不等式证明的六种方法
一、比较法
以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式
一、复习引入： 1．重要不等式：
如果a , b ∈R, 那么a +b ≥2ab (当且仅当a =b 时取" =" 号) 2．定理：如果a,b 是正数，那么
22
a +b
≥ab (当且仅当a =b 时取" =" 号). 2
a 2+b 2a +b 2
：ab ≤，ab ≤（）22
4．
b a
，当且仅当a ＝b 时取“＝”号； +≥2（ab ＞0）
a b
+
“=”） 5．定理：如果a , b , c ∈R ，那么a +b +c ≥3abc （当且仅当a =b =c 时取6．推论：如果a , b , c ∈R ，那么二、讲解新课：
1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 三、讲解范例： 例1 求证：x 2 + 3 > 3x
分析：由比较法证题的方法，先将不等式两遍作差，得(x 2 + 3) − 3x ＝x −3x +3，将此式看作关于x 的二次函数，易知有最小值，由配方法易证
333
+
a +b +c ） ≥abc （当且仅当a =b =c 时取“=”
3
2
证明：∵(x 2 + 3) − 3x = x −3x +(−() +3=(x −+
∴x 2 + 3 > 3x
例2 已知a , b , m 都是正数，并且a
2
32
2
32
2
32
2
3>0 4
a +m a
> b +m b
分析：这是一道分式不等式的证明题，依比较法证题步骤先将其作差，然后通分，
证明：
a +m a b (a +m ) −a (b +m ) m (b −a )
−== b +m b b (b +m ) b (b +m )
∵a , b , m 都是正数，并且a 0 , b − a > 0 ∴
a +m a m (b −a )
>0 即 >
b (b +m ) b +m b
思考：若a > b ，结果会怎样？若没有“a a 2b 3 + a 3b 2 证明：(a 5 + b 5 ) − (a 2b 3 + a 3b 2) = ( a 5 − a 3b 2) + (b 5 − a 2b 3 )
= a 3 (a 2 − b 2 ) − b 3 (a 2 − b 2) = (a 2 − b 2 ) (a 3 − b 3) = (a + b )(a − b ) 2(a 2 + ab + b 2)
∵a , b 都是正数，∴a + b , a 2 + ab + b 2 > 0
又∵a ≠ b ，∴(a − b ) 2 > 0 ∴(a + b )(a − b ) 2(a 2 + ab + b 2) > 0 即 a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2
例4 甲、一半时间以速度m 行走，
另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 果m ≠ n ，问：甲、乙两人谁先到达指定地点？
分析：设从出发点至指定地点的路程为s ，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t 1、t 2t 1、t 2解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲、乙两人走完全程所需时间分别是t 1、t 2，
依题意有：
t 1t
m +1n =S , 22S S
+=t 2 2m 2n
可得 t 1=
2S S (m +n )
, t 2=
m +n 2mn
2S S (m +n ) S [4mn −(m +n ) 2]S (m −n ) 2
−==−∴t 1−t 2= m +n 2mn 2(m +n ) mn 2mn (m +n )
∵S , m , n 都是正数，且m ≠ n ，∴t 1－t 2
向数学问题的转化思考：若m = n ，结果会怎样？ 例5设a , b ∈ R，求证：a b ≥(ab ) 证明：（作商）
+
a
b
a +b
2
≥a b b a
a −b 2
a a b b (ab )
a +b 2
=a
a −b 2
b
b −a 2
a =(b
a
当a = b 时，()
b
a −b 2
=1
a −b a
>0, () 2b
a −b
2
a
当a > b > 0时，>1,
b
>1
a −b 2
a
当b > a > 0时， 0
b
∴a b ≥(ab )
a
b
a +b 2
a −b a
>1
（其余部分略）
二、综合法
一、复习引入：
1．掌握综合法证明不等式； 2．熟练掌握已学的重要不等式； 3．增强学生的逻辑推理能力 4．不等式性质的综合运用 1．重要不等式：
