50硅钢片磁化曲线的曲线拟合DW470-
《中小型电机》1997,24(4)
DW470-50硅钢片磁化曲线的曲线拟合
湘潭电机厂(411101) 陈仁生
摘要 介绍DW470磁化曲线用最小二乘法拟合曲线,200点总的平均相对误差为0.73%。
叙词: 硅钢片 曲线 最小二乘法 电机
1.概 述
DW470-50硅钢片是属无取向冷轧硅钢片,它具有较窄的磁滞曲线,较小的矫顽力,高的饱和磁感,很高的磁导率以及较高的电阻率。DW470-50硅钢片的主要特性如下:最小磁感,B25时1.53T,B50时1.64T。最大铁损,P10/50时2.00W/kg,P15/50时4.70W/kg。最小填充系数96%。密度7.75g/cm。DW470-50硅钢片常用于中小型电机、微型电机、焊接变压器和继电器等。
计算机在电机设计中的应用越来越广泛,本文介绍对DW470-50硅钢片磁化曲线的曲线拟合,以适应计算机辅助设计的需要。我们知道在设计中不可避免地会遇到需要用一条合适的光滑曲线来拟合一组数据点[(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)]。例如,m个数据点(xi,yi)中的每一点,对应着硅钢片某一磁场强度Hi上测得的磁通密度Bi,在电磁计算编程中就会遇到需要这样的数学处理。曲线拟合的方法很多,最常用的有最小二乘法和3次参数样条曲线法。本文采用最小二乘法拟合曲线。
2.最小二乘法
对于一组数据点(xi,yi)(i=1,2,…,m),所拟合的曲线y=f(x),用什么准则来评价这条曲线位于最佳状态呢?通常用数据点的坐标值与曲线上对应点坐标值的差值 来判定, i=f(xi)-yi,称为残差,用使残差
2的平方和达到最小(即∑ i为最小),来判3
现在设方程为:
2n
y1=a0+a1x1+a2x1+…+anx1最小值为Sn,可列出下式:
m
m
i2
Sn=
i=1
∑
=
∑[y
i=1
2
i
-(a0+a1xi+
n
2
a2xi+…+anxi)]
由微分学的求极值方法可知a0,a1,a2,…an应满足下列方程组
Sn
=0(j=0,1,2,…,n)j
m
经整理所得结果,并用∑代替∑,便得i=1到下列方程组:
∑xa+∑xa+…+
∑xa+∑xa=∑y∑xa+∑xa+∑xa+…+
∑xa+∑xa=∑xy∑xa+∑xa+∑xa+…+
∑xa+∑xa=∑xy
ma0+
i1
i2
2i
in+1
n-1i2
n
n
i
i0
1
i3
2
in
n
in+1
n+1
ii
in
in+1
1
in+2
2
i2n-1
2n-1
i2n
2n
in
i
n+1个线性方程有n+1个未知数a0,a1,a2,…,an,可以用高斯消元法求解。
实际上,最小二乘法的应用仅限阶数不超过7阶多项式。因为用上述方法计算更高阶的最小二乘法的多项式所导致的舍入误差,经常会使参数值与其真值大不相同。然而硅钢片磁化曲线拟合一般可采用2～5阶已很准确。
3.磁化曲线的曲线拟合
在磁通密度B=0.4～2.49T范围内,将磁化曲线离散化,分成8段,按上述最小二乘法、高斯消元法加以处理,可得到如下结果:
定的方法就叫做最小二乘法。
拟合这类曲线时,应先假设拟合曲线的
函数类型,用最小二乘法找出曲线方程。
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50硅钢片磁化曲线的曲线拟合DW470-
H=-0.114839+2.77932B-3.62387B2+2.29031B3
(0.50T
H=1.81332-0.964515B-0.794958B+0.306367B+0.514314B+0.461133B(1.04T
3
4
52
0.000920850B+8.60877B
45
(1.62T
2
H=2824.00-1266.84B-950.734B+
208.892B3+165.169B4-16.5133B5
(1.80T
2
H=15017.3-11826.2B+879.201B-129.828B3+400.642B4
(2.01T
H=-5360.66-67.2468B+1401.22B
(2.20T
根据上述公式即可由已给定的磁通密度B(T)计算出对应的磁场强度H(A/cm)。下表为由计算的结果值与磁化曲线给定值的比较。
表
A/cm
0.050.700.6990.790.790.890.8971.051.0361.221.2191.491.4921.951.9462.82.7264.34.3578.57.9881818.217
0.060.710.7070.800.7990.910.911.061.0521.241.241.551.5291.982.0032.852.8264.64.60498.5312019.89
0.070.720.7160.810.8090.930.9221.071.0681.261.2621.581.56722.0622.92.944.84.8679.89.1272221.696
0.080.730.7250.820.820.940.9351.081.0851.281.2861.601.6082.12.12433.06655.147109.9142423.639
0.090.740.7340.830.830.950.9481.11.1031.301.3071.651.652.22.1883.23.2075.45.4451110.762525.722
