万有引力的定律的推导与证明

万有引力的定律的推导与证明

我推导的，供大家参考与借鉴（QQ:1596058469）

关键词：微积分，椭圆，高阶导数，二维向量，极坐标，运动学方程。 符号说明：

ax代表平行于长轴的水平加速度

ay代表平行于短轴的竖直加速度

r代表恒星与行星的距离

代表r与x轴夹角

t代表时间

r''代表r对t的二阶导数

r'代表r对t的一阶导数

代表行星对于恒星的角速度

'代表对t的一阶导数，即角加速度

i代表沿x轴正向的单位常矢量

j代表沿y轴正向的单位常矢量

a代表行星的合加速度

er代表行星与恒星连线的单位方向向量，方向由恒星指向行星a代表椭圆的长半轴

b代表椭圆的短半轴

c代表椭圆焦距

F1代表椭圆左焦点

S代表极径r线段扫过的面积

C代表任意常数

代表万有引力

Fx代表万有引力的水平分量

Fy代表万有引力的竖直分量

T代表行星公转周期

代表圆周率

m代表行星质量

M代表恒星质量

K代表开普勒常量

G代表万有引力常量

标量表示式：

d2(rcos)22axr''cos2r'sinr('sincos)(r''r)cos(2r'r')sin2dt

d2(rsin)22ayr''sin2r'cosr('cossin)(r''r)sin(2r'r')cos2dt

矢量表示式：

ax(r''r2)cos(2r'r')sin

ay(r''r2)jsin(2r'r')jcos

ercossinrcosrsinderisinjcosd

aaxay(r''r2)er(2r'r')der

d

现推导r()的函数关系式

x2y2

设椭圆的一般方程为221,则其左焦点坐标为F1(c,0),以F1为极点，建立极坐标方程，有：ab

(rcosc)2(rsin)2

1a2b2

化简：b2cos2a2sin2r22crb2cosb2c2a2b20又a2b2c2

2cb2cos4c2b4cos24b2cos2a2sin2b4

r2b2cos2a2sin2cb2cosb2c2cos2b2c2sin2cb2cosb2ab222b2c2sin2accos2accos

椭圆元面积：

12rd2

由开普勒 第二定律：单位时间内，极径扫过的面积是常数dS

dS12r常数dt2

即S与t是一次函数关系,其通解为：

S

 12rtC2dS12r常数dt2

r2'2rr'r2'0

2r'r'0

FFxFym(r''r2)erm(2r'r')derm(r''r2)erd

b2b2

r(ccosa)accosr

b2racrcos,左右对t求导，关键性一步：

0ar'cr'coscrsin

再对t求一次导，飞跃性一步：

0ar''cr''cos2cr'sincr('sin2cos)

0ar''c(r2r'')cosc(2r'r')sin

b2b2b2

20(accos)r''crcosr''r(a)(r''r2)r2arrr

r22a2r''rb22

r22aFm(r''r)erm2er b2

行星扫过一周的面积（S

S椭S(T)S(0)

r22ab

T

22212rtC）212rTab22ab2)a2323ra(r)a4a4aMmmemememe2er rrrr22222222bbrbrTrMTr其中Ka3/T2为开普勒常量2(

42a3

记G为万有引力常量2MT

er指有恒星指向行星的单位方向向量，负号代表万有引力方向与er方向相反。综上：万有引力的公式为：FG

Mmer r2