如果a , b ∈R, 那么a +b ≥2ab (当且仅当a =b 时取" =" 号) 2．定理：如果a,b 是正数，那么
22
a +b
≥ab (当且仅当a =b 时取" =" 号). 2
a 2+b 2a +b 2
：ab ≤，ab ≤（）22
4．
b a
，当且仅当a ＝b 时取“＝”号； +≥2（ab ＞0）
a b
+
“=”） 5．定理：如果a , b , c ∈R ，那么a +b +c ≥3abc （当且仅当a =b =c 时取6．推论：如果a , b , c ∈R ，那么
+
333
a +b +c ） ≥abc （当且仅当a =b =c 时取“=”
3
7．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论
比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 二、讲解新课：
1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）2．用综合法证明不等式的逻辑关系是：A ⇒B 1⇒B 2⇒" ⇒B n ⇒B 3．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法
三、讲解范例：
例1 已知a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：
a (b 2+c 2) +b (c 2+a 2) +c (a 2+b 2) >6abc
证明：∵b +c ≥2bc , a ＞0,
∴a (b +c ) ≥2abc ①
2
2
2
2
同理 b (c +a ) ≥2abc ②
22
c (a 2+b 2) ≥2abc ③
因为a ，b ，c 不全相等，所以b +c ≥2bc , c +a ≥2ca , a +b ≥2ab 三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=222222
∴a (b +c ) +b (c +a ) +c (a +b ) >6abc 例2 已知a ，b ，c 都是正数，且a ，b ，c 成等比数列，
求证：a +b +c >(a −b +c ) 证明：左－右=2（ab +bc －ac ） ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b =ac 又∵a ，b ，c 都是正数，所以0b
∴2(ab +bc −ac ) =2(ab +bc −b ) =2b (a +c −b ) >0 ∴a +b +c >(a −b +c )
说明：此题在证明过程中运用了比较法、基本不等式、等比中项性质，体现了四、课堂练习：
222222
2222
2
ac ≤
a +c
2
2222
1． 设a , b , c ∈ R ， 1°求证：a +b ≥
2
2
2
2
2
(a +b ) 2
2
2
2°求证：a +b +b +c +3°若a + b = 1, 求证：a +
c 2+a 2≥2(a +b +c )
11
+b +≤2 22
a 2+b 2a +b 2a 2+b 2a +b a +b
≥(≥0 ∴ ≥|证：1°∵|≥22222
∴a +b ≥
2
2
2
(a +b ) 2
2°同理：b +c ≥
2
2
22
2
(b +c ) ， 2
2
2
c 2+a 2≥
2
(c +a ) 2
三式相加：a +b +b +c +3°由幂平均不等式：
c 2+a 2≥2(a +b +c )
111
(a ++b +) ≤
222
∴a +
11
(a +) +(b +=2
(a +b +1)
=22=1 2
11
+b +≤2 22
111
++) ≥9 a b c
1119
2° (a +b +c )(++) ≥
2a +b b +c c +a
3a b c
3° ++≥
b +c c +a a +b 2
2．a , b , c ∈R , 求证：1° (a +b +c )(证：1°法一：a +b +c ≥3abc ,
法二：左边=
1111
, 两式相乘即得++≥3a b c abc
a +b +c a +b +c a +b +c b a c a c b
++=3+(+) +(+) +(+ a b c a b a c b c
≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9
2°∵
a +b b +c c +a 3++≥a +b )(b +c )(c +a ) 2222
1111++≥3两式相乘即得 a +b b +c c +a (a +b )(b +c )(c +a )
3°由上题：(a +b +c )(
1119
++) ≥
2a +b b +c c +a
93c a b a b c
