第十三章 整式的乘除
一, 教学目标
本章主要内容有五节:
• 幂的运算 • 整式的乘法 • 乘法公式 • 整式的除法 • 因式分解
1. 掌握正整数幂的运算性质，会用它们进行计算．
2. 了解整式的乘法法则（其中的多项式相乘仅指一次式相乘），会进行简单的整式的乘法运算．
3. 会推导乘法公式，了解公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算．
4. 通过从幂运算到多项式的乘法，再到乘法公式的教学，初步理解“特殊→一般→特殊”的认识规律．
5. 探索并了解单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并能进行简单的除法运算.
6. 会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）． 二, 知识结构图
三, 教材特点（第一节）
1. 乘方的意义→同底数幂的乘法→幂的乘方，乘方的意义+乘法交换律→积的乘方→同底数幂的除法.
2. “做一做”有一定的梯度，是性质探索的过程，教学时可以适当发挥. （第二节）
1. 乘法的运算律+同底数幂的乘法→单项式乘法. 2. 借助几何背景理解乘法的意义 .
3. 培养学生的数感, 估算能力和思维严密性． 4. 乘法分配律+单项式乘法→单项式乘以多项式． 5. 导图问题+乘法分配律→多项式乘法． （第三节）
1. 两数和乘以它们的差、两数和的平方公式均来自整式的乘法, 又应用于整式的乘法.
2. 两数差的平方公式可以由“和”的情形来理解. （第四节）
1. 我们要充分让学生去发表自己的意见。 通过“试一试”的计算结果，
归纳得出公式，然后再利用除法的意义来说明这个公式的道理。 2, 培养学生大胆猜想，善于观察、归纳的数学思维品质, 培养学生的整体意识.
3, 单项式除以单项式是同底数幂除法的直接延伸和应用，教材不是直接给出法则。 （第五节）
1. 整式的乘法+“因数分解”→因式分解．整式的乘法可以用来检验因式分解的正确性(可以类比去括号与添括号) ． 2. 把握要求, 不随意拔高．
3, 在一定程度上体现了数学的应用价值．
二、 概括
1. 本章主要研究整式的乘法与除法运算，其运算法则从根本上说是运用了数的运算律，最终都可以归结为单项式乘以单项式与单项式除以单项式，其中幂的运算是它们的基础．
2. 在多项式乘以多项式中，有一些特殊形式的乘法运算结果较为简洁，在计算中可以作为乘法公式直接运用．学习中要注意掌握这些公式的结构特点，以便能准确地运用公式来简化计算．
3. 因式分解与因数分解类似，它与整式乘法的过程恰好相反，我们可以运用整式的乘法得到因式分解的方法，也可以运用整式乘法来检验因式分解的正确性．
第一课 同底数幂的乘法
学习目标：了解并应用同底数幂的法则解决有关问题 重点与难点：灵活应用同底数幂的法则解决有关问题。 学习过程：
做一做 （1）23×24＝（2×2×2）×（2×2×2×2）＝2（ ）；
（2）53×54＝________________________＝5（ ）； 探索
把指数用字母m 、n （m 、n 为正整数）表示，你能写出a m • a n 的结果吗？
（3）a 3 • a4＝________________________＝a （ ）.
