n a a 与n 一、
例题：（10西城二模）一组按规律排列的整数5，7，11，19，„，第6个整数为_____，根据上述规律，第n 个整数为____（n 为正整数）。
∴第6个整数是26+3=67，第n 个整数是2n +3（n 为正整数）． 练习：
149161、（10怀柔二模）按一定规律排列的一列数依次为：, , , , ……，按此规
3579
律排列下去，这列数中的第5个数是，第n 个数是．
25n 2
答案：，
112n +1
111111
2、（09东城一模）„，
2310152635
按此规律排列下去，这列数中的第9个数是________． 答案：
1
n 2+(-1) n +1
例题：（10通州一模）某些植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽. 发芽规律见下表（设第一年前的新芽数为a ）
照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为.
解：第8年的老芽数是21a ，新芽数是13a ，总芽数是34a ，则比值为练习：
1、（08石景山一模）小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数，将这串令人费解的数从小到大的顺序排列为：1，1，2，3，5，8„„，则这列数的第8个数是． 答案:21
21
． 34
2、(09房山二模) 填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，请填出图4中的数字.
15
320
37
556
59
7108
答案：7,9,11,176
（(-1) n 与(-1) n +1）
例题：（09通州二模）12. 观察并分析下列数据，寻找规律： 0
，，－6，3，－23，，－32，„„那么第10个数据是 ；第n 个数据是 . ∴第10个数据是33 ，第n 个数据是(-1) n +1n -3． 练习：
1、（10房山一模）一组按规律排列的式子：
14916
, -, , -,...(a ≠0) ，其中第25811a a a a
8个式子是，第n 个式子是（n 为正整数）．
2
64n +1n 答案：-23，(-1) 3n -1a a
a 5a 8a 11
2、（10门头沟二模）一组按一定规律排列的式子：－a ，，－，，„，
234
2
（a ≠0）, 则第n 个式子是（n 为正整数）
a 3n -1
答案：(-1)
n
n
3、（09崇文一模）一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，„，其中第7个数是 ，第n 个数是（n 为正整数）．
1+(-1) n +1
(n +1) 答案：8，
2
例题：（08通州二模）世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则排在第10行
从左边数第3个位置上的数是． ∴第10行倒数第三个数是练习：
1、（08大兴一模）自然数按一定规律排成下表，那么第200行的第5个数是.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 „„„„„. „. „.. „„„. 答案：19905
2、如图的数字方阵中，方框所缺的数，按照适宜的规律填上（ ） A、100 B、128 C、129 D、130 答案：C
例题：（11平谷二模）如图，将连续的正整数1,2,3,4„„依次标在下列三角形中，那么2011这个数在第个三角形的顶点处（第二空填：上，左下，右下）．
111
-=． 7290360
∴2011这个数在第671个三角形的上顶点处． 故答案为：671，上． 练习：
1、（08崇文一模）观察下列等式：31-1=2，32-1=8，33-1=26，34-1=80，
35-1=242，„„. 通过观察，用你所发现的规律确定32008-1的个位数字是.
答案：3
2、右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D . 请你按图中箭头所指方向（即A →B →C →D →C →B →A →B →C →„的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，„，当数到12时，对应的字母是_____________；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是____________；当字母C 第2n +1次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是_______________（用含n 的代数式表示）. 答案：B ，603，6n+3
例题：（09平谷一模）已知：2⨯2=2+2, 3⨯3=3+3, 4⨯4=4+4, „„若×
b
11223310=b +10（a 、b 都是正整数），则a+b的最小值是 ∴a+b的最小值是19 练习：
１. （10密云一模）下面是按一定规律排列的一列数：
．
1⎛-1⎫
第1个数：- 1+⎪；
2⎝2⎭
1⎛-1⎫⎛(-1) 2⎫⎛(-1) 3⎫
第2个数：- 1+⎪ 1+⎪1+⎪；
3⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭
1⎛-1⎫⎛(-1) 2⎫⎛(-1) 3⎫⎛(-1) 4⎫⎛(-1) 5⎫
第3个数：- 1+⎪ 1+⎪1+⎪1+⎪1+⎪；
4⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭⎝5⎭⎝6⎭„„
232n -11⎛-1⎫⎛(-1) ⎫⎛(-1) ⎫⎛(-1) ⎫
第n 个数：- 1+⎪ 1+⎪1+⎪ 1+⎪．
n +1⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭⎝2n ⎭
那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ） A ．第10个数 答案：A
例题1：（10昌平一模）观察下列图案：
B．第11个数
C ．第12个数
D ．第13个数
第1个图案第2个图案第3个图案
个三角
照这样它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第5个图案中共有
形，第n （n ≥1，且n 为整数）个图案中三角形的个数为 （用含有n 的式子表示）．
