现代金融风险的
对风险的测定方法研究一直不断，从经典的Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ的方差，到现代流行的风险度量ＶａＲ，从近几年提出的一致风险度量的概念到几种典型的一致性风
—ＣＶａＲ（ＥＳ）和谱风险测度险度量——
Ｍ!，金融风险管理的方法随着金融市场的不断发展而日新月异。本文的主要目的就是介绍为适应现代金融市场而提出的度量金融风险的主流模型及各自的特点和关系，进而进行对比研究。
一、方差
本文主要介绍金融风险资产收益率Ｘ的风险度量。
自从１９５２年Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ提出了基于方差为风险的最优资产组合选择理论后，方差（均方差）就成了一种极具影响力的经典的金融风险度量。方差计算简便，易于使用，而且已经有了相当成熟的理论。方差作为一种风险度量，显然具有次可加性，但是因它不具备后面将要介绍的一致性中的平移不变性和单调性，故不是一致性风险度量。此外，它还存在以下缺点：１．把收益高于均值部分的偏差也计入风险，这显然与事实不符；２．以收益均值作为回报基准，也与事实不符；３．只考虑平均偏差，并没对人们普遍关注的收益的左尾问题给予充分的考虑，因此不适合用来描述小概率事件发生所导致的巨大损失。
二、ＶａＲ
风险价值ＶａＲ（ＶａｌｕｅａｔＲｉｓｋ）是现在流行的一种金融风险度量，作为一个概念最早起源与２０世纪６０年代初对金融资产风险测量的研究。１９９４年，Ｊ．Ｐ．Ｍｏｒｇａｎ首先公布了它的ＶａＲ评估系统，使得ＶａＲ成为一种新的最受欢迎的市场风险测定和管理的工具。所谓ＶａＲ是指在市场正常的波动情形下，对金融工具可能损失的一种统计测度。
１．定义
ＰｈｉｌｉｐｐｅＪｏｒｉｏｎ给出的权威说法是“在正常的市场条件下，给定的置信区间的一个持有期内的最坏的预期损失”。用数学式可表达为
（Ｘ）＝ｉｎｆKｘ∈ｉ，Ｐ（Ｘ≤－ｘ）≥αRＶａＲα
其中α为给定的置信水平，一般取
α≤０．１（常取０．０１或０．０５），Ｘ为某一金融工具在给定持有期Δｔ内的收益。当Ｘ
为连续型随机变量时，则化为如下的等
）＝１－α。价形式：Ｐ（Ｘ＞－ＶａＲα
２．性质
设Ω是所有金融工具的收益变量的集合，金融风险度量ＶａＲ具有以下性质：
（１）平移不变性：ＶａＲα（Ｘ＋ｃ）＝ＶａＲα（Ｘ）－ｃ，$ｃ∈ｉ，$Ｘ∈Ω。
（２）正齐次性：ＶａＲα（ｃＸ）＝ｃＶａＲα（Ｘ）$ｃ≥０∈ｉ，$Ｘ∈Ω。
（３）$Ｘ，Ｙ∈Ω，若Ｘ，Ｙ一阶随机占优，即对所有单调非降函数φ，有Ｅ［φ（Ｘ）］≤Ｅ［φ（Ｙ）］，则ＶａＲ（Ｘ）≥ＶａＲ（Ｙ）。特别地，若Ｘ≤Ｙ，有ＶａＲ（Ｘ）≥ＶａＲ（Ｙ）。
，$ｃ∈ｉ，若（４）法则不变性：$Ｘ，Ｙ∈Ω
Ｐ（Ｘ≤ｃ）＝Ｐ（Ｙ≤ｃ），则ＶａＲα（Ｘ）＝ＶａＲα（Ｙ）。
