高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型1 a n +1=a n +f (n )
解法：把原递推公式转化为a n +1-a n =f (n ) ，利用累加法(逐差相加法) 求解。 例1. 已知数列{a n }满足a 1=
11
，a n +1=a n +2，求a n 。 2n +n
变式: 已知数列{a n }中a 1=1，且a 2k =a 2k －1+(－1) K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….
（I ）求a 3, a 5；（II ）求{ an }的通项公式. 类型2 a n +1=f (n ) a n 解法：把原递推公式转化为例1:已知数列{a n }满足a 1=例2:已知a 1=3，a n +1
a n +1
=f (n ) ，利用累乘法(逐商相乘法) 求解。 a n
2n
a n ，求a n 。 ，a n +1=
3n +13n -1=a n (n ≥1) ，求a n 。 3n +2
变式:（2004，全国I, 理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+(n -1) a n -1 (n ≥2) ，则{a n }的通
项a n =⎨
n =1⎧1
⎩___n ≥2
类型3 a n +1=pa n +q （其中p ，q 均为常数，(pq (p -1) ≠0) ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：a n +1-t =p (a n -t ) ，其中t =求解。
例:已知数列{a n }中，a 1=1，a n +1=2a n +3，求a n . 变式:（2006，重庆, 文,14）
在数列{a n }中，若a 1=1, a n +1=2a n +3(n ≥1) ，则该数列的通项a n =_______________ 变式:（2006. 福建. 理22. 本小题满分14分） 已知数列{a n }满足a 1=1, a n +1=2a n +1(n ∈N *). （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）若数列{b n }滿足4142 4n
b -1b -1
b -1
q
，再利用换元法转化为等比数列1-p
=(a n +1) b n (n ∈N *), 证明：数列{b n }是等差数列；
（Ⅲ）证明：
a n 1a 1a 2n
-
类型4 a n +1=pa n +q n （其中p ，q 均为常数，(pq (p -1)(q -1) ≠0) ）。 （或a n +1=pa n +rq n , 其中p ，q, r 均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q n +1，得：
a n +1p a n 1a n
引入辅助数列（其中），{}b ==∙+b n n
q n q n +1q q n q
得：b n +1=
p 1
b n +再待定系数法解决。 q q
511n +1
, a n +1=a n +() ，求a n 。 632
412
a n -⨯2n +1+，n =1,2,3, 333
例:已知数列{a n }中，a 1=
变式:（2006，全国I, 理22, 本小题满分12分） 设数列{a n }的前n 项的和S n =
n
32n
，证明：∑T i
2S n i =1
类型5 递推公式为a n +2=pa n +1+qa n （其中p ，q 均为常数）。
解法一(待定系数法) ：先把原递推公式转化为a n +2-sa n +1=t (a n +1-sa n ) 其中s ，t 满足⎨
⎧s +t =p
⎩st =-q
2
解法二(特征根法) ：对于由递推公式a n +2=pa n +1+qa n ，a 1=α, a 2=β给出的数列{a n }，方程x -px -q =0，
n -1n -1
叫做数列{a n }的特征方程。若x 1, x 2是特征方程的两个根，当x 1≠x 2时，数列{a n }的通项为a n =Ax 1，+Bx 2n -1n -1其中A ，B 由a 1=α, a 2=β决定（即把a 1, a 2, x 1, x 2和n =1, 2，代入a n =Ax 1，得到关于A 、B 的方程+Bx 2n -1组）；当x 1=x 2时，数列{a n }的通项为a n =(A +Bn ) x 1，其中A ，B 由a 1=α, a 2=β决定（即把a 1, a 2, x 1, x 2和
n =1, 2，代入a n =(A +Bn ) x 1n -1，得到关于A 、B 的方程组）。
解法一（待定系数——迭加法）:
数列{a n }：3a n +2-5a n +1+2a n =0(n ≥0, n ∈N ) ， a 1=a , a 2=b ，求数列{a n }的通项公式。 例:已知数列{a n }中，a 1=1, a 2=2, a n +2=变式:
21
a n +1+a n ，求a n 。 33
1. 已知数列{a n }满足a 1=1, a 2=3, a n +2=3a n +1-2a n (n ∈N *).