解答：解：第5个图案中，有6+4×4=22（个）三角形；
第n 个图案中，有6+4（n-1）=4n+2（个）三角形．
例题2. （10西城一模）在平面直角坐标系中，我们称边长为1、且顶点的横、纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形．如图，在菱形ABCD 中，四个顶点坐标分别是（－8,0），（0,4），（8,0），（0，－4），则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是个；若菱形A n B n C n Dn 的四个顶点坐标分别为（－2n ,0），（0, n ），（2n ，0），（0，－n ）（n 为正整数），则菱形A n B n C n D n
能覆盖的单位格点正方形的个数为
（用含有n 的式子表示）. 答案为：4n 2-4n ．
练习：
．1、（10大兴一模）如图4所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是
x
第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形
(图4)
答案：n (n +2)
2、（08顺义二模）如图，图①，图②，图③，图④„„是用围棋棋子摆成的一
列具有一定规律的“山”字．则第n 个“山”字中的棋子个数是．
答案：5n+2
3、（08丰台二模）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：
„
第1个
第2个
第3个
图①
图②
图③
图④
„
请问第n 个图案中有白色纸片的张数为
A ．4n +3 B．3n +1 C ．n D ．2n +2 答案：B
4、（10丰台一模）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，A 3B 3C 3D 3„„每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A 10B 10C 10D 10四条边上的整点共有 个．
答案：80个.
例题：（10海淀一模）如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B 2D 1C 1的面积为S 1，△B D 3C 22
的面积为S 2，„，△B n +1D n C n 的面积为S n ，
则S 2=；S n =____（用含n 的式子表示）．
S 2=S△B3C2A -S △AC2D2=
112×4×3 - ×4× 223
即第n 个图形的面积S n = 练习：
3n
． n +1
1、（11丰台二模）已知：如图，在Rt △ABC 中，点D 1是斜边AB 的中点，过点D 1作D 1E 1⊥AC 于点E 1，联结BE 1交CD 1于点D 2；过点D 2作D 2E 2⊥AC 于点E 2，联结BE 2 交CD 1于点D 3；过点D 3作D 3E 3⊥AC 于点E 3，如此继续，可以依次得到点D 4、D 5、„、D n ，分别记△BD 1E 1、„、△BD n E n 的面△BD 2E 2、△BD 3E 3、积为S 1、S 2、S 3、„S n ．设△ABC 的面积是1, 则S 1=，S n =（用含n 的代数式表示）. 答案：S 1=
11
,S n = S ． 2△ABC 4(n +1)
3，5，7，9，，11 2、（10平谷一模）如图，∠AOB =45 ，过OA 上到点O 的距离分别为1，的点作OA 的垂线与OB
相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为
S 1，S 2，S 3，S 4， ．则第一个黑色梯形的面积S 1=； 观察图中的规律，第n(n为正整数) 个黑色梯形的面积
S n =．
答案：4, 8n-4
3、（10延庆二模）如图，P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P 3, P 4, , P n , ，记纸板P n 的面积为S n ，试计算求出
1
2
S 3-S 2=；并猜想得到S n -S n -1=(n ≥2) 答案：-
1
π
32, -
π1
2
3
() n -1
24
4、（10门头沟一模）如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，„„，如此作下去，若OA ＝OB ＝1，则第n
个等腰直角三角形的面积S n ＝________（n 为正整数）. 答案:2
5. （11延庆二模）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，
点A 的坐标为(1, 0) ，点D 的坐标为(0, 2) ． 延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ； 延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1„
n-2
B 2
A 1A O
B
B 1
按这样的规律进行下去，第3个正方形的面积为________； 第n 个正方形的面积为_____________（用含n 的代数式表示）．
C 2
答案：5×（
例题：（10丰台二模）如图，边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB =60°．联结对角线
343
），5×（）2n-2． 22
AC ，以AC 为边作第二个菱形ACC 1D 1，使∠D 1AC =60°；联结AC 1，再以AC 1为边作第三个菱形AC 1C 2D 2，使∠D 2AC 1=60°，„„．按此规律所作的第n 个菱形的边长为___________．
第1个菱形 第2个菱形 第3个菱形 „„ 第n 个菱形
边长 1 3练习：
1、09西城二模）如图，在平面直角坐标系中，B 1(0，1) ，
D C 1 2
3)
n -1
D A
B 2(0，3) ，B 3(0，6) ，B 4(0，10) ，„，以B 1B 2为对角线作第一个正方形A 1B 1C 1B 2，以B 2B 3为对角线作第一个正方（形A 2B 2C 2B 3，以B 3B 4为对角线作第一个正方形
A 3B 3C 3B 4，„，如果所作正方形的对角线B n B n +1都在y 轴上，且B n B n +1的长度依次增加1个单位，顶点A n 都在第一象限内（n ≥1，且n 为整数），那么A 1的纵坐标为
，用n 表示A n 的纵坐标
2(n +1)答案：2，.
