第２ ８第卷４ 期 ２０ １年８月
２
大学 数学Ｃ
Ｌ Ｌ ＯＥＧ Ｅ ＭＡＨＥＴＡＭＴ ＩＣ Ｓ
Ｖ ｏｌ ． ２８， №． ４ Ａｕ ． ２ ０ １２ ｇ
种两常反分积散性敛判别方的
龙爱法芳（
）中 民族南大 数学与学统学学院 计 ，湖北 武汉 ３ ０ ４ ０ ４７ 摘 要 ］ 绍了两种介别判常反积敛散分性判的方法别 ． ［ ［ 关键 ］词 常反分积 ；敛散性 判；别法 方［ （ 中图）分号 ］类 Ｏ献标识文 ］码 Ｃ ［ 文 章编号 ］ １ ７１２ ．２ ［ ６ ７ ２ １ ４５４ ２ ０ １ ２ ０４０ １４０ ０ －４－ －
反常 分积数是分析课程中学比较难掌的内容握 ，在《数 学分析 》教材 （华东 师 大 范 学 学数系 编， 第 三版） 介绍中了比判别较法 、较比判法的极限形式别 、 阿尔贝别判法狄及利雷克别法 判此；外文［ 给 出 ２了 ］绍了反常介分的积导数判别等法等， 本介绍文反常积的另分外种两别判反 常积 分 的对 判 别 ；法文［ ３ 法： 比］值别法判拉和贝别法判． 我们知道 ， 正项 级数 比的值别法判只是从身自发就能出判敛别散性的种一法方 ， 它依赖不
∑于ｕ
ｎ
的级别 ， 数因比此判值法别是 判 别 项正 级 数 散敛 性的一 种 首 选 的 非 常 要 的重方 法但 它 ．有 限局性 ，
当
ｕ ｎ１ ＋时可以用此拉判别贝再进法步一别判．由正 级数项散敛的积性判别法分知 ： ｌ ｉ如ｍ ＝１时法判别 无 ，ｎ →∞ ｎｕ
ｆ果 （ ｘ则）在［ １， ＋ ）∞单上非负调
，）ｎ ∑与ｆ
（因而然会想到自常反 积） ｄ ｘ ｘ相有的同敛散性 ， ∫（ｆ１
＋∞
是分否有类也的比似判值法及别拉贝判别法呢回？答是定肯 的 ，．定理 １ 设ｆ（ 且在 任有何区限间 ［则 有 ）ｘ义定 于 ［，１ ）≥ｘ０ ，１ ， ］上可积ｕ ， ＋）∞ｆ （ ∞＋（ ） （ 当 ）ｆ ｘ＋ ≤１ｒ＜ １ 时， ｆ （ｉ ）ｘ ｄｘ 敛 ； １ ｘ收 ）ｆ（
＋ ∞（ ） ）（ 当 ｘｆ １ ≥ ＋ 时 ，１ ｆ ｉ（ ｉｘ ）ｄ 发ｘ散 ．（ ）１ ｆ ｘ
∫∫
２１２ １ １２ ２１
证 Ａ ＞１， ｎ ∈＋ Ｎ使，Ａ ∈（ ｎ １，－ ］ｎ （ （） ）因ｆ ｘ 为＋１≤ｒ ＜ １ ，以所ｉ ｘ ≥ ０ ，）ｘ∈ ［ １ ＋， ∞）， （ｆ ｘ） （
Ａ
３ｆ ２３ ２ ２ １ ２
１Ａ ｎ －１ｎ
∫
ｘ１ ｄ ｘ）＝ｆ
（
