(2)指数函数f (x ) =a x , f (x +y ) =f (x ) f (y ), f (1)=a ≠0.
2013 年 安 徽 高 考 数 学 常 用 公 式 及 结 论
1. 容斥原理：card (A B ) =cardA +cardB -card (A B )
(3)对数函数f (x ) =log a x , f (xy ) =f (x ) +f (y ), f (a ) =1(a >0, a ≠1) .
(4)幂函数f (x ) =x α, f (xy ) =f (x ) f (y ), f ' (1)=α.
(5)余弦函数f (x ) =cos x , 正弦函数g (x ) =sin x ，f (x -y ) =f (x ) f (y ) +g (x ) g (y ) ，f(0)=1. 10. 几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）f (x ) =f (x +a ) ，则f (x ) 的周期T=a； （2）f (x +a ) =-f (x ) ，或f (x +a ) =
则f (x ) 的周期T=2a；
11. ①等差数列{a n }的通项公式:a n =a 1+(n -1)d , 或a n =a m +(n -m ) d ⇔d =②前n 项和公式: s n =
card (A B C ) =cardA +cardB +cardC -card (A B )
-card (A B ) -card (B C ) -card (C A ) +card (A B C ) .
2. 从集合A ={a 1, a 2, a 3, ⋅⋅⋅, a n }到集合B ={b 1, b 2, b 3, ⋅⋅⋅, b m }的映射有m n 个. 3. 函数的的单调性：
(1)设x 1, x 2[a , b ], x 1≠x 2那么
11
(f (x ) ≠0) ，或f (x +a ) =-(f (x ) ≠0) , f (x ) f (x )
f (x 1) -f (x 2)
(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]>0⇔>0⇔f (x ) 在[a , b ]上是增函数；
x 1-x 2
f (x 1) -f (x 2)
(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]
x 1-x 2
(2)设函数y =f (x ) 在某个区间内可导，如果f '(x ) >0，则f (x ) 为增函数；如果f '(x )
4. 函数y =f (x ) 的图象的对称性:
①y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称⇔f (a +x ) =f (a -x ) ⇔f (2a -x ) =f (x ) ；
a +b
②y =f (x ) 的图象关于直线x =对称⇔f (a +x ) =f (b -x ) ⇔f (a +b -x ) =f (x ) ；
2
③y =f (x ) 的图象关于点(a ,0) 对称⇔f (x )=-f (2a -x )⇔f (a +x )+f (a -x )=0， y =f (x ) 的图象关于点(a , b ) 对称⇔f (x )=2b -f (2a -x )⇔f (a +x )+f (a -x )=2b .
5. 两个函数的图象的对称性:
①函数y =f (x ) 与函数y =f (-x ) 的图象关于直线x =0(即y 轴) 对称； ②函数y =f (x -a ) 与函数y =f (a -x ) 的图象关于直线x =a 对称； ③函数y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称的解析式为y =f (2a -x ) ； ④函数y =f (x ) 的图象关于点(a ,0) 对称的解析式为y =-f (2a -x ) ； ⑤函数y =f (x ) 和函数y =f
-1
a n -a m
.
n -m
n (a 1+a n ) n (n -1) d 1
=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n . 2222
12. 设数列{a n }是等差数列，S 奇是奇数项的和，S 偶是偶数项的和，S n 是前n 项的和，则
①前n 项的和S n =S 奇+S 偶； ②当n 为偶数时，S 偶-S 奇=③当n 为奇数时，则S 奇
n
d ，其中d 为公差； 2
S 奇n +1n +1n -1
=， -S 偶=a 中，S 奇=a 中，S 偶=a 中，
S 偶n -122
S +S 偶S n
=奇=n （其中a 中是等差数列的中间一项）
S 奇-S 偶S 奇-S 偶
13. 若等差数列{a n }和{b n }的前2n -1项的和分别为S 2n -1和 T 2n -1，则
a n S 2n -1
=. b n T 2n -1
2
14. 数列{a n }S n 是其前n 项的和，k ∈N *，那么（S 2k -S k ）=S k ·S 3k -S 2k . 15. 分期付款(按揭贷款) ：
(x ) 的图象关于直线y =x 对称.