∴1++1++1+≥ 即 ++≥
a +b b +c c +a 2b +c c +a a +b 2
小结 ：通过本节学习，要求熟练掌握并应用已学的重要不等式及不等式性质推出所
三、分析法
1．掌握分析法证明不等式；
2．理解分析法实质——执果索因； 34．分析法实质的理解 一、复习引入： 1．重要不等式：
如果a , b ∈R, 那么a +b ≥2ab (当且仅当a =b 时取" =" 号) 2．定理：如果a,b 是正数，那么
22
a +b
≥ab (当且仅当a =b 时取" =" 号). 2
a 2+b 2a +b 2
：ab ≤，ab ≤（）22
4．
b a
，当且仅当a ＝b 时取“＝”号； +≥2（ab ＞0）
a b
+
3
3
3
“=”） 5．定理：如果a , b , c ∈R ，那么a +b +c ≥3abc （当且仅当a =b =c 时取6．推论：如果a , b , c ∈R ，那么
+
a +b +c ） ≥abc （当且仅当a =b =c 时取“=”
3
7．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论
比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 8．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和用综合法证明不等式的逻辑关系是：A ⇒B 1⇒B 2⇒" ⇒B n ⇒B
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质
二、讲解新课：
1分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些2．用分析法证明不等式的逻辑关系是：B ⇐B 1⇐B 2⇐" ⇐B n ⇐A 3．分析法的思维特点是：4．分析法的书写格式：
要证明命题B 为真，
只需要证明命题B 1为真，从而有…… 这只需要证明命题B 2为真，从而又有…… ……
这只需要证明命题A 而已知A 为真，故命题B 三、讲解范例：
例1 求证+证明：因为3+只需证明(+
7
7和2都是正数，所以为了证明+7
7) 2
展开得 10+221
(+7) 2
即证明了3+
7
说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法②分析法论证“若A 则B ”这个命题的模式是：为了证明命题B 为真， 这只需要证明命题B 1为真，从而有…… 这只需要证明命题B 2为真，从而又有…… 这只需要证明命题A 为真 而已知A 为真，故B 必真
例2 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的
周长为L ，则周长为L 的圆的半径为
L L 2
，截面积为T 1() ；周长为L 的正方形边
2π2π
L L 2L 2L 长为，截面积为() π(>() 42π44
证明：设截面的周长为L ，依题意，截面是圆的水管的截面面积为π(面是正方形的水管的截面面积为(，所以本题只需证明π(
L 2
，截2π
L 4
2
L 2L >() 2 2π4
πL 2L 2
为了证明上式成立，只需证明 >
4π216
411，得> 2
π4L
因此，只需证明4>π
L 2L >() 2 上式是成立的，所以π(2π4
两边同乘以正数
这就证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么
说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一四、课堂练习：
已知a , b , c , d ∈R ,求证:ac +bd ≤(a +b )(c +d )
分析一:用分析法
证法一:(1)当ac +bd ≤0(2)当ac +bd >0时,欲证原不等式成立,
22222
只需证(ac +bd ) ≤(a +b )(c +d )
[1**********]2
即证a c +2abcd +b d ≤a c +a d +b c +b d
2222
即证2abcd ≤b c +a d
2
即证0≤(bc -ad )
因为a , b , c , d ∈R ,所以上式恒成立, 分析二:用综合法
[***********]22
证法二:(a +b )(c +d )=a c +a d +b c +b d =(a c +2abcd +b d )+(b c -2abcd +a d )
222
=(ac +bd ) +(bc -ad ) ≥(ac +bd )
2222
∴(a +b )(c +d ) ≥|ac +bd |≥ac +2222
分析三:用比较法
222222