ｘ） ｘ ｄ ∫ ∫ ｆ（∫ｄ ｘ ＋ｆ （ ｘｄ＋ ＋… ｘ ）ｄ ｘ ≤ｆ （ ∫ｘ） ∫ｘ） ∫ ｆ ｄ（ ＋ ｘ（ ｄ ｘｆ＋ ＋ ｆ（ … ｘｄ＝ ｆ ∫ （ｘ）∫ ｘ ＋）１ ∫ ＋ｘｎ－２ ） ｄ＋ ｘ ｘｒ
）ｄ ＋ …ｘ＋ ｒ ｆ （ ｄ ｘ ｆ≤ （∫ｘ ）ｆ（∫∫ ）ｘ １ｘ） ｘ．ｄ ｆ（≤ １－ ｒ∫１
－ｎ １２２ １
ｘ）
ｄ ｘ＋ｆ（ ）ｘｄ ｘ＋ … ＋ ｆ（
２ｎ －
２ １
； ［收 日期 ］２稿修 日期 ］２改０ １ ０ ０ ３ ２７０ １ ０ ０ ６２ ４ ［ － － －－ ） 金基目项 ］ 南中族大民教研学目项 Ｊ Ｙ （Ｘ １ ００３ ６ ［
第４ 期 龙 爱 芳 ：两反种 常积分 散 敛 的性判 别 方 即 Ｆ法 （） ＝
ＡＡ１
１ ４
１
存在 ， ∫而因ｘ） ｄｘ 收敛． ∫ ｆ（＋
∞ １
上
单递增调有上界 ）ｘｄ ｘ 在 １［， ＋∞ ）ｆ
（
２ （１）， 由ｘ单调有界定性理 ｌ知ｉ ｍ （ Ａ） Ｆｘｆ Ａｄ→＋ ∞－１ｒ
∫
１（ （）） 因为ｆｘ ＋ １≥ １ ，， 所 以（ｆ ｉｉ ｘ ） ０ ≥，ｘ ［∈ １ ， ｘｎ）≥ ＋（ ｘ）ｆ ． ∞＋ ｆ（）ｘ ）ｆ （
Ａ２ １２ １ １２ ２３３ ２ ２ １
Ａ ｎ
１ － ｎ１－ ｎ －２
） ｄｘｘ ∫ ∫ ｆ（ ∫ ｄ ＋ ｆｘ ｄ ｘ（＋ ＋…ｘ ｄ ） ≥ ｘｆ （ ∫ｘ ∫） ｘ）∫ ｆ（ ｄ ｘ＋ ｆ （ ｄｘ ＋ … ＋ ｆ（ ｄ ｘ ＝ｆ （ ∫ｘ） ∫ｘ＋ １） ｘ∫ｎ＋３）－ ）ｆ （－ｎ２ｄ ．ｘ ≥ ∫ ｘ）（ ｆ） （由于 Ａ →＋ ∞ ｎ 时＋ ∞→， 而ｌ 故ｌ 而 因ｉｍ （－ｎ ２） ｄｘｘ ＝ ＋∞ ， ｉｍＦ（ Ａ ）存不 ， ｘ）在 ｄ ｘ散 发 ．∫∫ ｆ
∫
１（
ｘ）ｄ ＝ ｘ（
ｆ
ｘ）ｄ ｘ ＋ ｆ （） ｄ ｘ＋ … ＋ ｘｆ（
２
１
２
１
２１
∞＋
→ｎ∞
Ａ→∞
比１值判法的别极限形式： （ ）ｘ ＋１ ， 论推 １ 设ｆ （定义 于 ［ 任在何限有间 区 上可积 ［，且ｌ ｘ ）１ ， ｘ １） ，ｕ］ ｉｍ ＋ｆ ∞）＝ ｆ（ ≥ ０ ，ｘ→＋ ∞） ｘ（ｆ则 λ， （）当 ＜ １λ 时 ，
ｘ） ｄ ｘｉ收敛 ． ∫ ｆ （（ ）当 ＞ λ １时 ，ｆ （ｉ ｉ ｄ ｘ发 散． ∫ｘ
）１ ∞＋
＋∞
１（
） ｘ１ 证 ＋ 因为ｌ即 有 ｉ ｆｍε ＞ ０， Ｍ ＞０ 当， ｘ＞ Ｍ 时 ，λ＝ ， （）ｘ ＋→ ｆ∞ ｘ ｘ ＋１）ｆ（ λ－ ε＜＜ λ＋ ε ． （ ｆｘ） （） （） 当λ＜ １ 时 ，取ε＝ １－ ＞ λ，０有 ｆ ｘ＋１＜ １ ＋λ＜ １ ，由理定ｉ Ｍ１ ＞ ，当 ０ ＞ｘＭ 时 １ （，） ２ ２ ｆｘ 知１