6．奇偶函数的图象特征：
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称; 反过来，如果一个函数的图象关于原 点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7．多项式函数P (x ) =a n x n +a n -1x n -1+ +a 0的奇偶性：
多项式函数P (x ) 是奇函数⇔P (x ) 的偶次项(即奇数项) 的系数全为零. 多项式函数P (x ) 是偶函数⇔P (x ) 的奇次项(即偶数项) 的系数全为零.
8. 若将函数y =f (x ) 的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数y =f (x -a ) +b 的图象； 若将曲线f (x , y ) =0的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线f (x -a , y -b ) =0的图象. 9. 几个常见的函数方程：
(1)正比例函数f (x ) =cx , f (x +y ) =f (x ) +f (y ), f (1)=c .
ab (1+b ) n
每次还款x =元(贷款a 元, n 次还清, 每期利率为b ). n
(1+b ) -111111⎛11⎫
=-16. 裂项法：①； ②=⋅ -⎪；
n n +1n n +12n -12n +12⎝2n -12n +1⎭11n 11
=a - ；④=-③.
n +1 ! n ! n +1 ! a +a -b
)
17．常见三角不等式: （1）若x ∈(0,
π
2
) ，则sin x
(2) 若x ∈(0,
π
2
(3) |sin x |+|cos x |≥1.
) ，则1
18. 正弦、余弦的诱导公式： （1）点P (x , y ) 按向量a =(h , k ) 平移后得到点P ' (x +h , y +k ) .
n n
⎧⎧
n πn π⎪(-1) 2sin α, n 为偶数⎪(-1) 2co s α, n 为偶数sin(+α) =⎨+α) =⎨；co s(. n -1n +1
22⎪(-1) 2co s α, n 为奇数⎪(-1) 2sin α, n 为奇数
⎩⎩
(2) 函数y =f (x ) 的图象C 按向量a =(h , k ) 平移后得到图象C ' , 则C ' 的函数解析式
为y =f (x -h ) +k . (3) 图象C ' 按向量a =(h , k ) 平移后得到图象C , 若C 的解析式y =f (x ) , 则C ' 的函数解析式
为y =f (x +h ) -k . (4) 曲线C :f (x , y ) =0按向量a =(h , k ) 平移后得到图象C ' , 则C ' 的方程为f (x -h , y -k ) =0. (5) 向量m =(x , y ) 按向量a =(h , k ) 平移后得到的向量仍然为m =(x , y ) . 28. 三角形四“心”向量形式的充要条件：
设O 为∆ABC 所在平面上一点，角A , B , C 所对边长分别为a , b , c ，则：
⎪=-sin α, cos (π-α)=-cos α. 2⎭1-tan 2α2tan α2tan α
tan 2α=cos 2α=19. 万能公式:sin 2α=；；（正切倍角公式）. 222
1+tan α1-tan α1+tan ααsin α1-cos α
=20. 半角公式:tan =.
21+cos αsin α
即:“奇变偶不变, 符号看象限”. 如cos α+21. 三角函数变换:
①相位变换:y =sin x 的图象−−−−−−−−→y =sin (x +φ)的图象； ②周期变换:y =sin x 的图象−−−−−−−−−−−ω−−→y =sin ωx 的图象； ③振幅变换:y =sin x 的图象−−−−−−−−−−−−→y =A sin x 的图象. 22. 在△ABC 中，有
纵坐标伸长(A >1)或缩短(0
横坐标伸长(01)到原来的倍
⎛⎝
π⎫
向左(φ>0)或向右(φ
2 2 2
（1）O 为∆ABC 的外心⇔OA =OB =OC .
O ∆ABC （2）为的重心⇔OA +OB +OC =0.
（3）O 为∆ABC 的垂心⇔OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA .
O ∆ABC （4）为的内心⇔aOA +bOB +cOC =0.
