初高中数学教材衔接（代数部分）
第一讲 数与式的运算
学习目标：
1、记住绝对值含义及绝对值方程、不等式的求法 2、记住乘法公式及其应用 3、记住二次根式的有关运算 4、会多项式的因式分解 记一记：
一、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
⎧a , a >0, ⎪
|a |=⎨0, a =0,
⎪-a , a
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：a -b 表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 绝对值方程：1、|x|=a(a>0) 则x=-a或x=a
2、| x-3|+|y+4|+|z+5| =0则绝对值不等式：1、|x|>a(a>0)则xa( 结论：若">"，则从两根的两边取之) 2、|x|0)则-a
零点分析法： 数形结合法：
练一练
1、化简：|x －4|－|2x －10|（4
2、解不等式 3|2x －10|>15
二、乘法公式
（1）平方差公式 (a +b )(a -b ) =a 2-b 2 ；
2
（2）完全平方公式 (a ±b ) 2=a 2±2a b +．b
2233
（3）立方和公式 (a +b ) (a -a b +b ) =a +；b
2233（4）立方差公式 (a -b ) (a +a b +b ) =a -；b
222
（5）三数和平方公式 (a +b +c ) 2=a +b +c 2+(a b +b c +；) a c
（6）两数和立方公式 (a +b ) 3=a 3+3a 2b +3a 2b +；b
（7）两数差立方公式 (a -b ) 3=a 3-3a 2b +3a 2b -．b
练一练:
1．填空： （1）1
a 2
12
9-
4
b =(
12
b +
13
a ) （ ）
； （2）(4m + ) 2=16m 2+4m +( ) ； (3 ) (a +2b -c ) 2=a 2+4b 2+c 2+( ) ．
2．选择题： （1）若x 2
+
12
m x +k 是一个完全平方式，则k 等于 （ （A ）m 2 （B ）
1
4m 2 （C ）1212
3m （D ）16
m （2）不论a ，b 为何实数，a 2+b 2-2a -4b +8的值 （ （A ）总是正数 （B ）总是负数
（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数
2、解答：
1、计算 (x +1)(x -1)(x 2-x +1)(x 2+x +1) ．
2、已知a +b +c =4，ab +bc +ac =4，求a 2+b 2+c 2的值
）
）
三、二次根式
一般地，形如a ≥0) 的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如
3a +
2b
等是无理式，而
+
2
2
x +
1，x +
2
+
y
2
1、分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式
与
+
一般
地，
b 与b 互为有理化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，
=a ≥0, b ≥0) ；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2、
=a =⎨
⎧a , a ≥0,
⎩-a , a
练一练：
1、填空： （1
1-__ ___；
（2
=(x -x 的取值范围是； （3
）=__ ___； （4
）若x =
2
2004
+
2005
=______ __．
2、
化简：⋅-
．
3 、 化简：（1
（2
四、因式分解
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1、十字相乘法
对二次三项式ax 2+bx+c进行分解因式
方法一 对a,c 进行分解a=a1*a2, c=c1*c2 ax 2+bx+c a 1 1 a 2c 2 -------------
a 1c 2 +a2c 1=b(一次项的系数) ax 2+bx+c=(a1x+c1)(a2+c2) 方法二 对b 进行分解 ax 2+bx+c
试值b=a1c 2 +a2c 1而a=a1*a2, c=c1*c2 ax 2+bx+c=(a1x+c1)(a2+c2) 练一练：
1、分解因式
（1）x 2+5x -6=__________________________________________________。 （2）x 2-5x +6=__________________________________________________。 （3）x 2+5x +6=__________________________________________________。 （4）x 2-5x -6=__________________________________________________。 （5）x 2-(a +1)x +a =__________________________________________________。 （6）x 2-11x +18=__________________________________________________。
2
（7）6x +7x +2=__________________________________________________。 （8）4m -12m +9=__________________________________________________。
2
（9）5+7x -6x =__________________________________________________。
22
（10）12x +xy -6y =__________________________________________________。 2、x -4x +=(x +3)(x + )
2
2
3、若x +ax +b =(x +2)(x -4)则a = ，b = 。 2、提公因式与分组分解
2
分解因式：
（1）x 3+9+3x 2+3x ； （2）2x 2+xy -y 2-4x +5y -6
3、求根法
令ax 2+bx +c =0(a ≠0) 求实数根x 1、x 2，则二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0) 就可分解为a (x -x 1)(x -x 2)
练习：分解因式（1）x +2x -1； （2）x +4xy -4y
2
2
2
4、公式法
（1）平方差公式 (a +b )(a -b ) =a 2-b 2；
2
（2）完全平方公式 (a ±b ) 2=a 2±2a b +．b 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
2233
（1）立方和公式 (a +b ) (a -a b +b ) =a +；b
2233（2）立方差公式 (a -b ) (a +a b +b ) =a -；b
222
（3）三数和平方公式 (a +b +c ) 2=a c +b +c 2+(a b +b c +；) a （4）两数和立方公式 (a +b ) 3=a 3+3a 2b +3a 2b +； b
（5）两数差立方公式 练习 把下列各式分解
1、-9(m -n )2
+(m +n )2
3、4-(x 2-4x +2)2
(a -b ) 3=a 3-3a 2b +3a 2b - b 2、3x 2
-
13
4、x 4-2x 2+1
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第二讲 函数与方程
一、正比例函数y=kx(k≠0)
K>0
k
≠0)
K>0,b>0 k>0,b0 x
K0
四、二次函数
1、表达式（1）一般式y=ax2+bx+c(a≠0) （2）顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)
（3）零点式y=a(x+x1)(x+x2) 其中(x1, 0)(x2, 0) 二次函数与x 轴的交点 2、图像和性质
2
二次函数y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0) 具有下列性质：
2
（1）当a ＞0时，函数y ＝ax ＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为(-对称轴为直线x ＝－
b 2a
b 2a
,
b
4ac -b 4a
2
) ，
；当x ＜-
b 2a
b 2a
时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞-
