椅子能在不平的地面上放稳吗”是空间而非平面问题
强载杰
“椅子能在不平的地面上放稳吗”是“数学模型（姜启源编）”的第一个示例。此例的原型来源于日常生活中一件普通的事实：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。不难看出，有二个对象：一是椅子；二是不平的地面（此后，我们把不平的地面简称为地面）。而其中的关键：地面是不平的。显然，“椅子往不平的地面上放”不是一个数学上的平面问题。纵览全节，除在模型假设2把地面“视为数学上的连续曲面”外，通篇看作平面问题；用一元函数来处理的。
那么，这样能合理的构成模型，严密地求得正确的解吗？
先从模型假设开始，本示例作了三个假设。
假设1是对第一个对象——椅子所作的。它将椅脚与地面接触处视为一个点，四脚的连线呈正方形（关于这一点，后面再讨论）。于是，椅子的四只脚在一个平面上（其实，三只脚就
可以确定一个平面了，第四只脚必在此平面上），不妨称其为椅脚平面。
假设2是对第二个对象——地面的数学描述。地面可视为数学上的连续曲面，并且没有台阶。不妨假想有一个平面（比如水平面），我们称其为地平面，地面只是在此地平面上下起伏。 假设3是对地面的不平坦程度作进一步假设，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。在这里值得注意的有二点：其一，“椅子在任何位置”应是指椅子放置在地面上后所处的位置，并非指空间的任何位置；其二，任意二个位置至少有三只脚同时着地时，这二个椅脚平面不
能确保在同一平面上，也不能确保在地平面上。
接着来看椅子位置的改变。文中是以椅脚连线构成的正方形绕此正方形的中心点旋转代表椅子位置的改变。注意，这里是在这个正方形所在的平面（椅脚平面）中的旋转。我们不妨假设初始位置时，椅子是放置在地面上的，由假设3此时至少有三只脚同时着地，我们称由这三只脚构成的平面为初始椅脚平面。椅子绕此椅脚连线构成的正方形的中心点旋转一个角度之后，代表椅脚的正方形的四个点仍在此初始椅脚平面上，但这并不表明已确实把椅子放置在地面上了。也就是说，此时椅子的位置不一定是放置在地面上的位置。这时由对假设3的说明，从而不能确保在旋转一个角度之后，至少有三只椅脚同时着地。举一个极端的例子：起始位置至少有三只椅脚正好在曲面的峰顶，旋转一个角度之后，就不可能至少有三只椅脚能着地（甚至没有一只脚着地）。由此，模型求解中的f （θ0）•g （θ0）＝0就不能成立了。 再进一步，假设椅子的位置改变仍使椅子放置在地面上，也就是说，至少有三只椅脚着地。那么，这时椅子位置的改变，不仅有在初始椅脚平面中绕代表椅脚的正方形的中心点的旋转，
还有在垂直于地平面方向绕中心点的旋转及中心点位置的上下移动。这样，这个问题就是一
个空间问题，要使用三元函数来处理。
最后我们来讨论假设1，这个假设是有疑问的。“椅脚与地面接触处可视为一个点”是合理的，但接着“四脚的连线呈正方形”就有问题了。因为四只椅脚的每一只都是一个小平面，它们的着地点不一定构成正方形。显然，要构成正方形，必须四只椅脚在椅脚小平面的相同位置着地，对不平的地面而言，一般是不成立的。那么，是否可能椅脚的小平面整个与地面接触呢？这同样是不可能的。按照假设3在任何位置至少有三只脚同时着地，这时地面在这三个位置是平的，旋转一个小的角度，使椅脚不离开平的地面部份，仍应至少有三只脚整个同时着地，这样使地面平的面积扩大了。继续旋转并作移动，整个地面都应是平的了。因而，为了保证“四脚的连线呈正方形”，应假设为把椅脚视为一个点，而不是把椅脚与地面的接触处视为一个点。这和示例1中的假设1是不同的。本示例尽管在假设1中把椅脚与地面接触处视为一个点，实际上，在以后的模型构成中始终是把椅脚视为一个点的。否则怎么能保证椅子在初始位置和在旋转一个角度后，四只脚总是在它们的小平面的相同位置着地呢？ 来源于日常生活中的一件普通的事实中的椅子脚是一个小平面，只要这个小平面中的任一点与地面接触，这只脚就着地了。相对来说，比较容易使椅子在不平的地面上放稳。而如果椅子脚很尖细（可视为一个点），地面和椅脚又很坚硬不会变形，试试挪动椅子，恐怕很难使
四只脚同时着地，放稳了。
2005年11月24日
附：1.2 建模示例之一 椅子能在不平的地面上放稳吗
本节和下面两节将给出三个建立数学模型的例子，说明从现实对象到数学模型的过程，重点是如何作出合理的、简化的假设，用数学语言确切地表述实际问题，以及模型的结果怎样解
释实际现象。
本节讨论的问题来源于日常生活中一件普通的事实：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。这个看来与数学无关的现象能用数学语言给以表述，并用数学工具来证实吗？让我们试试看。
模型假设 对椅子和地面应该作一些必要的假设：
⒈ 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形。 ⒉ 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地
面可视为数学上的连续曲面。
⒊ 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只
脚同时着地。
假设1显然是合理的。假设2相当于给出了椅子能放稳的条件，因为如果地面高度不连续，譬如在有台阶的地方是无法使四只脚同时着地的。至于假设3是要排除这样的情况：地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），
致使三只脚无法同时着地。
模型构成 中心问题是用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件和结论表示出来。 首先要用变量表示椅子的位置。注意到椅脚连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。在图1－2（图略）中椅角连线为正方形ABCD ，对角线AC 与x 轴重合，椅子绕中心点O 旋转角度θ后，正方形ABCD 转至A′B′C′D′的位置，所以对角线AC 与x 轴的夹角θ表示了椅子
的位置。
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了。椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，所以这个距
离是椅子位置变量θ的函数。
虽然椅子有四只脚，因而有四个距离，但是由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了。记A 、C 两脚与地面距离之和为f （θ），B 、D 两脚与地面距离之和为g （θ），f(θ),g(θ)≥0。由假设2，f 和g 都是连续函数。由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的θ，f （θ）和g （θ）中至少有一个为零。当θ＝0时不妨设g （θ）＝0，f （θ）＞0。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下的
数学命题：
已知f （θ）和g （θ）是θ的连续函数，对任意θ，f （θ）•g(θ) ＝0，且g （0）＝0，
f(0)＞0。则存在θ0，使f （θ0）＝g （θ0）＝0。
可以看到，引入了变量θ和函数f （θ）、g （θ），就把模型的假设条件和椅脚同时着地
的结论用简单、精确的数学语言表述出来，从而构成了这个实际问题的数学模型。
模型求解 上述命题有多种证明方法，这里介绍其中的一种。
将椅子旋转90º（π／2），对角线AC 与BD 互换。由g （0）＝0和f （0）＞0可知g （π／
2）＞0和f （π／2）＝0。
令h （θ）＝f(θ) －g （θ），则h （0）＞0和h （π／2）＜0。由f 和g 的连续性知h 也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在θ0（0＜θ0＜π／2）使h （θ0）＝0，即
f （θ0）＝g （θ0）。
最后，因为f （θ0）•g（θ0）＝0，所以f （θ0）＝g （θ0）＝0。
由于这个实际问题非常直观和简单，模型解释和验证就略去了。
评注 这个模型的巧妙之处在于用一元变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转90º并不是本质的。读者可以考虑四脚
呈长方形的情形（习题3）。