，ｘ
）ｄ 收敛 ． ∫ｘ （ｆ
１
＋
∞
（） ）（当λ＞ １ 时， 取ε λ＝ －１ ＞ ０ 有， ｆ ｘ＋１＞ １＋λ ＞ １， 由定理 ｉ ｉＭ２＞ ，０ ｘ当＞ Ｍ２ 时， （ ）２ ２ ｆ １ｘ知
，ｘ
ｄ）ｘ 发散 ． ∫ｆ（
１
＋
∞
， 理
定２ 设 ｆ 且在任何（有区间 ［ 如限果 ｘ）义于定［ １， ）≥ｘ ０ ，１， ］上可积 ，ｕ ＋ ∞ ｆ（）＋ ∞（ ） ｘ １ ＋ ）Ｍ 当ｘ（＞ 有 ｘ 则 Ｍｉ ＞０′，′ 时 ，１ ｆ－（ ） ≥ ｒ ＞１ ， ｘ） ｄ 收ｘ敛． ｆ １（ ｘ
ｆ
［］ ∫ （ ） ｘ １＋（ ）Ｍ 当 ｘ Ｍ ＞ 有 则 ｉ ｉｘ′ ０＞ ′ ，， １－时ｆｘ ｄ） ｘ 散发 ≤．，１［ ｘ） ］ ∫ ｆ（ ｆ（
∞ ＋
１
） ＋ｘ１ｆ ）（由于 ｆ（， 证 （ 定义于［且 Ｍ当 ＞ｘＭ 有ｘ ｘｉ ），１ ＋∞） ｘ）′ ０＞ ，′时， － １０， ｆ≥ （（） ｆ ， 则ｘ有 ＞１ ≥ ｒ ｘ＋１）ｒ （ｆ （ １） ≤１ ．－（ ｘ）ｘ ｆ 由实的稠密数知性在实存数ｐ， 使 １＜ ＜ ｒｐ
．［
］
因为 ｌｉ ｍ 即 １＜，
－１１－
（
ｘ
１ｘ
→＋∞
ｒ ｘ
）＝ｌ （ ｉｍ
→ ＋ｘ∞
ｐ
１１ －ｐ
ｘ
）
－ｐ１
ｒ
１
１ （－ １－ｘ ｐ 所以 Ｍ ＞０，当 ｘ Ｍ＞时 ，有 ＝＜１， ｒ ｘｒ
）
ｐ
１ ４
２ １ －
大
学 数 学 第 ２ ８ 卷
１ｒ ． ｐ ＜１ － ｘｘ （ ） 当）ｘ 充分大 时 必，在 存 ｘ使 Ｍ≤ 由ｘ（ 式 、得式 ：１ ２０ Ｒ∈， ＜ ０Ｍ ＋ １
，（
）
（ ）
２
）
＜－１ｘ ＋ １（ｆ ）复应反 用（ 式得 ３
（
１
（） ｐｆ ｘ ｘ
．）
（） ３
ｐ １ ｐ…１ ｐ （） ）＜ ，－ １１ ＋１ｘ１ １－－ｆ（ ｆ ｘ０ ｘｘ １－ ｘ０ ＋ｐ （ ０ －∞ ）１ ） ＜ｘ ）即 ｆ（ 由较比判法别 知而 ｘ 因＋１ｘ ．由于ｐ ＞ １， ｘ １＋ｄ ｘ 收敛 ｆ（ ｆ（，０ ）ｐ ｘ１收 敛．
（
）
（）
（
）∫
）ｘｄ ｘ ∫ （ｆ１
＋
∞（
）ｘ １（ 若） Ｍ ｘ当 ＞Ｍ 有ｘ 则 ｉ ｉ ′ ＞ ０ ， ′时 ，－１ ｆ＋ ≤，１ｘ ） ｆ
（［
］
ｘ
１－（ ） ｆｘ ． ｘ ） ，） 当ｘ 充分大 ，时 在 存 ｘ反复用应（ 式得 ： Ｍ ′，Ｍ ′＋１ ４０∈ ［ ０ １－ ≥ ｘ）－ １ｘ－ …２ｘ ｘ ＋ １ｘ ｆ（ ｆ（０ ）， ｘ ｘ － ｘ ０