4ac -b 4a
2
2a
时，y 随着
x 的增大而增大；当x ＝-时，函数取最小值y ＝
2
．
b 2a ,
b 2a
（2）当a ＜0时，函数y ＝ax ＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为(-对称轴为直线x ＝－
b 2a
4ac -b 4a
2
) ，
；当x ＜-
b 2a
b 2a
时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞-
4ac -b 4a
2
时，y 随着
x 的增大而减小；当x ＝-
时，函数取最大值y ＝．
图2.2-4 图2.2-3
上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题． 练习
1、 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
小结：
函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象作图要领：
（1） 确定开口方向：由二次项系数a 决定 （2） 确定对称轴：对称轴方程为x =-（3） 确定顶点坐标（-b 2a
b 2a
，
4ac -b 4a
2
）
（4） 确定图象与x 轴的交点情况，
①若△>0则与x 轴有两个交点，可由方程x 2＋bx ＋c=0求出x 1,x 2
2
②若△=0则与x 轴有一个交点，可由方程x ＋bx ＋c=0求出x 1=x2 ③①若△
（5） 确定图象与y 轴的交点情况, 令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，
c ）
由以上各要素出草图。
小结：
抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 与x 轴交点个数与根的判别式Δ＝b 2－4ac 存在下列关系：
（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 与x 轴有两个交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 与x 轴有两个交点，则Δ＞0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 与x 轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 与x 轴有一个交点，则Δ＝0也成立．
（3）当Δ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 与x 轴没有交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．
Δ＝b 2－4ac>0 Δ＝b 2－4ac=0 Δ＝b 2－4ac
③
①
② 图2.3－2
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第三讲 方程与不等式
一、一元一次方程与不等式 1、ax+b=0 x=b/a
2、ax+b>0 x>b/a(a>0) x
我们知道，对于一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为 (x +
b
2a 4a
2
因为a ≠0，所以，4a ＞0．于是
（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数
) =
2
2
b -4ac
2
2
． ①
根
2a
（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
b
x 1＝x 2＝－；
2a
b 2
) 一定大（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x +2a
于或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
2
综上所述，对于一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2
＝（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
-b ±
b 2a
x 1，2
＝
-b ±2a
；
；
练一练
判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）x 2－3x ＋4＝0； （2）x 2－2ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(2a +1)＝0； （4）x 2－x ＋a ＝0
2、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）根与系数的关系
（1） 若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根
x 1=
则有
x 1+x 2=
-b +
-b +2a
，x 2=
-b -2a
，
2a
+
-b -
2a
=
2
-2b 2a
2
=-
b a
；
-b -b -(b -4ac ) 4ac c
x 1x 2=． ⋅===22
2a 2a 4a 4a a
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
b c 2
如果ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-，x 1·x 2＝．这一
a a
关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知
x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，
即 p ＝－(x 1＋x 2) ，q ＝x 1·x 2，
22
所以，方程x ＋px ＋q ＝0可化为 x －(x 1＋x 2) x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程22
x ＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x －(x 1＋x 2) x ＋x 1·x 2＝0．因此有 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x 2－(x 1＋x 2) x ＋x 1·x 2＝0．
练习： 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2) x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．
-b +
（2）设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则
x 1=
-b +
2a
，x 2=
-
-b -2a
，
=
∴| x1－x 2|
=
．
|a |a ||
2
练习 ： 关于x 的方程x ＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x1－x 2|＝2，求实数m 的值．
=
3、一元二不等式ax 2＋bx ＋c>0, ax 2＋bx ＋c
做一做
解不等式：
（1）x 2＋2x －3≤0； （2）x －x 2＋6＜0； （3）4x 2＋4x ＋1≥0； （4）x 2－6x ＋9≤0； （5）－4＋x －x 2＜0．
三、分式方程与分式不等式
分式不等式通常转化为整式不等式来解（同学来解） 1、2x -5 >0转化为（2x-5)(3x+2)>0 来解
3x +2
2、2x -5≥0 转化为（2x-5)(3x+2)≥0 且3x+2≠o 来解
3x +2
3、2x -5
3x +2
4、2x -5≤0转化为（2x-5)(3x+2)≤0 且3x+2≠o 来解
3x +2
四、一元高次方程与一元高次不等式
方法：将高次不等式化成一次因式积的形式，然后再应用数轴标根法求不等式的解 步骤：1、化一次因式的积
2、变不等式为方程求根 3、在数轴标根
4、穿针引线(注意“奇穿偶不穿”，奇指根出现的次数是奇次，偶指根出现的次数是偶次）
5、利用图形定解 例析：解不等式
(x+5x+4x)(x-3)(x+1)>0 解：令x(x2+5x+4)(x-3)2(x+1)2=0 x(x+1)(x+4)(x-3)(x+1)=0 x(x+1)3(x+4)(x-3)2=0 x=0,x=-1,x=-4,x=3
{ x│-43} 练习
解不等式x (x+2)(x-6)
3
4
2
2
2
3
2
2
2