（I ）证明：数列{a n +1-a n }是等比数列；（II ）求数列{a n }的通项公式； （III ）若数列{b n }满足4142...4n
b -1b -1
b -1
=(a n +1) b n (n ∈N *), 证明{b n }是等差数列
2. 已知数列3. 已知数列
{a n }中，a 1=1, a 2=2, a n +2=2a n +1+1a n ，求a n
3
3
{a n }中，S n 是其前n 项和，并且S n +1=4a n +2(n =1,2, ), a 1=1，
=a n +1-2a n (n =1, 2, ) ，求证：数列{b n }是等比数列；
=
a n
, (n =1, 2, ) ，求证：数列{c n }是等差数列；⑶求数列{a n }的通项公式及前n 项和。 n 2
⑴设数列b n
⑵设数列c n
类型6 递推公式为S n 与a n 的关系式。(或S n =f (a n ) ) 解法：这种类型一般利用a n =⎨
⎧S 1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(n =1)
与a n =S n -S n -1=f (a n ) -f (a n -1) 消去S n (n ≥2) 或与
⎩S n -S n -1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(n ≥2)
S n =f (S n -S n -1) (n ≥2) 消去a n 进行求解。
例：已知数列{a n }前n 项和S n =4-a n -
12n -2
.
（1）求a n +1与a n 的关系；（2）求通项公式a n .
（2）应用类型4（a n +1=pa n +q n （其中p ，q 均为常数，(pq (p -1)(q -1) ≠0) ））的方法，上式两边同乘以2得：2n +1a n +1=2n a n +2 由a 1=S 1=4-a 1-
n +1
1
⇒a 1=1. 于是数列2n a n 是以2为首项，2为公差的等差数列，所以1-2
2
n
2n a n =2+2(n -1) =2n ⇒a n =n -1
2
{}
变式:（2006，陕西, 理,2012分)
已知正项数列{an }，其前n 项和S n 满足10S n =an 2+5an +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{an }的通项a n 变式: (2005,江西, 文,22．本小题满分14分）
已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3(-)
12
n -1
3
(n ≥3), 且S 1=1, S 2=-, 求数列{a n }的通项公式.
2
、0，a≠0) 类型7 a n +1=pa n +an +b (p ≠1
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令a n +1+x (n +1) +y =p (a n +xn +y ) ，与已知递推式比较，解出x , y , 从而转化为{a n +xn +y }是公比为p 的等比数列。 例:设数列{a n }：a 1=4, a n =3a n -1+2n -1, (n ≥2) ，求a n .
变式:（2006，山东, 文,22, 本小题满分14分） 已知数列｛a n ｝中，a 1=
1
、点（n 、2a n +1-a n ）在直线y=x上，其中n=1,2,3… 2
(Ⅰ) 令b n =a n -1-a n -3, 求证数列 (Ⅱ) 求数列{a n } {b n }是等比数列；的通项；(Ⅲ) 设S n 、T n 分别为数列{a n }{b n }的前n 项和, 是否存在实数λ，使得数列⎨、求出λ 不存在, 则说明理由.