2
2
29. 常用不等式：
a 2+b 2
(1)a , b ∈R ⇒a +b ≥2ab ⇔ab ≤(当且仅当a ＝b 时取“=”号) ．
2a +b ⎛a
+b ⎫
≥⇔ab ≤ (2)a , b ∈R +⇒⎪(当且仅当a ＝b 时取“=”号
) ． 2⎝2⎭
333
(3) a +b +c ≥3abc ⇔a +b +c ≥3abc (当且仅当a =b =c 时取“=”号) ． (4) 绝对值不等式：||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b | (注意等号成立的条件).
C πA +B
①A +B +C =π⇔C =π-(A +B ) ⇔=-⇔2C =2π-2(A +B ) ；
222
②a >b ⇔sin A >sin B （注意是在∆ABC 中）.
λ是实数， 23. 线段的定比分点公式：设P 12的分点, 1(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) ，P (x , y ) 是线段PP
x = ⎪⎪1+λ且PP ，则=λPP ⎨12
⎧
2
OP +λOP
12
⇔OP =⇔OP =tOP 1+(1-t ) OP 2 y +λy 1+λ2⎪y =1
⎪1+λ⎩
x 1+λx 2
1
）. 1+λ
24. 若OA =xOB +yOB ，则A 、B 、C 共线的充要条件是x +y =1.
（其中t =
25. 三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为A(x1,y 1) 、B(x2,y 2) 、C(x3,y 3) ,
a +b ≤≤≤a >0, b >0) . (5)
112+a b
（6）柯西不等式：(a 2+b 2)(c 2+d 2) ≥(ac +bd ) 2, a , b , c , d ∈R .
1
30. 最大值最小值定理:如果f (x )是闭区间[a , b ]上的连续函数, 那么f (x )在闭区间[a , b ]上有最大值 和最小值.
31. f (x ) 在x 0处的导数（或变化率或微商）f '(x 0) =y '32. 瞬时速度υ=s '(t ) =lim
x =x 0
x +x 2+x 3y 1+y 2+y 3
, ) . 则其重心的坐标是G (1
33' ' ' ⎧⎧⎪x =x +h ⎪x =x -h '
⇔⎨26. ①点的平移公式 ⎨' ⇔OP =OP +PP (图形F 上的任意一点 '
⎪y =y +k ⎪y =y -k ⎩⎩
' ' ' ' '
P(x，y) 在平移后的图形F 上的对应点为P (x , y ) ，且PP 的坐标为(h , k ) ) ；
②函数y =f (x )按向量=(h , k )平移后的解析式为y -k =f (x -h ). 27. “按向量平移”的几个结论
=lim
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y
=lim .
∆x →0∆x ∆x →0∆x
∆s s (t +∆t ) -s (t )
=lim .
∆t →0∆t ∆t →0∆t
∆v v (t +∆t ) -v (t ) =lim 33. 瞬时加速度a =v '(t ) =lim .
∆t →0∆t ∆t →0∆t
dy df ∆y f (x +∆x ) -f (x ) ==lim =lim 34. f (x ) 在(a , b ) 的导数f '(x ) =y '=. dx dx ∆x →0∆x ∆x →0∆x
35. 函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义：函数y =f (x ) 在点x 0处的导数是曲线y =f (x )
z 在P (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率f '(x 0) ，相应的切线方程是y -y 0=f '(x 0)(x -x 0)
OZ 1⊥OZ 2⇔z 1⋅z 2的实部为零⇔2为纯虚数⇔|z 1+z 2|2=|z 1|2+|z 2|2
z 136. 导数与函数的单调性的关系：
（1）f '(x ) >0与f (x ) 为增函数的关系：f '(x ) >0能推出f (x ) 为增函数，但反之不一定. 如函数
⇔|z 1-z 2|2=|z 1|2+|z 2|2⇔|z 1+z 2|=|z 1-z 2|⇔ac +bd =0⇔z 1=λiz 2
(λ为非零实数).
46. 对虚数单位i , 有i 4n +1=i , i 4n +2=-1, i 4n +3=-i , i 4n =1.