概括
a ⋅a ⋅a ⋅a ⋅⋅⋅⋅⋅a ⋅a ）(a⋅a ⋅a ⋅a ⋅⋅⋅⋅⋅a ⋅a ）a m • a n ＝(
( ) 个
（ ）
⋅a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅a ＝a ＝a
( ) 个
（ ）个
有 a m • a n ＝a （ ）（m 、n 为正整数）
这就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加
例1计算： （1）103×104；
练习（A 组） 1、判断题： （1）
（2）a • a3 （3）a • a3•a 5
a a
5
47
=
2
a
7
28
（ ） （2）x +x =
33
x
6
（ ） （3）
a ∙a ∙a =a
1
p
（ ） （4）
x
5
∙x =2x
（
2
55
（ ） 2
、（
m
n
）
a
m
∙a =____________(m , n 为正整数)
n
）
a ∙a ∙a =_________(m , n , p 为正整数)
2
3、（1）a ∙a =______ （2）
7
8
m
4
∙m =_______
2
4
（3）x ∙x ∙x =_______ （4）3∙3∙3=_____
（5）（7）
10∙10
a
2n
34
=_______ （6）() ∙() =______
22
3n
m
23
∙a ∙a =________ （8）2⨯4⨯8⨯2=2____
2
5
（9）-3⨯3=______ （10）a
2
m +n
∙a
2
m -n
=_______
3
（11）(-y ) ∙(-y ) =_______ （12）-2∙(-2) ∙(-2) =______ 4、（1）若
a
5
m
x +14
=3, a =4, 则a m ∙a n =_________（2）若3=3, 则x=___________
n
（3）x ∙_______=x A
2
5+m
（4）2a ∙a -a
435
a
a
2
=______
5、下列运算中，正确的是（ ）
a
4
3
∙a =a
8
47
B
a
3
+a =a
47
C
3
∙a =a
412
D -a ∙a =-a
6、下列各式正确的是（ ） A
a
m
∙a =2a B
m
m
a
7
m -1
∙a =a
m -1
C
a
m
∙a =a
m
D
a
m -1
∙a =a
7、下列各式计算的结果等于x 的是（ ） A
(-x )
3
4
∙(-x )
4
3
B
(-x ) ∙(-x )
6
C
(-x ) ∙x
43
D (-x ) ∙(-x )
8、计算： （1）102×105
（4）a ∙a ∙a （5）(-a ) ∙(-a ) ∙(-a )
（6）-x ∙(-x ) ∙x （7）(-y ) ∙y ∙(-y )
3
5
2
3
4
7
（2）a 3• a7 （3）x • x5• x7
247
234
（8）(-a ) ∙(-b ) +(-a B 组 1、（1）若
5
2
3
23
b )
（9）
x
4
∙x -x
n -1n -2
∙x
5
a
m
=3, a =4, 则a
n
m +n
=_________（2）若
3
x +1
=81, 则x=___________
n
5
（3）x ∙_______=2、-a A
n -1
n -1
x
6+m
（4）3a ∙a -7a
6
a
1+n
=______
∙(-a ) 等于（ ）
n -1
a
2n -1
B -2a
n +5
x
3
C
a
2n -2
D 0
3、如果a ∙a =a ，那么x 等于（ ）
A 2-n B 2+n C -2-n D n-2
4、计算 （1）(-a ) ∙a
课后练习： 1、(1)若
(2)
5
2n -3
-a
2n
(-a )
2
（2）8⨯2∙4(-2)
5
6
(-2)
103
m
2
∙10=10
m
m 2004
，则m=____________
4m +3
∙27∙_______=3
2
4
(3)若2∙8=2，则n=__________
33n
2、(x -y ) ∙(y -x ) =（ ） A
(x -y )
6
B
100
(x -y )
8
C
-(x -y )
6
D
x -y
6
6
3、计算3100⨯(-3) 的结果是（ ）
A -2-m B 2-m C 2+m D m-2
4、计算： （1）a ∙a
3
x -1
+a
x -2
a
4
（2）x
1-n
∙x
4+n
∙(-x )
3
（3）(m -n ) ∙(n -m )
23
(n -m )
4
（4）y
4-n
∙
y
4+n
∙(-y )
3
（5）(-y ) ∙(-y ) +(-y 4y 3) （6）(-x ) 3∙(-y ) 2+(-3y 2)
x
4
3
课后小测：