证法三:∵(a +b )(c +d )-(ac +bd ) =(bc -ad ) ≥0,
22222
∴(a +b )(c +d )≥(ac +bd )
∴(a +b )(c +d ) ≥|ac +bd |≥ac +bd ,
2222
即ac +bd
五、小结 ：通过本节学习，要求大家在理解分析法的逻辑关系的基础上掌握分析法证明不等式，并加深认识不等式证明方法的灵活性，能综合运用证明不等式的各种六、课后作业： (1)若l o g a b 为整数,且l o g a （ ）12
>lo g a b l o g b a ,那么下列四个结论中正确的个数是b
12
>b >a ②lo g a b +lo g b a =0 ③0
A 1 C 3 答案:A
(2)设x 1和x 2是方程x 2+px +4=0的两个不相等的实数根,则（ ）
A |x 1|>2且|x 2x 1+x 2|>4 C|x 1+x 2x 1|=4且|x 2|=1 答案:B
+
(3)若x , y ∈R ,且x ≠y ,则下列四个数中最小的一个是（ ）
11+) x y
答案:D (4)若x >0,y >0,且
x +
y ≤a x +y 成立,则a 的最小值是（ ）
C 2
2
答案:B
+
(5)已知a , b ∈R ,则下列各式中成立的是（ ）
2222
A cos θ·lga +sinθ·lgb lg(a +b ) cos2sin22θsin2θC a θ·b θ=a +b cos ·b >a +b 答案:A
+
(6)设a , b ∈R ,且ab -a -b ≥1,则有（ ）
A a +b ≥2(2+b +b ≥(2+1)
2
+b ≤2(+1)
答案:A
2用分析法证明:
2422
3(1+a +a )≥(1+a +a ) 2422
证明:要证3(1+a +a )≥(1+a +a )
22222
只需证3［(1+a ) -a ］≥(1+a +a )
2222
即证3(1+a +a )(1+a -a )≥(1+a +a )
∵1+a +a =(a +
2
123) +>0 24
2
只需证3(1+a -a )≥1+a +a 2
展开得2-4a +2a ≥0
2
即2(1-a ) ≥02422
故3(1+a +a )≥(1+a +a ) 成立用分析法证明:
2
ab +cd ≤
a 2+c 2证明:①当ab +cd
ab +cd
欲证ab +cd ≤a +c ⋅b +d 只需证(ab +cd ) ≤(a +c ⋅b +d )
2
2
2222
2222
展开得a b +2abcd +c d ≤(a +c )(b +d )
[1**********]2
即a b +2abcd +c d ≤a b +a d +b c +c d
2222
即2abcd ≤a d +b c
2222
只需证a d +b c -2abcd ≥0
2
即(ad -bc ) ≥0
2
因为(ad -bc ) ≥022222222
所以当ab +cd ≥0时,ab +cd ≤a +c ⋅b +d 2222
综合①②可知:ab +cd ≤a +c ⋅b +d 2222
4用分析法证明下列不等式:
(1)求证:+(2)求证:
>1+
x −3−x −4(x ≥4)
x −1−x −2
+
(3)求证:a , b , c ∈R ,求证:
2(
a +b a +b +c −ab ) ≤3(−abc ) 23
7>1+
证明:(1)欲证+只需证(5+
7) 2>(1+) 2
展开得12+235>16+2 即235>4+2
只需证(2) >(4+2)
2
2
即4>这显然成立 故5+
>1+(2)欲证x −1−只需证
x −2
x −3+x −2(x ≥4)
x −1+x −4
即证(x −1+展开得2x -5+2
x −4) 2
x −3)(x −2)
2
2
即(x −1)(x −4)
只需证［x −1)(x −4) ］
2
2
x −1−x −2
a +b a +b +c −ab )≤3(−abc ) 23
只需证a +b -2ab ≤a +b +c -3abc 即证c +2≥3abc ∵a , b , c ∈R
∴c +2ab =c +ab +ab ≥3c ⋅ab ⋅ab =3abc ∴c +2ab ≥3abc +
5若a , b >0,2c >a +b ,求证:
2
(1)c >ab
（2）c -c −ab
∴ab
a +b 22
)
2
2
（2）欲证c -c −ab
即a -2ac +c
∵a >0,只要证a +b
6已知关于x 的实系数二次方程x +ax +b =0,有两个实数根α, β,证明: (1)如果|α|
(1)(2)等价于证明|α|
22
2
222
⎧⎧αβ
⇔⎨ ⎨22
⎪⎪⎩4(α+β)
⎧⎧⎪
⇔⎨22⇔⎨2
222
⎪⎪⎩αβ−4α−4β+16>0⎩(α−4)(β−4) >0
⎧
⇔⎨α>4或⎨α2或⎨α4⎪β2