）１ ｘ≥＋ １ｆ
＋∞（＋∞
（
） ４
０ －
１）≥ ｘ ）即 ｆ （比较由判法知别因而 ｘ １＋ ．ｘｘ ＋ １ ｄｘ发散 ｘ），ｄ ｘ散 ．发 （ｆｆ（ （ ０）ｆ １１ ，ｘ推论 ２ 设 ｆ（ ｘ 定）义 于 ［１ ，＋ ∞ ））ｘ≥ ０ 在 任 ， 有何 限 间区［ １ ，］ 上 可 积ｕ ， 且ｆ（
∫∫
ｘ→∞
＋（ ） ｘ
＋ １则ｌ ｉ ｍｘ １ｆ －ｌ＝ ， ）ｘ （ｆ
］ （当ｌ ＞ ）１ 时， （ｆ ｉ ｘｄ 收敛， ∫ ） ）ｘ当 ｌ
＜ １ ， ｆ（ 时（ ｉ ｉｄ ｘ 发散 ． ∫）ｘ＋∞
１ ＋ １
∞［
（ ） ｘ１ 由＋以可上知， 比值判 法别 ｌ在此 可以用定理时 进２步一判 ．别 ｉｍｆ （ ） ＝ １失时 ，效ｘ→＋∞ ｆ 例 １ ｘ无穷积求分
ｘ
的散敛 性．∫ ｅｘｄ
ｘ α
１
＋∞－
） α －
（ ） （ ）（ ｘ１＋ｘ ＋１ｅ ｘ＋ １ １ 解 故ｌ 由推 论１ 知 任对 意α 无穷积， ｉ分ｍ ｆ （ ） ｌ＝ｉ ｍ ＝＜ １ ｘ，α － ｘ→∞＋ →ｘ＋ ｅ ｘｅ ｆ∞ｘ
ｘ 收
敛 ． ∫ｘ ｅｄ
ｘ α－１
＋∞
例 ２ 考察 Ｉ ＝
（
∞ －＜ｐ， ｑ ＜＋ ∞ ）的 散敛性． ｎｘ ｘｌ∫ｄ ｔ 解 令ｌｎ ｘ ＝ ｔ 得Ｉ ＝∫ ｅｔ
２
＋∞
ｄ
ｘ
ｐｑ
∞
＋
ｎｌ ２
（
１） ｔ ｑ－ ｐ
ｉ
ｍ ＝λ
（ｌ ）ｑ ） ＋１ ｔｅ－ｐ１ｔｔ １， ｆ （ｉｍ （ ＝ｌ （ １ ｔ １） － ＋）ｐ ｑ ＝ｐ ） （ （） ｔｔ →＋ ∞ →∞＋ｅ ｔ １＋ｅ－１ ｆｔ ＋∞
） 故
（当 ｐ＞时， １穷无分积Ｉ＝ ｉ ＜λ，
收敛 １ ｎ．ｘ ｘ∫ ｄｌ ｘ发 散 ）当 （ ｐ＜ １ ，时无穷积 Ｉ分＝ ｉｉ ． λ＞１，ｎｘ ∫ｘ ｌ ｔ， ｄ（） ｐ当＝ １ 时 ，故当ｑ ＞ １ 时收敛 ， 当 ｑ ＜１ 时发 ．散 ｉｉｉ Ｉ＝ ｔ ∫ 例１３ 判 别 ｄ 的敛ｘ性 散．∫ １＋ 槡ｘ ２
ｄｘ
ｐ
ｑ
＋∞
２
ｐ
ｑ
＋
∞
ｌｎ ２
ｑ
＋∞
１（ ） １ １ ｘｘ ＋ 解 槡ｌ 值比判别失效 ． ｉ ｍ法ｆ＋ ｍｉ＝ｌ ＝ １ ，ｘ＋∞ →ｘ＋∞ ｘ） →ｆ １＋（ｘ ＋
１槡
第 ４ 期
龙爱 ： 两种芳反 常 积分 散 性敛 的别 方判 法（ ）ｘ ＋ １＋１ｘ－ 槡 ｘ ｉ ｍ ｘ １－ｆ（ ＝ ）ｌｉ ｍｘ 槡 ｘ→ｌ∞ ＋ｘ→＋ ∞ｘｆ １＋ ｘ槡＋１