1（1）23∙23∙a 5=________（3）(-2) ∙23∙(-2) =________ （3）a 3∙a ∙a 5=________（4）-a 3∙(-a ) ∙a 7=________ （5）x 3m ∙x 2m ∙x =________（6）y 2、下列各式正确的个数是（ ） （1）∙
2n +1
2
2
5
∙
y y
∙
3n -2
=________
a a
66
44838
=2a （2）（3）∙∙=+=x x x T T T
12
x （4）y
115
+
y
5
+
y
5
=5y
5
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
3、下列各式能用同底数幂乘法法则进行计算的是（ ） A C
(x -y )
2
∙(x +y ) B
2
2
(-x -y ) ∙(x +y )
2
2
3
(x +y )
2
+(x +y ) D -(x -y ) ∙(-x -y )
4、如果x
m -3
∙x =
n
x
2
，那么n 等于( )
A m-1 B m+5 C 4-m D 5-m
5、（1）(-2) ∙(-2) ∙2 （2）x ∙(-x ) ∙(-x ) ∙(-x )
5
2
4
2
4
3
第二课 幂的乘方
学习目标：通过探索，了解幂的乘方的运算法则，并运用法则熟练地进行相关的计算。
重点与难点：运用法则熟练地进行幂的乘方的相关的计算。 学习过程：
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空： （1）（23）2＝23×23＝2（ ）； （2）（32）3＝32×32×32＝3（ ）；
（
（3）（a 3）4＝a 3• a3• a3• a3＝a ）； 概括
（a ⋅ a ⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅a ）（a m ）n ＝＝a
( ) 个
m m m
m ＋m ＋... ＋m
( ) 个
= a( )
有（a m ）n ＝a ( ) （m 、n 为正整数） 这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。
例2 计算：
（1）（103）5
（2）（b ）
34
练习：（A 组）
1、判断下列计算是否正确，并简要说明理由
（1）(a3) 5=a8； （2）a 3 • a5＝a 15； （3）（a 2）3 • a4 = a9
2、（1）
(a )
2
m
n
=___________ (2)
[(a
m n ](m , n , p 均为正数) =___________
)
p
(3)
(-2
2
3=___________ (4) )
2
(-32) =___________
2
3
(5)(-3
)
=___________ （6）-(3
3
)
2
=___________
(7) [(x +y ) 2]=___________ (8)
4
[(x
23]=___________ )
5
2
2
(9)(-103) ⨯10=___________ (10) [(a -b ) 2]=___________
2、（1）若(a
2
2
)
m
=(a m ) (m , n 为正整数) ，则n=_________
3
3
2
n
（2）(a 4) ∙(a 3) =___________ （3）(x 2) +2(x 3) =___________
（4）a =(______)=(_____)=___________
12
64
3、m 不可以写成（ ） A C
12
(m 6) B
6
(m 3) ∙m
2
2
6
m
2
∙m ∙m
9
3
6
D
(-m ) ∙(-m ) ∙(-m ) ∙(-m )
4、下列各式正确的是（ ） A
(y )
3
3
=
y
2
27
B
(-x ) =-x
2
3
6
8
C [(
a
22]=a 6 D -) 2
(-m )
2
4
=m
2n
5、下列计算错误的是（ ） A [(a +b )
]
3
=(a +b ) B [(x +y )
n
mn
6
]
5
=(x +y )
n
2n +5
C [(x +y )
2
m
]=(x +y )
mn +n
D [(x +y ) m +1]=(x +y )
24
6、(a 3) +a ∙a 等于（ ）
A
2a
9
B
5m +1
2a
6
C
a
6
+a D
8
a
12
7、下列各式与x A
相等的是（ ）
(x ) 2
5
m +1
B
5
(x m +1) C
5
x (x )
5
m
D
x x x
10
5m
8、[(A
32]等于（ ） )
2
13
B
2
21
C
2
30
D
2
3
9、计算下列各式： （1）（22）2；