>β2⎩⎩β
⎧αβ
⇔⎨α
⎩β
四、换元法
1． 掌握换元法法证明不等式；
2．理解换元法实质；
34．三角换元和代数换元 一、复习引入： 1．重要不等式：
如果a , b ∈R, 那么a +b ≥2ab (当且仅当a =b 时取" =" 号) 2．定理：如果a,b 是正数，那么
22
a +b
≥ab (当且仅当a =b 时取" =" 号). 2
a 2+b 2a +b 2
：ab ≤，ab ≤（）22
4．
b a
，当且仅当a ＝b 时取“＝”号； +≥2（ab ＞0）
a b
+
3
3
3
“=”） 5．定理：如果a , b , c ∈R ，那么a +b +c ≥3abc （当且仅当a =b =c 时取6．推论：如果a , b , c ∈R ，那么
+
a +b +c ） ≥abc （当且仅当a =b =c 时取“=”
3
7．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论
比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 8．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和用综合法证明不等式的逻辑关系是：A ⇒B 1⇒B 2⇒" ⇒B n ⇒B
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件用分析法证明不等式的逻辑关系是：B ⇐B 1⇐B 2⇐" ⇐B n ⇐A 分析法的思维特点是：分析法的书写格式：
要证明命题B 为真，
只需要证明命题B 1为真，从而有……
这只需要证明命题B 2为真，从而又有…… ……
这只需要证明命题A 而已知A 为真，故命题B 二、讲解新课：
若0≤x ≤1，则可令x = sinθ (0≤θ≤
2
2
πππ) 或x = sin2θ (−≤θ≤222
若x +y =1，则可令x = cosθ , y = sinθ (0≤θ≤2π若x −y =1，则可令x = secθ, y = ta n θ (0≤θ≤2π22
π2ππ
若x ∈R ，则可令x = ta n θ (−
若x ≥1，则可令x = secθ (0≤θ
“整体换元”,“均值换元”, 三、讲解范例： 例1 求证：−
11
≤x −x 2≤
22
2
证一：（综合法）
⎡x 2+(1−x 2) ⎤12222
∵|x −x |=|x |−x =x (1−x ) ≤⎢= 22⎣⎦
11122
即 |x −x |≤ ∴−≤x −x ≤
222
证二：（换元法） ∵−1≤x ≤1 ∴令 x = cosθ , θ∈[0, π]
12
则x −x =cos θsin θ=sin 2θ
2
112
∵−1≤sin θ≤1 ∴−≤x −x ≤
22
例2 已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：
11
+≥3+22 x y
证一：⎜⎜
⎛11⎞2x y 11
+⎟(2+) =3++≥3+22 即：+≥3+22 x y ⎟x y y x x y ⎝⎠
证二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可设x =
12sin α, 2
y =cos 2α
则
112122+=+=2(1+cot α) +(1+tan α) 22x y sin αcos α
=3+(2cot 2α+tan 2α) ≥3+22
例3 若x +y ≤1，求证：|x +2xy −y |≤证：设x =r sin α,
2
2
2222
2
y =r cos α, (0≤r ≤1) ，
2
2
2
2
2
则|x +2xy −y |=|r cos α+2r cos αsin α−r sin α|
π⎞⎛
=r 2|cos 2α+sin 2α|≤2r 2cos ⎜2α−⎟≤2r 2≤2
4⎠⎝
例4 若x > 1，y > 1，求证：xy ≥1+证：设x =sec α, 则1+
2
(x −1)(y −1)
π
y =sec 2β, (0
2
cos(α−β) 1
≤=xy
cos αcos βcos αcos β
1⎛1⎞⎛1⎞⎜−⎟⎜+⎟
2
x −1)(y −1) =1+tan αtan β=
例5已知：a > 1, b > 0 , a − b = 1，求证：0
证：∵a > 1, b > 0 , a − b = 1 ∴不妨设a =sec θ,
π
b =tan 2θ, (0
2
则
1⎞1⎞⎛1⎛1⎞⎛1⎞1⎛
⎜−a b ⎟⎜+tan θ+⎟=sec θ−⎟ ⎟⎜⎜⎟⎜⎟sec 2θa ⎜tan sec θθa ⎠⎝b ⎠⎠⎠⎝⎝⎝
1tan 2θsec 2θ
=sin θ =⋅
sec 2θsec θtan θ
∵0
