第3章 3.1.2
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．对于空间中任意三个向量a ，b, 2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 C ．不共面向量
B ．共线向量
D ．既不共线也不共面向量
2．当|a |＝|b |≠0，且a ，b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( ) A ．共面 C ．共线
B ．不共面 D ．无法确定
→→1→
3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ， OM＝xOA OB ＋
3
1，则x 的值为( ) 3
A ．3 1C. 3
B ．0 D ．1
2
4．已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ、μ∈R 且λ＋μ≠0) ，则( )
A ．a ∥e 1
C ．a 与e 1，e 2共面
二、填空题(每小题5分，共10分)
B ．a ∥e 2
2
D ．以上三种情况均有可能
5．已知O 是空间任一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA ＝2xBO ＋3yCO ＋4zDO ，则2x ＋3y ＋4z ＝________.
6．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实
→→→→
→→→
数λ，m ，n ，使λOA ＋mOB ＋nOC ＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
7. 已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，M 、N 分别为BC 、PD 的中点，求满足M N ＝xAB ＋yAD ＋zAP 的实数x ，y ，z 的值．
→→→→
8. 如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AD 1中点，
→→
N 是BD 中点，判断MN 与D 1C 是否共线？
尖子生题库 ☆☆☆
9．(10分) 如图，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，点H 为PC 上的点，
且
PH 1AG
＝点G 在AH 上，且＝m . 若G ，B ，P ，D 四点共面，求m 的值．
HC 2AH
参考答案
1、答案： A
2、解析： 由加法法则知：a ＋b 与a －b 可以是菱形的对角线． 答案： A
1→→1→1→
3、解析： ∵OM ＝xOA ＋OC ，且M 、A 、B 、C 四点共面，∴x ＋
33311
＋1，x ＝. 故选C. 33
答案： C
4、解析： 当λ＝0，μ≠0时，a ＝μe 2，则a ∥e 2； 当λ≠0，μ＝0时，a ＝λe 1，则a ∥e 1； 当λ≠0，μ≠0时，a 与e 1，e 2共面． 答案： D
→→→→5、解析： ∵A 、B 、C 、D 共面，∴OA ＝OB ＋λB C ＋μBD
＝OB ＋λ(O C －OB ) ＋μ(O D －OB ) ＝(1－λ－μ) OB＋λO C ＋μOD ＝(λ＋μ－1) BO－λCO －μDO ＝2xBO ＋3yCO ＋4zDO ，
∴2x ＋3y ＋4z ＝(λ＋μ－1) ＋(－λ) ＋(－μ) ＝－1. 答案： －1
6、解析： ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在唯一实数k 使AB ＝kAC ，
→→→
→→
→→
→
→
→→
→→→
→→
→→→→→→
即O B －OA ＝k (OC －O A ) ，∴(k －1) OA＋OB －kOC ＝0，
→→→
又λOA ＋mOB ＋nOC ＝0， 令λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ， 则λ＋m ＋n ＝0.
答案： 0
7、解析： MN ＝MC ＋CD ＋DN 1→→1→＝BC ＋BA ＋DP 221→→1→→＝AD －AB ＋(AP －AD ) 22
→→→→
→1→＝－AB ＋AP ，
2
1
∴x ＝－1，y ＝0，z 2
8、解析： ∵M ，N 分别是AD 1，BD 的中点，四边形ABCD 为平行四边形，连结AC ，则N 为AC 的中点．
1→→→→1→1→1→→
∴MN ＝A N －A M ＝A C －AD 1＝(A C －AD 1) ＝D 1C
2222
→→
∴MN 与D 1C 共线．
9、解析： 连结BD ，BG ，∵AB ＝PB －PA 且AB ＝DC ，∴DC ＝PB －PA . ∵PC ＝PD ＋DC ，∴PC ＝PD ＋PB －PA ＝－PA ＋PB ＋PD . ∵
→→→→→→→→
→→→→→→→→→→
PH 11→1→1→→1→1→→→
＝PH ＝＝(－PA ＋PB ＋PD ) ＝－PA ＋ PD. HC 233333
4→1→1→AG →→→→
又∵AH ＝PH －PA ，∴AH ＝－PA ＋PB ＋. m ，
333AH
4m m →m →→→→→→→→
∴AG ＝mAH ＋ PB＋. ∴BG ＝－A B ＋AG ＝PA －PB ＋AG ，
333
→⎛4m →⎛m ⎫→m →
∴BG ＝ 1－PA ＋ －1⎪PB ＋PD .
3⎭3⎝⎝3⎭
又∵B ，G ，P ，D 四点共面， 4m 3
∴1－＝0，∴m ＝.
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