B/T0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
2
2
H=24.7566-18.2853B-6.08684B-1.19863B3+1.12770B4+3.25211B5
(1.20T
2
H=89.9516+41.0968B-62.7218B-25.2198B3-38.6041B4+37.1082B5(1.42T
H=-64.3965-0.000136614B-0.000709586B2-0.000852689B3-B/T0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
0.010.650.6550.750.7430.840.8410.960.9621.121.1211.341.3311.71.6942.32.4093.43.3615.95.7611211.713
0.010.660.6640.750.7520.850.8510.970.9761.141.1391.351.3551.751.742.42.4493.63.536.26.0951312.778
0.020.670.6730.760.7610.860.8630.980.991.161.1581.41.381.81.7882.52.53.83.7146.66.4471413.957
0.030.680.6810.770.7710.870.87411.0051.181.1781.421.4061.851.8392.62.56343.91377.1811512.254
0.040.690.690.780.780.880.8861.021.021.21.1981.441.4321.91.8912.72.6384.14.1277.87.5391616.672
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续表
B/T1.6
0.012827.95
0.013030.327
0.023231.646
0.033434.647
0.043837.723
0.054040.874
0.064444.103
0.074747.411
0.085050.799
0.095454.269
B/T1.6
1.7
5857.822
6061.459
6465.182
7068.993
7372.894
7676.884
8090.968
8485.145
9089.417
9593.787
1.7
1.8
10098.225
106106.93
112110.94
118115.44
124120.44
130125.95
136131.97
142138.50
148145.56
154153.14
1.8
1.9
160161.26
166169.91
172179.10
180188.85
190199.14
205209.99
220221.41
235233.39
250245.94
265259.08
1.9
2.0
280272.80
300287.11
325316.34
350350.79
375387.24
400425.71
450466.21
500508.77
550553.40
600600.12
2.0
2.1
650648.96
700699.93
750753.06
800808.35
865865.84
930925.54
995987.47
10601051.64
11251118.09
11901186.83
2.1
2.2
12551273.30
13201334.42
13851395.83
14501457.51
15151519.47
15801581.71
16451644.23
17101707.04
17751770.12
18401833.48
2.2
2.3
19051897.13
19701961.0
20352025.25
21002089.74
21652154.50
22302219.55
22952248.87
23602350.48
24252416.36
24902482.53
2.3
2.4
25552548.98
26202615.70
26852682.71
27502749.99
28752817.56
28802885.41
29452953.54
30103021.94
30703090.63
31403159.60
2.4
表中上行数据为磁化曲线表中给出值(设为Hi′),下行数据为计算结果(设为
Hi),若计算出每一点的相对偏差
i=
Hi′-Hi
×100%
Hi′ i=0.73%K∑i=1
K
较大测量误差的点,在这些点处,所计算的相对误差 i也将是大的,但是此种数学处理方法在这些点可起到“纠偏”作用。因而,这些点尽管有计算的误差,而数学处理后的结果却
比给定值更为合理。
4.结束语
作者在编程计算过程中曾将曲线分成5、6、7、8段,每段又从3～6阶进行对比,最后选择8段和每段现在的阶数,总的平均相对误差为最小。磁化曲线表中0.5～1.8T的给定值是武钢硅钢片厂的标准值,大于1.8T的是某工厂的测试和计算值。
收稿日期:1996-10-29
由此可求出总的平均相对偏差
=
式中 K——计算点数 K=200
由表中可见,各个点的偏差都是足够小的,且总的平均相对偏差为0.73%,其准确程度足够满足实际使用要求。