1⎛1⎞⎛1⎞π
−⎟⎜+, ∴0
2
例6证明：若a > 0，则a +
11
−2≥a +−2
a a 2
证：设x =a +
1, a
y =a 2+
2
1
, (a >0, x ≥2, y ≥2) 2a
2
1⎞⎛21⎞⎛22
则x −y =⎜a +⎟−⎜a +2⎟=2
a ⎠⎜a ⎟⎝⎝⎠
x +y =a +
11
+a 2+≥2+2 （ 当a = 1时取“=” ） a a
2∴x −y =
x 2−y 2x +y ≤2
2+2
=2−2 即y −2≥x −2 ∴原式成立
五、反证法
要求掌握放缩法和反证法证明不等式; 一、复习引入： 1．重要不等式：
如果a , b ∈R, 那么a +b ≥2ab (当且仅当a =b 时取" =" 号) 2．定理：如果a,b 是正数，那么
2
2
a +b
≥ab (当且仅当a =b 时取" =" 号). 2
a 2+b 2a +b 2
：ab ≤，ab ≤（）22
4．
b a
，当且仅当a ＝b 时取“＝”号； +≥2（ab ＞0）
a b
+
3
3
3
“=”） 5．定理：如果a , b , c ∈R ，那么a +b +c ≥3abc （当且仅当a =b =c 时取6．推论：如果a , b , c ∈R ，那么
+
a +b +c ） ≥abc （当且仅当a =b =c 时取“=”
3
7．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论
比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 8．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和用综合法证明不等式的逻辑关系是：A ⇒B 1⇒B 2⇒" ⇒B n ⇒B
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件用分析法证明不等式的逻辑关系是：B ⇐B 1⇐B 2⇐" ⇐B n ⇐A 分析法的思维特点是：分析法的书写格式：
要证明命题B 为真，
只需要证明命题B 1为真，从而有…… 这只需要证明命题B 2为真，从而又有……
……
这只需要证明命题A 而已知A 为真，故命题B
若0≤x ≤1，则可令x = sinθ (0≤θ≤
2
2
πππ) 或x = sin2θ (−≤θ≤) 222
若x +y =1，则可令x = cosθ , y = sinθ (0≤θ≤2π若x −y =1，则可令x = secθ, y = ta n θ (0≤θ≤2π22
π2ππ
若x ∈R ，则可令x = ta n θ (−
若x ≥1，则可令x = secθ (0≤θ
“整体换元”,“均值换元”,
二、讲解新课：
: :
三、讲解范例：
例1若a , b , c , d ∈R +，求证：
a b c d
+++
a +b +d b +c +a c +d +b d +a +c
a b c d
+++证明：（用放缩法）记m =
a +b +d b +c +a c +d +b d +a +c
1
∵a , b , c , d ∈R + ∴m >
a b c d
+++=1
a +b +c +d a +b +c +a c +d +a +b d +a +b +c a b c d
m
a +b a +b c +d d +c
∴1
例2当 n > 2 时，求证：log n (n −1) log n (n +1) 2 ∴log n (n −1) >0,
2
log n (n +1) >0
2
2
2
) +log ) ⎤⎡log ) ⎤⎡log n n 2⎤⎡log n (n −1n (n +1n (n −1) log )
∴n > 2时, log n (n −1) log n (n +1)
例3 求证：
1111+++" +
1111
n (n −1) n −1n n
证明：（用放缩法）
∴
1111111111
+++" +
223n −1n n 123n
一、 ：
例4 设0
111, (1 − b ) c >, (1 − c ) a >, 444
则三式相乘：(1 − a ) b •(1 − b ) c •(1 − c ) a > ①
同理 (1−b ) b ≤
11
, (1−c ) c ≤ 44
1
此与①矛盾 64
将以上三式相乘 (1 − a ) a •(1 − b ) b •(1 − c ) c ≤∴(1 − a ) b , (1 − b ) c , (1 − c ) a , 不可能同时大于
1 4
例4 已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a , b , c > 0 证明：（用反证法）设a 0, ∴bc 0, 则b + c >−a > 0