（５）同单调可加性：对于任意非降函数ｆ，ｇ，$Ｘ∈Ω，若ｆｏＸ，ｇｏＸ∈Ω，则有ＶａＲα（ｆｏＸ＋ｇｏＸ）＝ＶａＲα（ｆｏＸ）＋ＶａＲα（ｇｏＸ）。
（６）ＶａＲα（Ｘ）＝－ＶａＲ１－α（－Ｘ）。３．计算
ＶａＲ的计算方法主要有：历史模拟法、分析法、ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ模拟和极值法。
（１）历史模拟法
历史模拟法是一种根据搜集到的历史数据，直接对金融工具的未来收益进行模拟，再根据ＶａＲ的定义，在给定的置信水平下计算潜在损失的方法。
（２）分析法
基于对收益分布的不同假设，分析法又有不同的类型。ｄｅｌｔａ－正态模型和ｄｅｌｔａ－ＧＡＲＣＨ模型都是假设金融工具的价值函数只和关于时间ｔ和市场因子Ｗ的一阶导数有关，不同之处在于ｄｅｌｔａ－正态模型假设金融工具的收益服从正态分布，而ｄｅｌｔａ－ＧＡＲＣＨ模型是假设收益率的均值和方差都随时间ｔ而改变，并且收益的分布形式可以是正态分布、ｔ分布、ＧＥＤ（广义误差）分布等椭圆分布，此时总有ＶａＲα＝－μ）σσｔ－ｚ（αｔ，其中μｔ、ｔ是时刻ｔ的收益均值和方差，ＶａＲα的上下标表示时间ｔ和置信水平α。ｇａｍｍａ－正态模型和ｇａｍｍａ－ＧＡＲＣＨ模型假设Ｐ（ｔ，
二Ｗ）只和时间ｔ和市场因子Ｗ的一阶、
阶导数有关，其余的分别和ｄｅｌｔａ－正态
ｔ
ｔ
模型ｄｅｌｔａ－ＧＡＲＣＨ模型类似。这些文献分别从不同的角度和侧面对ＶａＲ的算法进行了研究。
（３）ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ模拟法
ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ模拟法与历史模拟法十分相似，不同之处在于它不是直接利用每种资产的历史收益来估计风险值，而是利用随机模拟的方法构造出金融工具在指定日期中不同的价格走势，再推出金融工具在指定日期的价格分布，然后从分布中一目了然地读出金融工具的ＶａＲ值。ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ模拟法估算精度好，能较好地处理非线性问题，但计算量大，还有静态性的缺陷。Ｊａｍｓｈｕｄｉａｎ和Ｚｈｕ提出了一种ｓｃｅｎａｒｉｏ模拟算法，提高了运算效率。王春峰提出了ＭａｒｋｏｖＣｈａｉｎＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ（ＭＣＭＣ）模拟方法实现了动态模拟。
（４）极值法
大量实证表明很多金融资产收益分布呈“厚尾”现象，故可用极值分布来模拟它，现在常用的是ＰＯＴ（ＰｅａｋＯｖｅｒＴｈｒｅｓｈｏｌｄ）方法。给定一个指定的阀值ｕ，定义尾部分布函数Ｆｕ（ｙ）＝Ｐ（－Ｘ－ｕ≤ｙ｜－Ｘ＞ｕ），０≤ｙ，则有Ｆｕ（ｙ）≈Ｇξσ（ｙ），ｕ→∞，其中Ｇξσ（ｙ）＝