47. 共轭复数:当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时, 这两个复数互为共轭复数. 如a +bi 与a -bi (a , b ∈R )互为共轭复数.
48. ω=1⇔(ω-1)ω+ω+1=0⇔ω=1或ω=-
3
2
f (x ) =x 3在(-∞, +∞) 单调递增，但f '(x ) ≥0，故f '(x ) >0是f (x ) 为增函数的充分不必要条件.
（2）f '(x ) ≥0与f (x ) 为增函数的关系：f (x ) 为增函数，一定可以推出f '(x ) ≥0，但反之不一定，因为f '(x ) ≥0，即为f '(x ) >0或f '(x ) =0. 当函数在某个区间内恒有f '(x ) =0，则f (x ) 为常数，函数不具有单调性. ∴f '(x ) ≥0是f (x ) 为增函数的必要不充分条件.
n
37. 常见函数的导数:①C '=0（C 为常数）；②x
()
13
±i . 22
()
'
=nx
n -1
(n ∈Q )；③(sin x )
'
=cos x ；
49. Ax +By +C >0或
设直线l :Ax +By +C =0，则Ax +By +C >0或
若B ≠0，当B 与Ax +By +C 同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax +By +C 异号时，表示直线l 的下方的区域. 简言之, 同号在上, 异号在下.
若B =0，当A 与Ax +By +C 同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax +By +C 异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之, 同号在右, 异号在左. 50. 圆的方程的四种形式：
（1）圆的标准方程:(x -a ) +(y -b ) =r .
22
（2）圆的一般方程:x +y +Dx +Ey +F =0(D +E -4F ＞0).
2
2
④(cos x )=-sin x ；⑤(ln x )=38. 可导函数四则运算的求导法则:
''
'1'1x '=e x ，a x =a x ln a . ，(log a x )=log a e ；⑥e
x x
()()
'
u 'v -u v '⎛u ⎫
(v ≠0). ①(u ±v )=u '±v '；②(uv )=u 'v +u v '，(Cu )=C u '；③ ⎪=2
v ⎝v ⎭
'
''
222
39. 复合函数的求导法则： 设函数u =ϕ(x ) 在点x 处有导数u x ' =ϕ' (x ) ，函数y =f (u ) 在点x 处的对
' ' '
应点U 处有导数y u ' =f ' (u ) ，则复合函数y =f (ϕ(x )) 在点x 处有导数，且y x
，或写作=y u ⋅u x
f (ϕ(x )) =f (u ) ϕ(x ) .
40. 复数的相等：a +bi =c +di ⇔a =c , b =d . （a , b , c , d ∈R ）
41. 复数z =a +bi 的模（或绝对值）：|z |=|a +bi |42. 复数的四则运算法则：
(1)(a +bi ) +(c +di ) =(a +c ) +(b +d ) i ; (2)(a +bi ) -(c +di ) =(a -c ) +(b -d ) i ; (3)(a +bi )(c +di ) =(ac -bd ) +(bc +ad ) i ;
' x
' '
（3）圆的参数方程:⎨
⎧x =a +r cos θ
.
y =b +r sin θ⎩
（4）圆的直径式方程:(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0
(圆的直径的端点是A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) ). 51. 圆中有关重要结论:
(1)若P(x 0, y 0) 是圆x 2+y 2=r 2上的点, 则过点P(x 0, y 0) 的切线方程为xx 0+yy 0=r 2. (2)若P(x 0, y 0) 是圆(x -a ) +(y -b ) =r 上的点, 则过点P(x 0, y 0) 的切线方程为
2
2
2
ac +bd bc -ad
+i (c +di ≠0) . (4)(a +bi ) ÷(c +di ) =2
c +d 2c 2+d 2
43. 复数的乘法的运算律：对于任何z 1
, z 2, z 3∈C ，有：交换律:z 1⋅z 2=z 2⋅z 1.