（2）(y2) 5 （3）（x 4）3 （4）
(-
m
b )
（4）（y 3）2 • （y 2）3 （5）a ∙(-a ) ∙(-a ) （6）
54
2
3∙-7 (x ) x x
2
B 组1、（1）(x
7
m
) ∙(x )
n
n
m
=___________ （2）a ∙(a 2) ∙(-a 2) =___________
2
2
3
（3）(-x 6) =___________ （4）(a n +1) ∙(a 2n +1) =___________ 2、（1）(-y 2) ∙(-y 3) =__________________
（2）[(m -n ) 3]∙[(n -m ) p ]=___________________ （3）(-a -b
p
2
3
2
) ∙(-a -b )
3
2n
=___________________
2n +1
3、若n 是正整数，a =-1时，则-(-a 2n )
的值是（ ）
A 1 B -1 C 0 D -1或1 4、计算： （
5
1）
2
2
4657
2(a 3) +a (a 4) +a (a 3) +a ∙a
422
（2）
a (-a ) +(-a ) (-a ) [-(-a )]
5、若a =5, b =3, 则a
6、已知3⨯9=3, 求n 的值
课后练习： 1、(1)
n
7
3n
2n
6n
2
2
3
b
4n
的值是多少？
(-2
2=___________ (2) )
2
4
(-33) =___________
2
2
(3)(-22) =___________ （4）-(22) =___________ (5) [(x -y ) 2]=___________ (6)
5
[-(x
23]=___________ )
2
4
2
(7)(-102) ⨯(-10) =___________ (8) [(a +b ) 3]=___________
3
2、m 不可以写成（ ） A C
14
(m ) m
5
7
7
B
3
m
3
∙m ∙m ∙m ∙(-m
6
452
(m 3) D
(-m )
3
2
)
2
∙(-m ) ∙(-m )
38
3、下列各式正确的是（ ） A
(y )
a
3
3
4
=
3
y
2
7
B
(-x )
=-x
4
6
C [(
33]=a 27 D )
4
(-m ) =m
-a
6
2
4、(-a 2) +2a ∙(-a ) 等于（ ） A
a
12
B
-3a
6
C
+2a D
8
a
6
4m +5
5、下列各式与x A
相等的是（ ）
(x )
4
4
m +1
B
x x x
234m
C
x (x )
4
m
D
(x m +1)
6、[(A
3
23]等于（ ） )
4
3
9
B
3
20
C
3
24
D
3
3
10
7计算：
（1）a ∙(-a ) ∙(-a ) （2）2
3
2
3
1124∙-
(-x ) x 3x x
8、若a =2, a =3, 则a
课后小测： 1、判断： （1）(3x +2y
5
5
m
n
m +n
的值是多少？
)
5
3
∙(3y +2x ) =(3x +2y )
15
25
（2）x +x +x =3x （3）x ∙x +x ∙x =2x
2
3
3
2
5
第三课 积的乘方
学习目标：通过探索，了解积的乘方的运算法则，并运用法则熟练地进行相关的计算。
重点与难点：运用法则熟练地进行积的乘方的相关的计算。 学习过程： 探索
（1）(ab)2 = (ab) • (ab) = (aa) • (bb) = a ( )b ( ) （2）（ab ）3＝__________________________＝__________________________ ＝ a ( )b ( )； （3）（ab ）4＝__________________________＝__________________________ ＝ a ( )b ( )。
设n 为正整数，（ab ）n 的结果是什么呢？ 概括
（ab) ⋅(ab) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(ab ）（a ⋅a ⋅⋅⋅ a ）b ⋅b ⋅⋅⋅ b ）（ab ）n ＝ •（ ＝ a n b n ＝
n 个
n 个n 个
有（ab ）n ＝ a n b n （n 为正整数）
例3 计算： （1）（2b ）3； （4）（－3x ）4
练习：（A 组） 1、判断： （1）（xy 3）2＝xy 6； （3）(3xy ) =9x
3
3
（2）（2×a 3）2 （3）（－a ）3；
3
（2）（－2x ）3＝－2x 3
2
y
（4）(-3
ab )
2
=81a b
2