１－（１＋ξσ）－１／ξξ≠０
，ξ，σ是参－ｙ／σ
１－ｅξ＝０
，其中Ｎｕ数；ＶａＲα（Ｘ）＝ｕ＋σ［（ｎα／Ｎｕ）－ξ－１］／ξ
是－Ｘ的样本大于ｕ的个数。
此外，ＤａｗｉｄＬｉ（１９９９）提出了使用四阶距统计量估计ＶａＲ上下限的方法，这
(
种方法不需要对分布做任何假设，简便易行，但是精度难以得到保证。
４．ＶａＲ的作用及优缺点
目前，ＶａＲ作为一种流行的金融风险测量和控制方法，被越来越多的金融机构用来实施金融监管，及对资源进行有效配置以降低风险；ＶａＲ将市场风险概括为一个简单的数字，其经济意义简明易懂。但这并不意味着它是一种合理有效的度量方法，近年来的理论研究和实践结果表明，它存在以下缺陷：其一，ＶａＲ不满足次可加性，这就意味着用ＶａＲ来度量风险，证券组合的风险不一定小于各证券风险之组合，这与风险分散化的市场现象相违背，从经济意义上
基金项目：国家自然科学基金项目（７００７１０１２）；广西科学研究与技术开发资助项目（０３８５００８）
度量方法
讲不合理。其二，ＶａＲ满足凸性，故在基
于ＶａＲ对投资组合进行优化时，可能存在多个局部极值，对整体优化，在数学上难以实现，这是将ＶａＲ模型用于投资组合研究时的主要障碍。其三，ＶａＲ只依赖于单一的损失函数的分位数，虽能以较大概率保证损失不超过之，但不能表明损失一旦超过ＶａＲ这种极端情况发生时的潜在损失的大小（尤其是在肥尾时），并且容易通过特定的、狡诈的交易策略操纵和篡改ＶａＲ值。
三、一致性风险度量
为了和风险的经济意义相吻合，也为了弥补ＶａＲ的缺陷，Ａｒｔｚｎｅｒ等人在１９９９年提出了一个合理的风险度量应
—一致性风险度量的概具备的条件——
念。设ρ是定义在收益变量集Ω上的函
：Ω数，即ρ→ｉ，若其满足：
１．平移不变性：ρ（Ｘ＋ｃ）＝ρ（Ｘ）－ｃ"ｃ∈ｉ，"Ｘ∈Ω；
２．正齐次性：ρ（ｃＸ）＝ｃρ（Ｘ）"ｃ≥０∈ｉ，"∈Ω；
３．次可加性：ρ（Ｘ＋Ｙ）≤ρ（Ｘ）＋ρ（Ｙ）"Ｘ，Ｙ，Ｘ＋Ｙ＝Ω；
４．单调性：ρ（Ｘ）≤ρ（Ｙ）"Ｘ，Ｙ∈Ω，
为一致性风险度量。Ｙ≤Ｘ。则称ρ
一致性一经提出，就得到了普遍认可，并成为评价风险度量好坏的基本标准。其原因如下：一致性风险度量引进了次可加性的要求，与现实中利用对冲或分散化投资以降低风险的现象相符，且其它几条也符合市场风险的含义，因此满足一致性的风险度量是一个好的度量。
ＶａＲ因缺少次可加性而不是一致性风险度量。作为对ＶａＲ的改进，有些学者提出了其它的风险度量，如：ＣＶａＲ，ＥＳ，ＴＣＥ，ＷＣＥ，Ｍ#等，其中ＥＳ，ＣＶａＲ，Ｍ$满足一致性，而且在收益分布为连续型分布时，其余的也满足一致性。下面对它们一一介绍，并讨论它们的性质和关系。
四、ＣＶａＲ与ＥＳ１．定义