结合律:(z 1⋅z 2) ⋅z 3=z 1⋅(z 2⋅z 3) . 分配律:z 1⋅(z 2+z 3) =z 1⋅z 2+z 1⋅z 3 . 44. 复平面上的两点间的距离公式 ：
(x 0-a )(x -a ) +(y 0-b )(y -b ) =r 2.
(3)若P(x 0, y 0) 是圆x +y =r 外一点, 由P(x 0, y 0) 向圆引两条切线, 切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为xx 0+yy 0=r 2.
(4)若P(x 0, y 0) 是圆(x -a ) +(y -b ) =r 外一点, 由P(x 0, y 0) 向圆引两条切线, 切点分别为 A 、B ，则直线AB 的方程为(x 0-a )(x -a ) +(y 0-b )(y -b ) =r 2. 52. 圆的切线方程：
(1)已知圆x +y +Dx +Ey +F =0．
2
2
2
2
2
2
2
2
d =|z 1-z 2|=（z 1=x 1+y 1i ，z 2=x 2+y 2i ）.
45. 向量的垂直：
非零复数z 1=a +bi ，z 2=c +di 对应的向量分别是OZ 1，OZ 2，则
x 0x y 0y ①若已知切点(x 0, y 0) 在圆上，则切线只有一条，其方程是
-2=1. 2
D (x 0+x ) E (y 0+y )
++F =0. 22
D (x 0+x ) E (y 0+y )
++F =0表示过两个切点的切点弦方当(x 0, y 0) 圆外时, x 0x +y 0y +
22
x 0x +y 0y +
a b
程．
②过圆外一点的切线方程可设为y -y 0=k (x -x 0) ，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．
③斜率为k 的切线方程可设为y =kx +b ，再利用相切条件求b ，必有两条切线．
2
(2)已知圆x 2+y 2=r 2，过圆上的P 0(x 0, y 0) 点的切线方程为x 0x +y 0y =r .
⎧x =a cos θx 2y 2
53. 椭圆2+2=1(a >b >0) 的参数方程是⎨.
a b ⎩y =b sin θ
x 2y 2a 2
54.(1)椭圆2+2=1(a >b >0) 的准线方程为x =±, 焦半径公式PF =a ±ex p ；
a b c x 2y 2a 2
(2)椭圆2+2=1(a >b >0) 的准线方程为y =±, 焦半径公式PF =a ±ey p .
b a c
55. 椭圆的切线方程 ：
x 2y 2
（3）双曲线2-2=1(a >0, b >0) 与直线Ax +By +C =0相切的条件是A 2a 2-B 2b 2=c 2.
a b x 2y 2
59.(1)P是椭圆2+2=1(a >b >0) 上一点,F 1、F 2是它的两个焦点, ∠F 1P F2=θ，则
a b
θ2
△P F1 F2的面积=b tan .
2
x 2y 2
(2)P是双曲线2-2=1(a >0, b >0) 上一点,F 1、F 2是它的两个焦点, ∠F 1P F2=θ，则
a b
θ2
△P F1 F2的面积=b cot .
2
x x y y x 2y 2
(1)椭圆2+2=1(a >b >0) 上一点P (x 0, y 0) 处的切线方程是02+02=1.
a b a b
x x y y x 2y 2
（2）过椭圆2+2=1(a >b >0) 外一点P (x 0, y 0) 所引两条切线的切点弦方程是02+02=1.
a b a b
x 2y 222222
（3）椭圆2+2=1(a >b >0) 与直线Ax +By +C =0相切的条件是A a +B b =c .
a b x 2y 2a 2
56.(1)双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的准线方程为x =±, 焦半径公式PF =-a ex p ；
a b c x 2y 2a 2
(2)双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的准线方程为y =±，焦半径公式PF =-a ey p .
b a c x 2y 2b
57.(1)双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的渐近线方程为y =±x ；
a a b
x 2y 2a
(2)双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的渐近线方程为y =±x .
b b a
58. 双曲线的切线方程：
y
60. 抛物线y =2px 上的动点P (x 0, y 0)可设为P (0, y 0) 或P (2pt 2, 2pt ) .
