聚焦有理数中的数学思想
六神中学 翟升华
《初中数学课程标准》（2011年版）中指出“教师要发挥主导作用，„„使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。”
数学思想是数学知识、数学技能、数学方法的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能、方法的灵魂.
有理数是整个代数的基础，有理数的运算是初等数学最基本的运算. 可以说有理数一章是整个初等数学的奠基石，它所蕴含的丰富内容，深刻地反映了中学阶段许多重要基本数学思想方法. 笔者认为，从七年级数学教学开始，就要适时地对学生进行数学思想方法的渗透，同学们在学习有理数时，除了学习数学的基础知识和基本技能外，还应重视数学思想方法的认识和运用. 这对今后的数学学习和人生道路都有很大的益处. 现将有理数内容里的几个重要数学思想方法分别予以解说，供读者参考.
一、转化思想
所谓“转化思想”，就是将所要解决的复杂问题通过某种方式转化为另一个较容易解决的问题或已经解决的问题。具体地说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”的一种方法.
如在有理数加法的基础上，利用相反数的概念将减法运算转化为加法运算——减去一个数等于加上这个数的相反数，从而使加、减法得到统一；又如在有理数乘法的基础上，利用倒数概念将除法运算转化乘法运算——除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，从而使乘除法得到统一，体现了数学的美妙和谐。
2例1 计算：（1）-10－（-8）；（2）（-5）×2×（-3）÷（-）. 3
解：（1）-10－（-8）（两个负数的减法，属于新知识）
=-10+（+8）（利用有理数的减法法则，把减法转化为加法）
=-2.
23 （2）（-5）×2×（-3）÷（-）=-（5×2×3×）（先确定符号再计算绝32
对值，同时将除法运算转化为乘法运算，而符号确定以后，绝对值的计算就是小学已经学过的问题。）
=-45.
二、分类讨论思想
当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，这种处理问题的思维方法称为分类讨论思想.
本章在研究相反数、绝对值、有理数乘方运算的符号法则时，都是按有理数分成正数、负数、零三类分别进行研究的。分类讨论必须遵循两条规则：（1）每一次分类要按照同一标准进行；（2）不重复，不遗漏.
例2 已知：|a|=2012,|b|=1,求a+b 的值.
解：由绝对值定义，得a=±2012，b=±1. 分类组合，得
（1）当a=2012，b=1时，a+b=2012+1=2013；
（2）当a=2012，b=-1时，a+b=2102－1=2011；
（3）当a=-2012，b=1时，a+b=-2012+1=-2011；
（4）当a=-2012，b=-1时，a+b=-2012－1=-2013.
故a+b的值为±2013, ±2011.
三、数形结合思想
数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来，分析、研究、解决问题的一种思想方法. 利用数形结合思想解题，可使要解决的问题化难为易、化繁为简.
用数轴上的点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现。用数轴上的点表示有理数，对于理解有理数的绝对值、相反数等概念以及有理数的大小比较等，更具有鲜明性、直观性.
例3 已知a ＜b ＜0，试比较a ，-a ，b ，-b 的大小.
对于用字母表示的有理数进行大小比较，借助数轴就直观多了.
解：因为a 与-a ，b 与-b 互为相反数，
又a ＜b ＜0，所以四个数在数轴上表示如图-a -b 0 b 所示： 根据在数轴上，右边的数总大于左边的
数，可得它们的大小关系为：a ＜b ＜-b ＜-a .
四、集合思想
集合，某些指定的对象汇集在一起就成为一个集合. 例如：某个班的全体学生，可以看成一个集合；某一个商场所有的商品，可以当成一个集合；十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9也构成一个集合. 集合思想是最基本的数学思想，它已经渗透到数学的一切领域. 如：代数学可以看成是研究数的集合的学问；几何学可以看成是研究点的集合的学问. 用集合思想来处理数学问题表现得更直观、更具体、更简洁、更深刻. 集合思想渗透到“有理数”中具体体现在：正数集合、负数集合、整数集合、分数集合、正整数集合、正分数集合、负整数集合、负分数集合等等.