一般分布下的条件风险价值ＣＶａＲ（ＣｏｎｄｉｔｉｏｎａｌＶａｌｕｅａｔＲｉｓｋ）的定义。设Ｘ为收益，则－Ｘ为损失。Ｘ的α置信水平下的ＣＶａＲ的定义为
其中Ｆβ，（ｘ）＝ｍａｘO［Ｐ（－Ｘ≤ｘ）－β］／１－β
，一般α０］T，β＝１－α≤０．１。记ＸαT，Ｘα＝ｉｎｆOｘ｜Ｐ（Ｘ≤ｘ）≥α＝ｉｎｆOｘ｜Ｐ
（１－α）
尾部期望短缺ＥＳ＝－（－Ｘ）。（Ｘ≤ｘ）＞αT，Ｘα
（ＥｘｐｅｃｔｅｄＳｈｏｒｔｆａｌｌ）定义为：ＥＳα（Ｘ）＝－
ｋα
■刘小茂田立
一满足
ｋ＝１
≤*Ｐ*Ｐ＜α
ｋ
ｋ＝１
ｋα＋１
ｋ
的正整数，则
ｋα
ｋα＋１
ＶａＲα（Ｘ）＝－ｚｋ，ＥＳα（Ｘ）＝－［*Ｐｋｚｋ＋（*
α
ｋ＝１ｋ＝１
（
)Ｘｄｕ）／α。
α０
ｕ
Ｐｋ－α）ｚｋ］／α
α
ＣＶａＲ与ＥＳ完全等价。令１（Ｘ≤Ｘ）代
α
表示性函数，即有
ＣＶａＲα（Ｘ）＝ＥＳα（Ｘ）＝－O［α－Ｐ（Ｘ≤Ｘα）］
＋Ｅ［Ｘ１（Ｘ≤Ｘ）］T／αＸα
α
（２）样本模型下的计算方法
当Ｘ的收益有ｎ个独立的样本Ｘ１
…，Ｘｎ时，将其排序后的顺序统计量记为Ｘ１：ｎ≤…≤Ｘｎ：ｎ，并令［ｎα］＝ｍａｘOｍ｜ｍ≤ｎα，ｍ∈ＮT，则ＥＳα（Ｘ）可用ＥＳα（Ｘ）＝－（*
ｉ＝１
ｎ
［ｎａ］
２．性质
ＥＳ的最大优点是保留了ＶａＲ的优点，弥补了它的缺陷。ＥＳ除了满足一致
性的四条公理，从而是一致性风险度量外，还有其它独特的性质，具体如下。
（１）ＥＳ是置信度α的单调非增连续函数。单调性指
对"α∈（０，１），"ε＞０，且α＋ε＜１有ＥＳα（Ｘ）≤ＥＳα（Ｘ）。＋ε
（２）若Ｘ，Ｙ二阶随机占优，即对任意一个凹的单调非降函数φ，满足Ｅ［φ（Ｘ）］
特别地，当≤Ｅ［φ（Ｙ）］，则ＥＳα（Ｘ）≤ＥＳα（Ｙ）。
Ｘ，Ｙ一阶随机占优时，也有ＥＳα（Ｘ）≥ＥＳα（Ｙ）。
（３）\法则不变性："Ｘ，Ｙ∈Ω，"ｃ∈ｉ，若Ｐ（Ｘ≤ｃ）＝Ｐ（Ｙ≤ｃ）则有ＥＳα（Ｘ）＝ＥＳα（Ｙ）。
（４）\同单调可加性：对于任意非降函数ｆ，ｇ，"Ｘ∈Ω，若ｆｏＸ，ｇｏＸ∈Ω则
ＥＳα（ｆｏＸ＋ｇｏＸ）＝ＥＳα（ｆｏＸ）＋ＥＳα（ｇｏＸ）。（５）Ｅ（Ｘ）＝αＥＳα（Ｘ）－（１－α）ＥＳα（ｇｏＸ）。
。若Ｘ非（６）ＥＳα（Ｘ）≥ＶａＲα（Ｘ）＝－Ｘα
负，则还有
ｎ
（Ｘｎ）ＥＳα
［Ｅ（Ｘ）－α］→ＶａＲα（Ｘ）。
（注：文中所有带\号的性质都是作
１
Ｘｉ：ｎ）／［ｎα］）来估计，并且当ｎ→∞时，有ＥＳ
ｎ
（Ｘ）。且若Ｘ可积，则上式也依α（Ｘ）→ＥＳα
Ｌ１收敛。
（３）功能函数法
构造功能函数Ｆα（Ｘ，ξ）＝ξ＋Ｅ［（－Ｘ－ξ）＋］。可证得：Ｆα的／α（Ｘ，ξ）是关于辅助变量ξ凸函数，并且有ＥＳα（Ｘ）＝ｍｉｎＦα（Ｘ，ξ），使Ｆα
ξ
ａ．ｓ
（Ｘ，ξ）达到最小值的自变量集是一区间，该区间的左端点恰为ＶａＲα（Ｘ）。