2p
p
61.(1)P(x 0, y 0) 是抛物线y 2=2px 上的一点, F 是它的焦点, 则PF =x 0+；
2
2p
(2)抛物线y 2=2px 的焦点弦长l =, 其中θ是焦点弦与x 轴的夹角；
sin 2θ
2
(3) 抛物线y =2px 的通径长为2p .
2
2
62. 抛物线的切线方程：
(1) 抛物线y =2px 上一点P (x 0, y 0) 处的切线方程是y 0y =p (x +x 0) .
（2）过抛物线y =2px 外一点P (x 0, y 0) 所引两条切线的切点弦方程是y 0y =p (x +x 0) . （3）抛物线y =2px (p >0) 与直线Ax +By +C =0相切的条件是pB =2AC . 63. 圆锥曲线F (x , y ) =0关于点P (x 0, y 0) 成中心对称的曲线是F (2x 0-x ,2y 0-y ) =0. 64. 圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线F (x , y ) =0关于点P (x 0, y 0) 成中心对称的曲线是F (2x 0-x ,2y 0-y ) =0. （2）曲线F (x , y ) =0关于直线Ax +By +C =0成轴对称的曲线是：
2
2
2
2
F (x -
2A (Ax +By +C ) 2B (Ax +By +C )
, y -) =0.
A 2+B 2A 2+B 2
2
2
2
65. “四线”一方程：
对于一般的二次曲线Ax +Bxy +Cy +Dx +Ey +F =0，用x 0x 代x ，用y 0y 代y ，
2
x 0x y 0y x y
-2=1. -=1(a >0, b >0) 上一点处的切线方程是P (x , y ) 00222
a b a b
x 2y 2
（2过双曲线2-2=1(a >0, b >0) 外一点P (x 0, y 0) 所引两条切线的切点弦方程是
a b
(1)双曲线
22
x 0y +xy 0x +x y +y
代xy ，用0代x ，用0代y 即得方程 222x y +xy 0x +x y +y
Ax 0x +B ⋅0+Cy 0y +D ⋅0+E ⋅0+F =0，曲线的切线，切点弦，中点弦，
222
用
66. 对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP =xOA +yOB +zOC ，
弦中点方程均是此方程得到.
则四点P 、A 、B 、C 共面x +y +z =1． 78．排列数与组合数的关系是：A m =m ！⋅C m
n
n
67. 空间两个向量的夹角公式:
=
a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3
a 1+a 2+a 3⋅b
1+b 2+b 3
2
2
2
2
2
2
，其中
79．单条件排列：以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列.
m m -1m -1
（1）“在位”与“不在位”：①某（特）元必在某位有A n -1种；②某（特）元不在某位有A n -A n -1
a =(a 1, a 2, a 3)，b =(b 1, b 2, b 3). 异面直线所成角θ
的求法：cos θ=
cos 〈a , b 〉
68. 直线AB 与平面α所成角θ满足:sin ϑ==
1m -1m 1m -1（补集思想）=A n -1A n -1 （着眼位置）=A n -1+A m -1A n -1（着眼元素）种.
k m -k （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）：①定位紧贴：k (k ≤m ≤n ) 个元在固定位的排列有A k A n -k 种.
n -k +1k
②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有A n -k +1A k 种. 此类问题常用捆绑法；
, 其中m 为面α的法向量.
③插空：两组元素分别有k 、h 个（k ≤h +1），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨
h k
近的所有排列数有A h A h +1种. （3）两组元素各相同的插空 ：m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
n
A m n +1
当n >m +1时，无解；当n ≤m +1时，有n =C m +1种排法.
A n
n
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为C m +n .
69. 二面角α-l -β的平面角θ满足: cos θ=, 其中、为平面α、β的法向量. 70. 空间两点间的距离公式:若A (x 1, y 1, z 1) B (x 2
, y 2, z 2, 则
d A , B =
x 2-x 12+
y 2-y 12+z 2-z 12.