１ ４
３［
］
ｉ ｍ ＝
由推论 ｌ２
知∞
＋→ｘ∞＋
ｘ１ ＝ ＜ １ ．２ （ ） （）ｘ ＋１ １ｘ＋ ｘ槡＋１ ＋ 槡槡
ｄｘ 散发 ． ∫ ｘ１＋ 槡
１
［ 参 １ 考 文 ］献［ ］
上册［ 第三， ） 版等高教育出社版 ，１Ｍ］ ． 京 ：北２ ０ ０ ： １ ６ ２４２－ ８ ０． 东华师范大学学数 系．数分析学（ ］［］ （ ） ２： Ｊ 高．教育等究 研 ，２０ ５，０８ ３ ２５－ ２６ 徐．晶 ．一反常种分和正项级数积敛的判别法收［ ［ ］ ］（ ） ： 黄斌 ．正函数广绍积义收敛性的分个两别法 判［３ Ｊ ． 昌南水学专报 ２ ， ００ ，４２ ３ ３４２－ ３．４ 才顺郭，
Ｔ
ｗｏ Ｄｉ ｓ ｃｒ ｉ ｍ ｉ ｎ ａ ｔ ｎｉＭ ｅ ｈｔ ｏｄｓ ｔ Ｃｏｏ ｎ ｖ ｅ
ｒ ｅｎ ｅ ｃａ ｎｄ ｇ ｇ Ｄ ｉｖｅ ｒ ｅ ｎｃ ｅ ｆ ｏ ｍ Ｉｒ ｏ ｅ ｒ ｎ Ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｌ ｇ ｐ ｐ
ｇａ ｎ ＬＮＧＯ Ａ ｉ－ｆ
（ ， ｇＨ ） Ｓ ， ｈ ｏ ｃ ｏ ｏｌｆ Ｍ ａ ｔｈ ｅ ａ ｔｍｉ ｃａ ｎ ｄ Ｓｔ ａ ｔ ｓｉｔ ｉ ｃｓ Ｓ ｕ ｔｏ ｃ ｅｈｎ ｔｒ ａ ｌ ｎ Ｕ ｖ ｉｅｒ ｓ ｉｔ ｆ ｏｒ Ｎ ａｔ ｉ ｏ ｎａ ｌ ｔｉｉ ｅ ｓ ｕ ｂ ｅ ｗｉｕ ｈａ ４ ｎ３ ００ ７４ － ｙ ： ｉ ｖ ｎ ａ ｅｅ ｒ． Ａ ｂ ｓｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｔ ｗ ｏ ｄ ｉｓ ｃ ｉｒｍ ｉ ｎａｔ ｉ ｎ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄｓ ｔ ｏ ｃ ｏ ｎｖｅ ｒ ｅ ｎｃｅ ａｎｄ Ｄ ｉ ｖ ｅ ｒｅｎ ｃｅ ｏ ｉｆ ｒｍ ｏｅ ｒ ｉｎｔ ｅｒ ａ ａｌｒ ｅ ｉ ｎ ｔｈ ｉ ｓ ｇｐ ｐ ｇ ｇｇ ｐｐｇ ：； ； Ｋ ｅ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ｉｍ ｏｒ ｅｒ ｎ ｔ ｅ ｉｒａ ｃｌ ｏｎ ｖｅｒ ｅ ｃ ｎｅａ ｎ ｄ ｄ ｖｉｅ ｒｅｎ ｃ ｅ ｄ ｉ ｓ ｒｃ ｍ ｉ ｉｎａ ｔ ｉ ｎｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｐ ｐｇｇ ｇｇ ｙ