2、（1）（3×105）2 =___________ （3）（－2x ）3 =___________ （2）（2x ）2=___________
（4）a 2 • （ab ）3=___________
2
（5）（ab ）3 • (ac)4. =__________ （6）(-2a 2b 4) =_________ （7）(9)(2
(-2a b )
33
3
2
3
=_______ (8)
(-3b )
3
2n
3
=___________
⨯103) =_________
(10)(-xy ) -x 3、（1）若(a
n
y
3
3
(11)-(-3ab 2) =_________ =__________
3
⋅b ⋅b ) =a 9b 15，则m=________,n=__________
2
2
2
10
m
(2)(___)∙a =(___)=[a ⋅(____)]∙a =a
4、计算(-2a 2) 的结果是（ ） A
2
2a 4
4
B
-2a 4
C
4a 4
D
-4a
A C
5、下列计算正确的是（ ）
(6x y ) =12x y
6
12
2
2
4
B
(x ) +(-x )
2
3
3
2
=0
(3⨯10)
x
2
4
33123=
(2⨯10) 6⨯10 D -(3⨯2) =(-3⨯2)
6、下列计算正确的是（ ） A C
∙x =
3
x
9
6
B
x
3
∙x =
2
2
x
3
5
5
(x ) x
=
2m
3
2
D
m
2
(2x ) ∙(3x ) =5x
m
2
7、下列等式成立的个数是（ ） （1）a
2m 2m 2m
=(-a 2) （2）a =(a m ) （3）a =(a 2) （4）a =(-a m )
A 4个 B 3 个 C 2 个 D 1个 8、下面的计算正确的是（ ） A C
m m
2
+m =m B ÷m =m D
8
2
3
35
m
2
∙m =m
36
6
2
m
∙4=2
n m +2n
9、下面计算，结果是a 的是（ ） A
a ∙a
24
B
a +a
44
C
(a )
4
2
D
2a
4
10、计算下列各题： （1）（3a ）2 （2）（－3a ）3 （3）（ab 2）2 ×103）3
（5）（103）3 （6）（a 3）7 （7）（x 2）4； 3 • a5
（4）（－2
（8）（a 2）•
2
n
（9）(a
n 3n
b ) +(a b )
26
（10）a ∙a ∙a
34
+(-2a 2)
4
11、有若干张边长为a 的正方形硬纸卡片，你能拼出一个新的正方形吗？请你用不同的方法表示新正方形的面积。从不同的表示方法中，你能发现什么？
B 组： 1、判断：
（1）(-1x 3y 2) =x 82、（1）4
1998
3
6
y
5
4
（2）(-x 3y ) =1
2x y
12
4
⨯0. 25
1997
=__________ （2）(2⨯103) =_____________
2000
3
（3） （4）(-5) (x 2-n ⋅x n -1) =__________4
2
2
⨯(0. 8)
2001
=________
3、已知a -b ++(a +2b ) =0, 则ab =___________ 4、计算2
100
⨯(-) 等于（ ） 2
1101
A -1 B -1 C -2 D 5、如果(a
n
⋅b ⋅b ) =a b
m
3
915
，那么m,n 的值为（ ）
A m=9,n= -4 B m=3,n= -4 C m=4,n=3 D m=9,n=6
6、计算：
（1）2⨯4⨯(-0. 125)
4
5
4
（2）(x 2y 3) +x 3⋅x
2
(y 2)
3
课后练习：
1、（1）(ab ) =__________ （2）(abc ) =__________(n 为正整数)
32333
2、（1）(-a b ) =__________ （2）(-ab ) -a b =__________ 2
n n
3
（3）(-3x
2
y )
2
（4）(0. 2⨯10=__________
7
)
2
=__________
4
3、下列计算中，错误的是（ ）
46
A (a 2b 3) =a b B
2
(3x y )
22
2
=9x
2
4
y
6
C
(-x y )
3
=-x
3
y
3
D
6
(-m n )
32
=m n
4
4、如果(a
n m
b b )
=a b
12
，那么（ ）
A m=4,n= 2 B m=2,n= 4 C m=3,n=2 D m=2,n=3 5、计算： （1）(-x
课后小测： 1、（1）(a
n 3n
2∙32 （2）23+3∙∙
(x y ) x x (y 2) y ) (-x y )
3
2
2
3
b )
3
3
=________ （2）(a
2n
b ) =___________
2
3