⎧S n +λT n ⎫
⎬为等差数列？若存在试
⎩n ⎭
r
类型8 a n +1=pa n (p >0, a n >0)
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为a n +1=pa n +q ，再利用待定系数法求解。 例：已知数列｛a n ｝中，a 1=1, a n +1=
12
⋅a n (a >0) ，求数列{a n }的通项公式. a
变式:（2005，江西, 理,21．本小题满分12分） 已知数列{a n }的各项都是正数, 且满足:a 0=1, a n +1=
1
a n (4-a n ), n ∈N . 2
（1）证明a n
已知a 1=2，点(a n ,a n+1) 在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+a n ) ｝是等比数列；
（2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n ) ，求T n 及数列｛a n ｝的通项； 记b n =
211
+，求｛b n ｝数列的前项和S n ，并证明S n +=1
3T n -1a n a n +2
类型9 a n +1=
f (n ) a n
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为a n +1=pa n +q 。
g (n ) a n +h (n )
例：已知数列｛a n ｝满足：a n =
a n -1
, a 1=1，求数列｛a n ｝的通项公式。
3⋅a n -1+1
变式:（2006，江西, 理,22, 本大题满分14分） 1. 已知数列｛a n ｝满足：a 1＝
33na n －1
n ≥2，n ∈N *），且a n ＝
22a n －1＋n －1
（1） 求数列｛a n ｝的通项公式；
（2） 证明：对于一切正整数n ，不等式a 1∙a 2∙……a n
2、若数列的递推公式为a 1
=3,
11
=-2(n ∈ ) ，则求这个数列的通项公式。 a n +1a n
3、已知数列{a n }满足a 1=1, n ≥2时，a n -1-a n =2a n -1a n ，求通项公式。
4、已知数列｛a n ｝满足：a n
=
a n -1
, a 1=1，求数列｛a ｝的通项公式。
3⋅a n -1+1
n
5、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a n +1=
2a n
n ∈N +，求通项a n ．
a n +2
类型10 a n +1=
pa n +q
ra n +h
pa n +q
（其中p 、q 、r 、h 均为常数，
ra n +h
解法：如果数列{a n }满足下列条件：已知a 1的值且对于n ∈N ，都有a n +1=
且ph ≠qr , r ≠0, a 1≠-
⎧1⎫h px +q
），那么，可作特征方程x =, 当特征方程有且仅有一根x 0时, 则⎨⎬是等差r rx +h ⎩a n -x 0⎭
⎧a n -x 1⎫
⎬是等比数列。
a -x ⎩n 2⎭
a n +4
, 且a 1=3, 求{a n }的通项公式.
2a n +3
13a n -25
.
a n +3
数列; 当特征方程有两个相异的根x 1、x 2时，则⎨
例：已知数列{a n }满足性质：对于n ∈N , a n -1=
例：已知数列{a n }满足：对于n ∈N , 都有a n +1=
（1）若a 1=5, 求a n ; （2）若a 1=3, 求a n ; （3）若a 1=6, 求a n ; （4）当a 1取哪些值时，无穷数列{a n }不存在？ 变式:（2005，重庆, 文,22, 本小题满分12分）
数列{a n }满足a 1=1且8a n +1a n -16a n +1+2a n +5=0(n ≥1). 记b n =
11a n -
2
(n ≥1).
（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值； （Ⅱ）求数列{b n }的通项公式及数列{a n b n }的前n 项和S n .
类型11 a n +1+a n =pn +q 或a n +1⋅a n =pq n
解法：这种类型一般可转化为{a 2n -1}与{a 2n }是等差或等比数列求解。
例：（I ）在数列{a n }中，a 1=1, a n +1=6n -a n ，求a n （II ）在数列{a n }中，a 1=1, a n a n +1=3，求a n 类型12 归纳猜想法 解法：数学归纳法
变式:（2006，全国II, 理,22, 本小题满分12分）
设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，… （Ⅰ）求a 1，a 2； （Ⅱ）｛a n 类型13双数列型
解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
n
例：已知数列{a n }中，a 1=1；数列{b n }中，b 1=0。当n ≥2时，a n =求a n , b n .
类型14周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。
11
(2a n -1+b n -1) , b n =(a n -1+2b n -1) ，33
例：若数列{a n }满足a n +1
1⎧
2a , (0≤a ≤) n ⎪6⎪n 2=⎨，若a 1=，则a 20的值为___________。
⎪⎪⎩
2a n -1, (172≤a n
变式:（2005，湖南, 文，5） 已知数列{a n }满足a 1=0, a n +1=
a n -33a (n ∈N *) ，则a 20=
n +1
A ．0
B ．- C ．
（ ）
D ．
2