（４）ＧＡＲＣＨ模型法
假设日收益率Ｘｔ的分布参数包括波动方差随时间变化，可以用ＧＡＲＣＨ模型来描述。对Ｘｔ的分布作不同的假设，ＥＳ便有不同的计算公式。当设Ｘｔ为
正态分布时，有
ＥＳα（Ｘ）＝Ｅ［－Ｘ｜－Ｘ＞ＶａＲα（Ｘ）］＝［ｅｘｐ（－ｚ２
（α）／２）σｔ］／（α+）其中ｚ（α）为标准正态分布的α的
下侧分位数。
当设Ｘｔ为广义误差分布ＧＥＤ分布时，有
ｔ
ＥＳα（Ｘ）＝Ｅ［－Ｘ｜－Ｘ＞ＶａＲα（Ｘ）］＝－１・ｅｘｐ（－｜（ｘ／σ｜／２）ｄｘｔ）／λｘｖ
１＋ｖ－∞
・（ｖ－１）λ２Γ
这里ｖ是ＧＥＤ的形状参数，λ＝
ｖ
ｔ
者自己推出的结论，证明较简，从略。）
３．计算方法
ＥＳ的主要计算方法介绍如下。（１）离散模型下的计算方法
考虑投资组合的ＥＳ风险的计算。当标的资产收益服从只取有限个值的离散分布时，任一投资组合的收益Ｘ也就只可能取有限个点，设其概率分布为Ｐ（Ｘ＝
,
ＶａＲα（Ｘ）
ｔ
，Γ（ｇ）为ｇａｍｍａ+ＣＶａＲα（Ｘ）＝ＣＶαＲβ（－Ｘ）＝
’ｘｄＦ（ｘ）
＋∞－∞
β
ｚｋ）＝ｐｋ，ｋ＝１，２，ｌ，ｎ，显然*ｐｋ＝１。记ｋα为唯
ｋ＝１
ｎ
函数。上式可用软件求出数值解，不必求
出具体的解析式。
（注：原文实际计算的是零均值正态分布下和零均值ＧＥＤ分布下的ＥＳ，而且是在过去所有信息已知的条件下的条件ＥＳ。）
（５）极值法
利用前面计算ＶａＲ时的极值法先计算ＶａＲα，再用ＥＳα＝ＶａＲα（１－ξ）－（σ－ξｕ）／（１－ξ）计算ＥＳ，式中的参数也与前面完全相同。
４．ＥＳ的优缺点
ＥＳα考虑的不是收益分布的α分位数，而是损失超过ＶａＲ时的条件平均损失，给出了损失一旦超过ＶａＲ时可能遭受的平均损失，故更接近投资者的心理感受；ＥＳ可以通过构造功能函数Ｆα（Ｘ，ξ）计算，从而把问题转化为凸规划问题，若通过样本求解，还可进一步化为线性规划问题，这样使得计算简便易行；在得到ＣＶａＲ的同时也算出了ＶａＲ，因此可对风险实施“双监”。但计算ＥＳ时采用了单一的风险权重，而现实中，人们对不同风险水平的态度不同，故应根据人们对风险的态度构造主观风险权重，这就导致了谱风险测度的提出。五、ＴＣＥ和ＷＣＥ
尾部条件期望ＴＣＥ（ＴａｉｌＣｏｎｄｉｔｉｏｎａｌＥｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ）和最坏条件期望ＷＣＥ（ＷｏｒｓｔＣｏｎｄｉｔｉｏｎａｌＥｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ）是与ＥＳ相似但又不同的概念。它们的定义如下。
示性函数，由%（ｐ）＝１（０＜ｐ≤α）／α知%是可容
许谱，因而ＥＳ是一致性风险度量。
事实上，ＥＳ是构造谱风险测度的基础：当
在离散情形下，Ｘｉ、%ｉ记号同上。令%ｉ＝%ｉ＋１－%ｉ，ｉ＝１，．．．，ｎ－１，Δ%ｎ＝－%ｎ，构造功Δ能函数Ｆ%＝