71. 点Q 到直线l 的距离:h =
80．分配问题：
（1）(平均分组有归属问题) 将相异的m
, 点P 在直线l 上, 直线l 的方向向量a =PA , 向量
n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有
(mn )!
. (n ! ) m
n n n n n
N =C mn ⋅C mn -n ⋅C mn -2n ⋅ ⋅C 2n ⋅C n =
b =PQ .
72. 点B 到平面α的距离:d =
（2）(平均分组无归属问题) 将相异的m
, n 为平面α的法向量, AB 是面α的一条斜线, A ∈α.
73.(1)设直线OA 为平面α的斜线, 其在平面内的射影为OB , OA 与OB 所成的角为θ1, OC 在平面α
内, 且与OB 所成的角为θ2, 与OA 所成的角为θ, 则cos θ=cos θ1cos θ2.
(2)若经过∠BOC 的顶点的直线OA 与∠BOC 的两边OB 、OC 所在的角相等，则OA 在∠BOC 所
在平面上的射影为∠BOC 的角平分线；反之也成立.
n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有
n n n n n C mn ⋅C mn ⋅C ... ⋅C ⋅C (mn )! -n mn -2n 2n n
. N ==m
m ! m ! (n ! )
⑶(非平均分组有归属问题) 将相异的P(P=n1+n2+ +nm ) 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到n 1，n 2，„，n m 件，且n 1，n 2，„，n m 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有
n m n 1n 2
N =C p ⋅C p C n ⋅m ! =-n 1... m
p ! m !
.
n 1! n 2!... n m !
（4）(非完全平均分组有归属问题) 将相异的P(P=n1+n2+ +nm ) 个物体分给m 个人，物件必须被分完，
分别得到n 1，n 2，„，n m 件，且n 1，n 2，„，n m 这m 个数中分别有a 、b 、c 、„个相等，则其
S
(平面多边形及其射影的面积分别是S 、S ' ，所在平面成锐二面角θ). cos θ
75. 分类计数原理:N =m 1+m 2+ +m n . 分步计数原理:N =m 1⨯m 2⨯ ⨯m n .
74. 面积射影定理:S =
m m m -1
76. 排列恒等式:①A n ； ②A n ==(n -m +1) A n
'
n m m m -1
A n -1； ③A n =nA n -1； n -m
n n +1n m m m -1
④nA n . =A n +1-A n ； ⑤A n +1=A n +mA n
77. 常见组合恒等式:
p ! m !
.
a ! b ! c !... n 1! n 2!... n m !(a ! b ! c !...)
（5）(非平均分组无归属问题) 将相异的P(P=n1+n2+ +nm ) 个物体分为任意的n 1，n 2，„，n m 件无
p !
记号的m 堆，且n 1，n 2，„，n m 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有N =.
n 1! n 2!... n m !
（6）(非完全平均分组无归属问题) 将相异的P(P=n1+n2+ +nm ) 个物体分为任意的n 1，n 2，„，n m 件
分配方法数有N =
=
无记号的m 堆，且n 1，n 2，„，n m 这m 个数中分别有a 、b 、c 、„个相等，则其分配方法数有
n m n 1n 2
C p ⋅C p C n ⋅m ! -n 1... m
n -m +1m -1n n m -1m m m k k -1
C n ; ⑵C n =C n C n -1; ⑷kC n =nC n -1; ⑶C n =-1 m n -m m
r r +1012r n n
⑸C r r +C r r +1+C r r +2+ +C n =C n +1. (6)C n +C n +C n + +C n + +C n =2.
m ⑴C n =
N =
p !
.
n 1! n 2!... n m ! (a ! b ! c !...)