∴ab + bc + ca = a (b + c ) + bc 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证 b > 0, c > 0 四、小结 ：？ 五、课后作业： 证明下列不等式： 1．设x > 0, y > 0,a =
x +y x y
+, b =，求证：a
放缩法：
x +y x y x y
=+
1+x +y 1+x +y 1+x +y 1+x 1+y
2．lg9•lg11
⎛2⎞⎛lg 99⎞⎛lg 9+lg 11⎞
放缩法：lg 9⋅lg 11≤⎜⎟
2⎝2⎠⎝2⎠⎠⎝
3．log n (n −1) log n (n +1)
222
⎡log n (n 2−1) ⎤⎡log n n 2⎤
放缩法：log n (n −1) log n (n +1) ≤⎢⎥
22⎣⎣⎦⎦
114
++≥0 4．若a > b > c , 则
a −b b −c c −a
22
111
+≥2≥2放缩法：
(a −b )(b −c ) a −b b −c
5．
⎛⎞24
⎜⎟= ⎜(a −b ) +(b −c ) ⎟a −c ⎝⎠
2
1111
+++" +2>1(n ∈R +, n ≥2) n n +1n +2n
11111n 2−n 放缩法：左边>+2+2+" +2=+=1 2
n n n n n n
6．
1111
≤++" +
11
放缩法：⋅n ≤中式≤⋅n
n +12n
2
2
7．已知a , b , c > 0, 且a 2 + b 2 = c 2，求证：a n + b n
⎛b ⎞⎛a ⎞⎛b ⎞⎛b ⎞⎛a ⎞⎛a ⎞
放缩法： ∵⎜⎟+⎜⎟=1，又a , b , c > 0, ∴⎜⎟
⎝c ⎠⎝c ⎠⎝c ⎠⎝c ⎠⎝c ⎠⎝c ⎠⎛a ⎞⎛b ⎞⎛a ⎞⎛b ⎞
∴⎜⎟+⎜⎟
⎝c ⎠⎝c ⎠⎝c ⎠⎝c ⎠
8．设0
反证法：(2 − a ) c>1, (2 − b ) a>1, (2 − c ) b>1, 则(2 − a ) c (2 − b ) a (2 − c ) b >1 …① 又因为设0
n
n
2
2
n 2n 2
(2−a ) +a
=1,
2
同理 (2 − b ) b ≤1, (2 − c ) c≤1, 所以(2 − a ) c (2 − b ) a (2 − c ) b ≤19．若x , y > 0，且x + y >2，则
1+y 1+x
和中至少有一个小于2 x y
反证法：设
1+y 1+x
≥2，≥2 ∵x , y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾 x y
六、构造法
一、复习引入： 1．重要不等式：
如果a , b ∈R, 那么a +b ≥2ab (当且仅当a =b 时取" =" 号) 2．定理：如果a,b 是正数，那么
22
a +b
≥ab (当且仅当a =b 时取" =" 号). 2
a 2+b 2a +b 2
：ab ≤，ab ≤（）22
4．
b a
，当且仅当a ＝b 时取“＝”号； +≥2（ab ＞0）
a b
+
3
3
3
“=”） 5．定理：如果a , b , c ∈R ，那么a +b +c ≥3abc （当且仅当a =b =c 时取6．推论：如果a , b , c ∈R ，那么
+
a +b +c ） ≥abc （当且仅当a =b =c 时取“=”
3
7．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论
比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 8．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和用综合法证明不等式的逻辑关系是：A ⇒B 1⇒B 2⇒" ⇒B n ⇒B
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件用分析法证明不等式的逻辑关系是：B ⇐B 1⇐B 2⇐" ⇐B n ⇐A 分析法的思维特点是：分析法的书写格式：
要证明命题B 为真，
只需要证明命题B 1为真，从而有…… 这只需要证明命题B 2为真，从而又有……
……
这只需要证明命题A 而已知A 为真，故命题B
若0≤x ≤1，则可令x = sinθ (0≤θ≤
2
2
πππ) 或x = sin2θ (−≤θ≤) 222
若x +y =1，则可令x = cosθ , y = sinθ (0≤θ≤2π若x −y =1，则可令x = secθ, y = ta n θ (0≤θ≤2π22
π2ππ
若x ∈R ，则可令x = ta n θ (−
若x ≥1，则可令x = secθ (0≤θ
“整体换元”,“均值换元”, 12．放缩法: 13．反证法: 二、讲解新课：