ｎ
$
０
１
αｄμ（α）且%（ｐ）＝
１
１
０
ｐ
０
$
ｐ
１
ｄμ（α）时，有
ｉ＝１
－(（ξ－Ｘ）］－%(%［ｊξ(Δ
ｊ
ｊ
ｊ
ｉ＋
ｉ＝１
ｎ
ｉ＝１ｎ
ｎ－１ｎｎ
Ｍ%（Ｘ）＝－
$Ｘ%（ｐ）ｄｐ＝$ＥＳ（Ｘ）αｄμ（α），
α
则Ｍ%（Ｘ）Ｘｉ，其中ξ＝（ξ１，．．．，ξｎ）为辅助变量。
其中ｄμ（α）是［０，１］上的测度。
因一致性是对风险度量的基本要求，故如果不加以特别说明，下面都是指可容许风险谱和一致性谱风险测度。
谱风险测度的经济意义。谱风险测度的定义Ｍ%（Ｘ）＝－
）为Ｍ%（Ｘ）的估计，而对应最＝ｍｉｎＦ%（Ｘ，ξ
，（ξ１．．．，ξｎ）
ｎ
$Ｘ%（ｐ）ｄｐ暗示了风险
０
ｐ
１
对收益左尾不同的ｐ置信水平下的“截
面”Ｘｐ取不同的权重%（ｐ），故%（ｐ）可认为是一个反映投资者主观风险厌恶的权重函数，并且这个主观风险厌恶函数与一致性风险度量之间存在对应关系，它的非增性说明了投资者对坏的情形赋予较大的权重，而这正好跟一般投资者是风险回避者的事实相吻合，也跟一致性的直观描述相吻合。２．性质
优点处自变量的集合构成一个区间，每个区间的左端点即为对应一系列的－ＶａＲ的估计。
４．谱风险测度Ｍ%（Ｘ）的优缺点
一般情形下，谱风险测度Ｍ%（Ｘ）是一致的，故一致性的四条公理它都满足，同时它采用了主观风险函数，对坏的事件赋予较大的权重，这与人们避险的事实相符。可直接计算，也可构造功能函数化为一个线性规划问题对其进行计算，后者在计算时可得到一系列的ξｉ，即一系列的－ＶａＲ。但是，实际计算的难度很大：首先谱密度的离散化比较麻烦，如需要相当多的历史数据来估计%ｉ＝%（ｉ／ｎ）／
(
ｋ＝１
ｎ
%（ｋ／ｎ）。其次，当ｎ较大时，会导致维数
过高，因此即使转化成线性规划问题，计算起来也相当困难。七、小结
方差作为一种经典的金融风险度量，虽然应用比较方便，但是因把收益高于均值部分也计入了风险，与事实不符。ＶａＲ把风险概括为一个分位数，简明易懂，但是没有考虑损失超过ＶａＲ的情形，且由于不满足次可加性，与现实中通过投资分散化以降低风险的事实严重不符。为了弥补这一缺陷，Ａｒｔｚｒｅｒ提出了一致性风险度量的概念和一致性风险度量应该满足的几条公理。此后，对一致性风险度量的研究持续不断。ＣＶａＲ（ＥＳ）就是一种典型的一致性风险度量，同时它也是对ＶａＲ的补充和完善———既保留了ＶａＲ的优点，又弥补了ＶａＲ的缺点。而且ＥＳ的计算和相应的优化组合问题可以转化为凸规划问题，获取样本后，还可以进一步化为容易求解的线性规划问题。ＴＣＥ和ＷＣＥ是与ＥＳ十分相近的两个概念，但是ＴＣＥ不是一致性风险度量，只有当收益服从连续分布时候才与ＥＳ相等，ＷＣＥ只是理论上的探讨，并没有太大的实际用处。由Ａｃｅｒｂｉ提出的谱风险测度是对ＥＳ的推广，它引入了能反映人对风险的主观看法的主观风险函数，并把一大类一致性风险度量归结为一种形式，其弱点是计算困难。