2
2、（09延庆二模）如图，菱形AB 1C 1D 1的边长为1，∠B 1=60 ；作AD 2⊥BC 11于
点D 2，以AD 2为一边，做第二个菱形AB 2C 2D 2，使∠B 2=60 ；作AD 3⊥B 2C 2于点D 3，以AD 3为一边做第三个菱形AB 3C 3D 3，使∠B 3=60 ； 依此类推，这样做的第n 个菱形AB n C n D n 的边AD n 的长是
⎛⎫
⎪答案： 2⎪⎝⎭
n -1
C 3B 2 D 3
A
B 1
D 2
B 3
D 1
1
C 2
，AC =2，把边 3、（08昌平一模）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90 ，BC =1
长分别为x 1，x 2，x 3， ，x n 的n 个正方形依次放入△ABC 中：第
一个正方形CM 1P 1N 1的顶点分别放在Rt △ABC 的各边上；第二个正方形M 1M 2P 2N 2的顶点分别放在Rt △APM 11的各边上, „„, 其他正方形依次放入。则第三个正方形的边长x 3为，第n 个正方形的边长x n =（n 为正整数）.
B
8⎛2⎫
答案：， ⎪
27⎝3⎭
n
N 1
x 1N
2
P 1
x 2
P 1
C
x 3
M 2
M 1
A
4. （10朝阳一模）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC 的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．
1
答案：
8
5. （08宣武一模）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有一组数：1，1，2，3，5，8，13，„．其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图所示的正方形：
再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下图所示的矩形，并记为①、②、③、④．相应矩形的周长如下表所示：
若按此规律继续⑩的矩形周长是. 答案：466.
6. （09门头沟一模）如图，每个多边形的边长都大于2，分别以多边形的各顶点为圆心，1为半径画弧（弧的端点分别在多边形的相邻两边上），则第6个图形中所有弧的弧长的和是，第n 个图形中所有弧的弧长的和是（n 为正整数）
作矩形，则序号为
．．．
第1个
第2个第3个
答案：10π，(n +4)π.
7、（10崇文二模）如图，在∆ABC 中，
∠A =α，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分
线交于点A 1，得∠A 1，则∠A 1=．∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得
∠A 2，„„，∠A 2009BC 的平分线与∠A 2009CD 的平分线交于点A 2010，得∠A 2010，
则∠A 2010=．
答案：∠A 1=
11
α，∠A 2010= 2010α 22
例1、(09延庆一模) 一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它
1) ，然后接着按图中箭头所示方向运动, 即从原点运动到(0，
(0，0) →(01)，→(11)，→(1，0) →…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是_______
第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）． 练习：
（
08宣武二模）如图，已知A 1(1，0) ，A 2(11)，，A 3(-11) ，，则点A 2008的坐标为______________． A 4(-1，-1) ，A 5(2，-1) ，答案：（-502，-502）．
1
3
y
3 2 1
„ 五、设计类
例题： 观察下面的图形（每一个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：
（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；
（2）猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
解析:（1），对应的图形是（2）
。
练习：(2005年大连市中考题) 在数学活动中，小明为了求
的值（结果用n 表示），设计如图a 所示的图形。 （1）
请你利用这个几何图形求的值为。 （2）请你利用图b ，
再设计一个能求的值的几何图形。
(1)（2）可设计如图1，图2， 图3，
图4所示的方案：