构造法：构造函数法; 构造方程法; 三、讲解范例：
例1已知x > 0，求证： x +
1+x
1x +1x
≥
5 2
证明：（构造函数法）构造函数f (u ) =u +由f (α) −f (β) =α+
11
，u =x +≥2， 设2≤α
⎛11⎞(α−β)(αβ−1) 11
−(β+=(α−β) +⎜−⎟ =⎜⎟αβαβ⎝αβ⎠
5
2
显然 ∵2≤α 0, αβ − 1 > 0, αβ > 0 ∴上式 > 0 ∴f (x ) 在[2, +∞) 上单调递增，∴左边≥f (2) =
例2 求证：
x 2+10x 2+9
≥
10
3
证明：（构造函数法）设t =x +9(t ≥3) 则f (t ) =
2
x 2+10
t 2+1
=
2t x +9
t +1t 2+1(t 1−t 2)(t 1t 2−1)
令 3≤t 1
t 1t 2t 1t 233+110
∴f (t ) 在[3, +∞) 上单调递增，≥f (3) ==
233x +9
例2 已知实数a , b , c ，满足a + b + c = 0和abc = 2，求证：a , b , c 中至少有一个不
小于证明：（构造方程法）由题设显然a , b , c 中必有一个正数，不妨设a > 0，
22
x 2+10
=−a ⎧2⎪b +c 22则⎨ 即b , c 是二次方程x +ax +=0bc =a ⎪a ⎩
82
∴Δ=a −≥0 ⇒a ≥2
a
π1sec 2θ−tan θ
例3 求证：≤≤3(θ≠k π+, k ∈Z ) 2
3sec θ+tan θ2sec 2θ−tan θ
证明：（构造方程法）设y = ， 2
sec θ+tan θ
则(y − 1)tan2θ + (y + 1)tanθ + (y − 1) = 0 当 y = 1时，命题显然成立
当 y ≠ 1时，△= (y + 1)2 − 4(y − 1)2 = (3y − 1)(y − 3)≥0，∴此法也称判别式法）
例5 已知0
1
≤y ≤33
a 2+b 2+(a −1) 2+b 2+a 2+(b −1) 2+(a −1) 2+(b −1) 2≥22
证明：（构造图形法）构造单位正方形，O 是正方形内一点
O 到AD , AB 的距离为a , b ，
则|AO | + |BO | + |CO | + |DO |≥|AC | + |BD |
C 1-b
1-b
其中|AO |=
a 2+b 2，|BO |=(a −1) 2+b 2，
F b
H b
1-a
B
|CO |=(a −1) 2+(b −1) 2，|DO |=a 2+(b −1) 2
又|AC |=|BD |=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∴a +b +(a −1) +b +a +(b −1) +(a −1) +(b −1) ≥22
四、小结 ：？ 五、课后作业： 证明下列不等式：
1x 2−x +1
≤3 1．≤2
3x +x +1
x 2−x +1
（构造函数法）令y =2，则 (y − 1)x 2 + (y + 1)x + (y − 1) = 0
x +x +1
用△法，分情况讨论
2．已知关于x 的不等式(a 2 − 1)x 2 − (a − 1)x − 1
2
5
⎧a 2−1
讨论 分a − 1 = 0和⎨
⎩Δ
3．若x > 0, y > 0, x + y = 1，则⎜x +
⎛⎝
1⎞⎛1⎞25
⎟+ y ≥⎟⎜⎜⎟x ⎠⎝y ⎠4
（构造函数法）左边=
11x y
++xy +≥2+xy +
y x xy xy
2
1⎛x +y ⎞
= 令 t = xy ，则0
4⎝2⎠
11117
f (t ) =t +在(0, 上单调递减 ∴f (t ) ≥f () =
t 44411*
4．若0
k k +1
1112
（构造函数法）令f (a ) =a −a ，又0
k 22
k −1k −111112
∴b
k k k k 2k 2−1k +15．记f (x ) =+x ，a > b > 0，则| f (a ) − f (b ) |
使|AB | = a , |DF | = b , |AD | = 1, 则|AC | − |AF | 0，则x +y +xy +
2
2
2
C 1
1B
y 2+z 2+yz >z 2+x 2+zx
（构造图形法）作∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 120°, 设|OA | = x , |则由余弦定理 |AC |＝x +y +xy
2
2
|BC | ＝
y +z +yz ,|CA |＝z +x +zx
2
2
2222
因为|AC+||BC |>|CA |，所以x +y +xy +
y 2+z 2+yz >z 2+x 2+zx