例4 把下面的有理数填在相应的大括号里：
52216，-，0,21.12,3.14，-50，-6.8，，+38，-100,2 012，-0.001. 97
正数集合：{ „} 负数集合：{ „} 整数集合：{ „} 分数集合：{ „}
22解：由有理数的分类可知：正数集合是：{16,21.12,3.14，+38，2 012，„} 7
5负数集合是：{-，-50，-6.8，-100，-0.001，„} 整数集合是：{16,0，-50，9
+38，-100,
5222 012，„} 分数集合是：{-，21.12,3.14，-6.8，，-0.001，„} 97
五、整体思想
整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系的量作为整体来处理的思想方法. 这样做，不仅可以摆脱固定模式的束缚，使复杂的问题变得简单，陌生的问题变
得熟悉，还往往可以解决按常规方法解决不了的一些问题.
例5 计算：1－2－3+4+5－6－7+8+„+2009－2010－2011+2012.
分析：若逐一计算就很麻烦，只有找规律，才好解. 经过观察，发现数值的绝对值是连续整数，符号四个一组循环，而2012能被4整除. 于是把这4个一组的数作为一个整体，问题就迎刃而解了.
解：原式＝（1－2－3+4）+（5－6－7+8）+„+（2009－2010－2011+2012）＝0.
111⎫⎛1111⎫⎛例6 计算： 1++++++⎪ ⎪－ ⎝[1**********]1⎭⎝[**************]2⎭
1111⎫⎛111⎫⎛+++++ 1+⎪ ⎪. [***********]0920102011⎝⎭⎝⎭
析解：此题乍看貌似繁难题，但静心分析观察，不难发现算式具有一定的特征，可活用乘法分配律和整体思想就能轻松解决.
111⎫111⎫⎛111⎫⎛⎛原式= 1+++++++⎪×⎪ ⎪+ 1+[***********][***********]⎭⎝⎭⎝⎭⎝
1－2012
×11⎫111⎫⎛111⎫⎛1⎛++++++⎪ 1+⎪ ⎪－ ⎝[1**********]1⎭⎝[1**********]1⎭⎝[1**********]1⎭1（活用分配律） 2012
11⎫111⎫11⎛1⎛++= 1+ － （整体相消） ++⎪×⎪×[***********]102011⎝⎭2012⎝⎭2012
=11⎫111⎫11⎛1⎛1+ －（活用分配++⨯++⨯⎪ ⎪2012⎝[1**********]1⎭2012⎝[1**********]1⎭2012
律） 1=（整体相消）. 2012
本题还可以用设字母换元后，再用分配律解. 请读者你不妨试一试！
点评：整体思想注重问题的整体结构，将题中的某些元素或组合看成一个整体，从而可以化繁为简，优化解题的过程.
六、方程思想
方程思想是指对所求数学知识通过列方程(组) ，使问题获得解决. 具体地说是根据问题中已知量与未知量之间的数量关系，运用数字的符号语言使问题转化为方程(组) ，方程思想在中学数学中应用极为广泛.
例7 已知：|x－2|=2010,求x 的值.
解：根据绝对值的定义去掉绝对值的符号，因为绝对值等于2010的数有2010和-2010两个，所以x-2=2010或者x －2=-2010，故得x=2012或x=-2008.
其实，有理数中还有许多数学思想，如逆向思维思想、配对思想、从特殊到一般思想等，本文就不再赘述了. 数学思想方法的渗透教学是将数学知识转化为
数学能力的教学，是培养学生学习兴趣，提高初中数学教学质量、教学成绩可持续发展的有效途径之一. 因此，教师在平时的数学教学中，一定要重视数学思想方法的熏陶和渗透，有利于升华学生的数学素养、培养学生的创新能力和探求精神.