(3) (-x 2y 3) =________ (4) 2、下面的计算正确的是（ ） A C
(-x y ) m
2
32
=___________
m
2
∙m =m B
3
2
35
+m =m
n
mn
35
(m n )
=m
2
5
n
2
D
2
m
∙2=2
2
3、计算： （1）(-x
332
y ) （2）-(-x y ) +(x 2y
) ∙y
3
第四课 单项式与单项式相乘
学习目标：经历探究、归纳的过程，了解单项式乘以单项式的法则，并熟练地运用法则进行相关的运算。
重点与难点：熟练地运用法则进行单项式乘以单项式的相关的运算。 学习过程： 例1 计算：
（1） 3x 2y • （－2xy 3） (2)（－5a 2b 3）• （－4b 2c ）
概括
单项式和单项式相乘，只要将他们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。
例2 卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×103米/秒，则卫星运
行3×102秒所走的路程约是多少？
练习：（A 组） 1、（1）
2
2x
5
3
∙3x =______________ （2）
5
3a ∙2a 3=_____________
（3）
4
4x ∙(-3x 2)
3
=_____________ （4）
5x ∙2x 3=_____________
（5）
2
(-2b ) ∙(-4b 3)
n
=_____________ （6）
(-a ) ∙(-2a ) =_____________
2、单项式2x
m +2
与-1
x
y
3
的和仍是单项式，则m+n=_______________
3、(-2abc ) ∙(-abc ) 的运算结果是（ ） A -4555 B -2555
a b c a b c C 8555 D -8666
a b c a b c
2
4、计算：
（1）3a 2 • 2a3 （2）（－9a 2b 3）• 8ab2
（3）（－3a 2）3 • （－2a 3）2 （4）－3xy 2z • （x 2y ）2
(5)4
a x
3
2
∙(-3
(6)
a x )
2
3
-5a b
23
∙(-3a
)
(7)3x （9）
6
∙(-2x 3) (8)
2
3(a 2) ∙(-2a 3)
32
(4⨯10) ⨯(8⨯10)
3
6
（10）
4
(4⨯10) ⨯(5⨯10) ⨯(3⨯10)
5
6
5、光速约为3×108米/秒，太阳光射到地球上的时间约为5×102秒，则地球与太阳的距离约是多少米？
6、小明的步长为a 厘米，他量得客厅常15步，宽14步，请问小明家客厅有多少平方米？
B 组
1、a -2的最小值是______________，此时a=___________ 2、代数式
3、(-3x
-2a
)
2
2
+3的最大值是_________，此时a=_________________
∙(3x y 23)
z
(2y )
2
的结果为（ ）
A -1083y 43 B 1083y 43 C 182y 33 D
x x x z z z
-18x 3y 4z 3
4、下列计算正确的有（ ）个 （1）3x 2∙（3）(6
5
3=（2）(54y 2) ∙(42y 3) =(206y 5) 6x 2x x x x
3
a 3b 2c ) ∙(-4a b c 3)
=
-24a 3b 5c 3
（4）(3⨯102) ⨯(2⨯103) ⨯(5⨯104) =30⨯109
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 7、计算： 6、a 7、已知
n
n 2n 1
=, b =3, 求(ab ) 的值。 2
(-x y )
2
3
∙(2y 3x
) ∙(-9x y 2z )
2
9a b
n -6-2-n
, -2a
3m +1
b
2n
的积与5a
4
b
是同类项，求m+n的值。
课后练习： 1、计算 （1）3a 2∙ （3）8a
2a
3 （2）（1）5x 3 • 8x2
b
2
3∙(-92b 3) （4）(-32) ∙(-a 2a )
a
32
（5）-3
（7）2x 2 •（－3x ）4
2、单项式-3x 2-m y 与33y n 的和仍是单项式，则m+n=_______________
x
x y z
2
∙(x 2y
12 11
（6）11x •（－12x ）； )
2
（8）（－8xy 2）•（－
1
x ）3 2
3、有一个长方体水池的长、宽、高分别为2⨯103, 9⨯102, 4⨯102，求这个水池的容积。
课后小测：
1、（1）2y 2∙3y 4 （2）-5a
（3）6b 3∙(-
∙a 4
4
（4）) ∙(-m 3) (-4m 2b )
4