（作者单位／华中科技大学数学系）
（责任编辑／亦民）
由Ｍ%（Ｘ）＝ＥＳαＴＣＥα（Ｘ）＝－Ｅ［Ｘ｜Ｘ≤Ｘα］，ＴＣＥα（Ｘ）＝－Ｅ［Ｘ｜（Ｘ）αｄμ（α）知：谱风险
０
］Ｅ≤Ｘα
测度除了具有一致性风险度量的四条基
ＷＣＥα＝－ｉｎｆE［Ｅ［Ｘ｜Ａ］：Ｐ（Ａ）＞α，Ａ∈ρ］K（ρ本性质外，还有与ＥＳ（Ｘ）类似的其它性
α是事件集）
ＴＣＥ不是一致性风险度量，ＷＣＥ是一致性风险度量，但因ＷＣＥ还和标的资产的内在概率结构有关，它的计算相当复杂，也没有较好的性质，故只是理论探讨，并不实用。
事实上我们可以证明ＴＣＥα（Ｘ）＝ＴＣＥα（Ｘ）。证明略六、谱风险测度
２００２年，Ａｃｅｒｂｉ对ＥＳ进行了推广，提出了谱风险测度（ＳｐｅｃｔｒａｌＲｉｓｋＭｅａｓｕｒｅ）的概念，并证明了它是一致性风险度量。他利用谱风险把一致性风险度量统一起来。现在关于谱风险测度的研究还非常少。
１．定义谱风险测度定义为：Ｍ%（Ｘ）＝－
质，以下性质均为作者根据谱风险测度的定义推出并加以证明的。证明较简，从略。
（１）同单调可加性：对于任意非降函数ｆ，ｇ，%Ｘ∈Ω，若ｆｏＸ，ｇｏＸ∈Ω，则有Ｍ%（ｆｏＸ＋ｇｏＸ）＝Ｍ%（ｆｏＸ）＋Ｍ%（ｇｏＸ）。
（２）法则不变性：%Ｘ，Ｙ∈Ω，%ｃ∈ｉ若Ｐ（Ｘ≤ｃ）＝Ｐ（Ｙ≤ｃ），则Ｍ%（Ｘ）＝Ｍ%（Ｙ）。
（３）若Ｘ，Ｙ二阶随机占优，即对任意一个凹的单调非降函数φ，满足Ｅ［φ（Ｘ）］≤Ｅ［φ（Ｙ）］，则Ｍ%（Ｘ）≥Ｍ%（Ｙ），特别地当Ｘ，Ｙ一阶随机占优时，也有Ｍ%（Ｘ）≥Ｍ%（Ｙ）。
３．计算方法
对于Ｍ%（Ｘ）的计算方法现在讨论的也不多，下面主要介绍两种。（１）样本模型下的计算方法
对Ｍ%（Ｘ）可用基于Ｘ的样本Ｘ１，．．．，Ｘｎ
$
１
#Ｘ%
０
ｐ
１
（ｐ）ｄｐ，%∈Ｌ１［０，１］称为主观风险厌恶函ｎ
对于一个给定的可容许谱数。当%满足非负性、非增性和Ｌ１下的的Ｍ%来估计。
模｜｜%｜｜＝１时，%称为可容许谱。陈学华、的%（ｐ），设ｓｕｐ%（ｐ）＜∞。令%ｉ＝%（ｉ／ｎ）／
ｐ∈［０，１］
杨辉耀（２００４）还证明了Ｍ%（Ｘ）为一致性ｎ风险度量当且仅当%为可容许谱。%（ｋ／ｎ），ｉ＝１，．．．ｎ。显然%ｉ满足：%ｉ＞０，
ｋ＝１
谱风险测度与ＶａＲ和ＥＳ的关系。ｎＶａＲα（Ｘ）＝－Ｘα＝Ｍ%（Ｘ），其中%（ｐ）＝δ（ｐ－α），δ%ｉ≥%ｊ，%ｉ＜ｊ，%ｉ＝１。定义Ｍ%（Ｘ）的估计
ｉ＝１表示δ函数。由于δ函数不满足可容许
ｎ
ｎ谱的性质，因此ＶａＲ不是一致性风险度
为Ｍ%（Ｘ）＝－Ｘｉ：ｎ%ｉ
１
(
(
量。ＥＳα（Ｘ）＝
$
０
(
ｉ＝１
１（０＜ｐ≤αｄｐ，其中１（０＜ｐ≤α）／α）是
（２）功能函数法