且.
是定义在R上的奇函数，若当时，，则满足
的x的取值范围是______________ 答案： 解析：当 当
时，时，则
； ，有
；
∴，
∴ 解得
或
或.
或，
变式4 （全国I）设奇函数解集为（ ） A．C．答案：D．
在上为增函数，且，则不等式的
B． D．
解析：由奇函数方法一：当 当 又 ∴方法二：作出函数 当 当
可知时，时，在
； ，
上为增函数，则奇函数
.
的示意图，有
即，即
；
，而，则，
在上为增函数，
时，时，
.
变式5（北京）已知函数②
； ③
．其中能使
，对于上的任意，有如下条件：①；
恒成立的条件序号是 答案：②
，
解析：∵函数是偶函数，且
又当时
∴函数 ∴作出函数 有能使
在
的示意图，
上单调递增
恒成立的条件：.
类型四：函数的图象与性质
函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想. 例4．函数
的图象大致是 ( )
（A） （B） （C） （D） 命题意图：本题主要考查对数函数的图象及图象的平移等知识. 解：
单位得到的，故选A.
举一反三：
变式1（全国I）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）
.此函数图象是由函数
向右平移一个
答案：A．
A． B． C． D．
解析：根据汽车加速行驶
，匀速行驶，减速行驶结合函数图像可知。
变式2（全国II）函数 A．
轴对称 B． 直线
的图像关于（ ）
对称 C． 坐标原点对称 D． 直线
对称
答案：C
解析：∵函数
是奇函数，∴图像关于坐标原点对称.
变式3（山东）函数的图象是（ ）
A B C 答案：A
解析：∵函数
是偶函数，
∴图像关于
轴对称，
又∵时， ，
∴选A，不能选C.
变式4（山东）设函数
的图象关于直线
对称，则的值为（ ） (A) 3 (B)2 (C)1 (D)
答案：A 解析：∵函数
的图象关于直线
对称
∴
即
，把选项ABCD的值逐一代入，可以确定选A.
D
类型五：以集合、简易逻辑为背景的不等式
以集合、简易逻辑为背景的不等式,以考查不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的，或者以不等式为工具,来确定命题,解题时应注意将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合,准确解题. 例5. （北京卷文）记关于的不等式 （I）若 （II）若
，求
；
，求正数的取值范围．
命题意图：本题主要考查集合的有关概念和运算及分式不等式和含绝对值的不等式的解法.
的解集为
，不等式
的解集为
．
解：（I）由 （II） 由
，得． ．
，得
．
，又，所以，
即的取值范围是 举一反三： 变式1（江苏） 解析：由 因为
，所以
得
，因此
则，
的元素个数为______________。 答案：0
，元素的个数为0。
变式2（山东卷）设，，则是的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 答案：A. 解析：由题设可得
即
或
；
即或或，选(A)
变式3(福建)设集合,,那么“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A.
解析：∵
故“
，∴
”是“
”充分而不必要条件.
，（如图），
类型六：以线性规划形式出现的不等式
以线性规划形式出现的不等式,重在考查数形结合的解题能力.这种题目解题时要注意根据已知不等式组作出图形,分析求解. 例6.（辽宁卷）双曲线不等式组是（ ）
的两条渐近线与直线
围成一个三角形区域,表示该区域的
（A） （B） （C） （D）
命题意图：本题主要考查利用双曲线的图象性质和线性规划的知识，体现数形结合能力.
解：作图可知三角形区域在第一象限.即满足
举一反三：
，故选(A)
变式1（福建）若实数x、y满足 A.(0,1) B.
答案：C
则的取值范围是( ) ) D.
C.(1,+
变式2（陕西）已知实数等于（ ）
满足如果目标函数的最小值为，则实数
A．7 B．5 C．4 D．3 答案：B
变式3（山东）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M
，使函数
的图象过区域M的a的取值范围是（ ）
A．[1,3] B．[2, 答案：C
11
] C．[2,9] D．[,9]
类型七：函数、导数、不等式知识的综合应用
函数、导数、不等式知识的综合题目,解题时往往以不等式和函数的导数为工具, 结合函数知识,通过推理来解决问题.
例7. （江西卷）已知函数 (1) 求、的值及函数 (2) 若对
,不等式
的单调区间；
在与时都取得极值.
恒成立,求的取值范围.
命题意图：本小题考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等基础知识的综合运用，考查数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力. 解：
由
，函数
得
的单调区间如表：
所以函数的递增区间为与；递减区间为.
（2）
而 要使
，当
，则（
时，为极大值
为最大值，
）恒成立，只须，解得或.
12
举一反三：
变式1（辽宁）设函数
（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式 围；若不存在，试说明理由． 解析：
．
的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范
（Ⅰ） 故当 所以 由此知
在在时，
，
时，
．
．
单调递增，在
的极大值为
单调递减．
，没有极小值．
（Ⅱ）（ⅰ）
当时，由于
的解集为
．
，
故关于的不等式
（ⅱ）当时，由知，其中为正整数，
且有．
又时，，且．
取整数满足，，且，
则 即当
时，关于的不等式
， 的解集不是
．
的解集为
，
综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在，使得关于的不等式 且的取值范围为
13
.
变式2（重庆卷文）用长为的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，
问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
解：设长方体的宽为，则长为，高为
故长方体的体积为 从而 令
,解得
（舍去）或
，因此
.
当 故在
时处
；当时，
的最大值.
取得极大值，并且这个极大值就是
，高为
，高为
.
从而最大体积 此时长方体的长为 答：当长体的长为
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，宽为时，体积最大，最大体积为.
类型八：函数、不等数与数列知识的综合应用
与数列知识结合的函数、不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问题.
例8.（湖北卷）
设数列 （Ⅰ）求数列
的前项和为，点均在函数的图像上.
的通项公式；
（Ⅱ）
设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正
整数.
命题意图：本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力. 解：
（I）依题意得，即.
当 当 所以
时，时，
.
.
;
（II）由（I）得，
故.
因此，使得
故满足要求的最小整数
成立的
为10.
必须满足，即,
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举一反三：
变式1 已知函数f(x)=a1x+a2x+„+anx(n∈N),且a1，a2，a3，„，an构成数列{an}，又f(1)=n. （1）求数列{an}的通项公式；
2
n
*
2
（2）求证： 解析：
．
（1）由题意：f(1)=a1+a2+„+an=n，(n∈N) n=1时，a1=1
n≥2时，an=(a1+a2+„+an)-(a1+a2+„+an-1)=n2-(n-1)2=2n-1 ∴对n∈N总有an=2n-1,
即数列{an}的通项公式为an=2n-1.
*
2*
（2）
∴
∴
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变式2（陕西）已知数列 （Ⅰ）求
的首项，，．
的通项公式；
，
．
，
；
（Ⅱ）证明：对任意的 （Ⅲ）证明： 解析：
（Ⅰ），，，
又，是以为首项，为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，，
．
另解：设
，
，
原不等式成立．
则
，
当
时，
；当
时，
，
当时，取得最大值
，有
． 原不等式成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的
．
令，则，
．
原不等式成立．
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