习 题 8-1
1．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为μ=μ(x , y ) 的电荷，且μ(x , y ) 在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．
解 用一组曲线将D 分成n 个小闭区域∆σi ，其面积也记为∆σi (i =1,2, , n ) . 任取一点(ξi , ηi ) ∈∆σi , 则∆σi 上分布的电量∆Q ≈μ(ξi , ηi ) ∆σi . 通过求和、取极限，便得到该板上的全
部电荷为
Q =lim ∑μ(ξi , ηi ) ∆σi =⎰⎰μ(x , y )d σ,
λ→0
i =1
D
n
其中λ=max{∆σi 的直径}．
1≤i ≤n
2. 设I 1=⎰⎰(x 2+y 2) 3d σ其中D 1={(x , y ) -1≤x ≤1, -2≤y ≤2}；又I 2=⎰⎰(x 2+y 2) 3d σ
D 1
D 2
其中D 2={(x , y ) 0≤x ≤1,0≤y ≤2}．试利用二重积分的几何意义说明I 1与I 2之间的关系．
解 由二重积分的几何意义知，I 1表示底为D 1、顶为曲面z =(x 2+y 2) 3的曲顶柱体Ω1的体积；I 2表示底为D 2、顶为曲面z =(x 2+y 2) 3的曲顶柱体Ω2的体积．由于位于D 1上方的曲面z =(x 2+y 2) 3关于yOz 面和zOx 面均对称，故yOz 面和zOx 面将Ω1分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为Ω2．由此可知I 1=4I 2．
3. 利用二重积分定义证明： (1) ⎰⎰d σ=σ
D
(其中σ为D 的面积) ；
(其中k 为常数) ；
1
2
(2) (3)
⎰⎰kf (x , y )d σ=k ⎰⎰f (x , y )d σ
D
D
⎰⎰f (x , y )d σ=⎰⎰f (x , y )d σ+⎰⎰f (x , y )d σ, 其中D =D D
D
D 1
D 2
，D 1、D 2为两个无公共
内点的闭区域.
证 (1) 由于被积函数f (x , y ) ≡1，故由二重积分定义得
∑f (ξ, η) ∆σ⎰⎰d σ=lim λ
D
→0
i
i
i =1
n
n
i
=lim ∑∆σi =lim σ=σ.
λ→0
i =1
n
λ→0
(2) ⎰⎰kf (x , y )d σ=lim ∑kf (ξi , ηi ) ∆σi =k lim ∑f (ξi , ηi ) ∆σi =k ⎰⎰f (x , y )d σ.
D
n
λ→0
i =1
λ→0
i =1
D
(3) 因为函数f (x , y ) 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使D 1和D 2的公共边界永远是一条分割线。这样f (x , y ) 在
D 1 D 2上的积分和就等于D 1上的积分和加D 2上的积分和，记为
D 1 D 2
∑f (ξi , ηi ) ∆σi =∑f (ξi , ηi ) ∆σi +∑f (ξi , ηi ) ∆σi .
D 1
D 2
令所有∆σi 的直径的最大值λ→0，上式两端同时取极限，即得
D 1 D 2
⎰⎰f (x , y )d σ=⎰⎰f (x , y )d σ+⎰⎰f (x , y )d σ.
D 1
D 2
4. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：
(1) ⎰⎰(x +y ) 2d σ与⎰⎰(x +y ) 3d σ，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线x +y =1所
D
D
围成；
(2) 成；
(3)
⎰⎰(x +y ) d σ与⎰⎰(x +y ) d σ，其中积分区域D 是由圆周(x -2)
D
D
232
+(y -1) 2=2所围
⎰⎰ln(x +y )d σ
D
与
⎰⎰[ln(x +y )]d σ
D
2
，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为
(1,0),(1,1),(2,0)；
(4) ⎰⎰ln(x +y )d σ与⎰⎰[ln(x +y )]2d σ，其中D ={(x , y ) 3≤x ≤5,0≤y ≤1}.
D
D
解 (1) 在积分区域D 上，0≤x +y ≤1，故有(x +y ) 3≤(x +y ) 2，根据二重积分的性质４，可得⎰⎰(x +y ) 3d σ≤⎰⎰(x +y ) 2d σ.
D
D
(2) 由于积分区域D 位于半平面{(x , y ) |x +y ≥1}内，故在D 上有(x +y ) 2≤(x +y ) 3．从而⎰⎰(x +y ) 2d σ≤⎰⎰(x +y ) 3d σ.
D
D
1x +y ≤2}(3) 由于积分区域D 位于条形区域{(x , y ) |≤内，故知D 上的点满足0≤l n x (+y ≤) ，从而有1[ln(x +y )]2≤ln(x +y ) ．因此⎰⎰[ln(x +y )]2d σ≤⎰⎰ln(x +y )d σ.
D
D
(4) 由于积分区域D 位于半平面{(x , y ) |x +y ≥e}内，故在D 上有ln(x +y ) ≥1，从而有[ln(x +y )]2≥ln(x +y ) ．因此⎰⎰[ln(x +y )]2d σ≥⎰⎰ln(x +y )d σ.
D
D
5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：
(1) I =⎰⎰xy (x +y )d σ其中D ={(x , y ) 0≤x ≤1,0≤y ≤1}；
D
(2) I =⎰⎰sin 2x sin 2y d σ其中D ={(x , y ) 0≤x ≤π,0≤y ≤π}；
D
(3) I =⎰⎰(x +y +1)d σ其中D ={(x , y ) 0≤x ≤1,0≤y ≤2}；
D
(4) I =⎰⎰(x 2+4y 2+9)d σ其中D ={(x , y ) x 2+y 2≤4}.
D
解 (1) 在积分区域D 上，0≤x ≤1，0≤y ≤1，从而0≤xy (x +y ) ≤2，又D 的面积等