135024123n
(7)C n +C n +C n + =C n +C n +C n + =2n -1. (8)C n +2C n +3C n + +nC n =n ⋅2n -1
（7）(限定分组有归属问题) 将相异的p （p =n 1+n 2+ +n m ）个物体分给甲、乙、丙，„„等m 个人，
0n 1n -12n -22r n -r r n n
81．二项式定理:(a +b ) n =C n a +C n a b +C n a b + +C n a b + +C n b ；
r n -r r
二项展开式的通项公式：T r +1=C n 1，2 ，n ) . a b (r =0，
均值（又称期望）：EX ＝ x1p 1 + x2p 2 + „ + xn p n + „ ;
方差：DX ＝(x 1-EX ) 2p 1+(x 2-EX ) 2p 2+⋅⋅⋅+(x n -EX ) 2p n +⋅⋅⋅ ; 注：E (aX +b ) =aEX +b ; D (aX +b ) =a 2DX ；
③二项分布（独立重复试验）：若X ～B （n , p ）, 则EX ＝n p, DX ＝n p （1- p ） 注：
k k
P (X =k ) =C n p (1-p ) n -k 。
82．等可能性事件的概率：P (A ) =
结果）
m
. （一次试验共有n 个结果等可能的出现，事件A 包含其中m 个n
83．①互斥事件A 、B 有一个发生的概率：P (A +B )=P (A )+P (B )；n 个互斥事件中有一个发生的
概率：P (A 1+A 2+⋅⋅⋅+A n )=P (A 1)+P (A 2)+⋅⋅⋅+P (A n )； ②A 、B 是两个任意事件，则P (A +B )=1-P A +B =1-P A ⋅B .
84．相互独立事件A 、B 同时发生的概率：P (A ⋅B )=P (A )⋅P (B )；n 个相互独立事件同时发生的概
率：P (A 1⋅A 2⋅⋅⋅⋅⋅A n )=P (A 1)⋅P (A 2)⋅⋅⋅⋅⋅P (A n )． （上接第8页） 第十六部分 理科选修部分 1． 排列、组合和二项式定理： ⑴排列数公式:A
m
n =n(n-1)(n-2)„(n-m ＋1)=
))
⑵条件概率：称P (B |A ) =
P (AB )
为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。注：0≤P （B|A）≤1 P (A )
⑶独立事件同时发生的概率：P （AB ）=P（A ）P （B ）。 ⑷正态总体的概率密度函数：f (x ) =
12πσ
；
e
-
(x -μ) 22σ2
, x ∈R , 式中μ, σ是参数，分别表示总体的平均
(n -m )! (m≤ n, m、n∈N*),
当m=n时为全排列A ⑵组合数公式：C
m n =
n
n =n·(n-1)·(n-2)·„·3·2·1= n!
数（期望值）EX 与标准差DX
⑸正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x ＝μ 对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值
A n m n (n -1) (n -m +1) n ！*
==(n ，m ∈N ，且m ≤n ) m
1⨯2⨯ ⨯m m ！⋅(n -m ) ！A m
1
σ2π
；④曲线与x 轴之间的面积为1；
⑶组合数性质：C n
m
n -m m m -1m
=C n ; C n +C n =C n +1
① 当σ一定时，曲线随μ值的变化沿x 轴平移；
② 当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散；
0n 1n -11k n -k k n n
⑷二项式定理：(a +b ) n =C n a +C n a b + +C n a b + +C n b (n ∈N *)
σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中。
注：P (μ-σ
①通项：T r +1=C a
r
n
n -r
b (r =0, 1, 2,..., n ); ②注意二项式系数与系数的区别
P (μ-3σ
r
⑸二项式系数的性质：（展开时有n +1项）
①与首末两端等距离的二项式系数相等；②若n 为偶数，中间一项（第
n
＋1项）二项式系数最大；2
附：数学归纳法：一般的证明一个与正整数n 有关的一个命题，可按以下步骤进行：
⑴证明当n 取第一个值n 0时命题成立；⑵假设当n =k (k ≥n 0, k ∈N *) 命题成立，证明当n =k +1时命题也成立。那么由⑴⑵就可以判定命题对从n 0开始所有的正整数都成立。此证明方法叫数学归纳法。 注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行； ① n 0的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。
n +1n +1
若n 为奇数，中间两项（第和＋1项）二项式系数最大；
22
(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。
2. 概率与统计：
⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：p i ≥ 0, i=1,2,3，„； p1+p2+„=1; ②离散型随机变量：