二次根式知识点

二次根式的知识点汇总

知识点一： 二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以

等是二次根式，而

知识点二：取值范围

，是

为二次根式的前提条件，如等都不是二次根式。

，

，

1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是

二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，

义。

没有意

知识点三：二次根式（）的非负性

（0（

）表示a的算术平方根，也就是说，）。

（）是一个非负数，即

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的

）的算术平方根是非负数，即

0（

），这

算术平方根是0，所以非负数（

个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若则a=0,b=0。

，则a=0,b=0；若

，则a=0,b=0；若

，

知识点四：二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（

）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公

式也可以反过来应用：若知识点五：二次根式的性质

，则，如：，.

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于

；若a是负数，则等于a的相反数-a,即

；

a本身，即

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点

1、不同点：

方，而

与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平

中

，而，

中a可以。因而

表示一个实数a的平方的算术平方根；在

与

都是非负数，即

是正实数，0，负实数。但

它的运算的结果是有差别的， ，而

2、相同点：当被开方数都是非负数，即

而

.

时，=；时，无意义，

二次根式测试题（一）

1． 下列式子一定是二次根式的是（ ）

A．x2 B．x C．x2 D．x2

2

2．若(3b)3b，则（ ）

22

A．b>3 B．b

x

4．若x

的结果是（ ）

A．0 B．—2 C．0或—2 D．2 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）

A． B．48 C．

a

b

D．4a4 6．如果xx6x(x6)，那么（ ）

A．x≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x为一切实数

7．小明的作业本上有以下四题：①a4

4a2

；②5aa52a；③a

1aa21

a

a；④a2aa。做错的题是（ ） A．① B．② C．③ D．④

8．化简

1516

的结果为（ ）A．330

30 B． C．30 D9．若最简二次根式a42a的被开方数相同，则a的值为（ ）

A．a34 B．a4

3

C．a=1 D．a= —1

10．化简2(22)得（ ）A．—2 B．22 C．2 D．11．①(0.3)2

；②(2)2



12．二次根式

1x3

有意义的条件是 。

13．若m

14．x1x1x21成立的条件是。

15．比较大小：

。

16．2xyy ，27 。

17．计算a3a

aa

18．

12

2的关系是 。

19．若x

3，则x26x5的值为

20．化简451的结果是。 3

21．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）3x4 （2）138a （3）m24 （4）1

x

．422

22．化简：

（1）(144)(169) （2）

23．计算：

11

225 （3）5 （4）m2n 32

23324

 （2） （3）（1）73(945)

142534

22

33113（4）7 （5）454542 （6）62 32822

24．若x，y是实数，且y

x1x

|1y|1

，求的值。 2y1

二次根式测试题（二）

1．下列说法正确的是（ ）

A．若aa，则a

m

13

24824

2(m3)的值是（ ）

A．32 B．23 C．22 D．0 3．化简|xy|x2(xy0)的结果是（ ）

A．y2x B．y C．2xy D．y 4．若

a

是二次根式，则a，b应满足的条件是（ ） b

a

0 b

A．a，b均为非负数 B．a，b同号 C．a≥0，b>0 D．5．已知a

A．aab B．aab C．aab D．aab

1

根号外的因式移到根号内，得（ ） m

A．m B．m C．m D．m

6．把m

7．下列各式中，一定能成立的是（ ）

A．(2.5)2(2.5)2 B．a2(a)2 C．

x22x1x-1 D．

x29

x3

x3

8．若x+y=0，则下列各式不成立的是（ ）

222

A．xy0 B．xy0 C．x

y20 D．xy0

9．当x3时，二次根m2x25x7式的值为，则m等于（ ）

2 C． D． 25

10．已知x22xx10，则x等于（ ）

A．2 B．

x

2

A．4 B．±2 C．2 D．±4 11．若x5不是二次根式，则x的取值范围是 12．已知a

15．若一个正方体的长为2cm，宽为cm，高为2cm，则它的体积为 cm 16．若yx33x4，则xy

17．若3的整数部分是a，小数部分是b，则3ab 18．若m(m3)19．若x

2

,

3

mm3，则m的取值范围是

133

x1,则y 2431y

222

20．已知a，b，c为三角形的三边，则(abc)(bca)(bca)

21

221

4

1

22(5486274) 232

(6

x1

2x)3x 4x

24(21)1(2)2 25

26已知：x

27已知：y8xx1

28.阅读下面问题：

21

27(31)0

231

2

，求xx1的值。

1xy,求代数式22yxxy

2的值。

yx

112



1(21)(21)(21)2;

21； 12



52

2

12

(2)(2)111试求：⑴的值；⑵的值；⑶（n为正整数）的值。 n1n7632

32(32)(3)

二次根式（一）

1．C 2．D 3．B 4．D 5．A 6．B 7．D 8．C 9．C 10．A 11．①0.3 ②52 12．x≥0且x≠9 13．—m 14．x≥1 15．

3

21．（1）x

41 （2）a （3）全体实数 （4）x0 324

3

22．解：（1）原式=1691213156；（2）原式=1155； （3）原式=

1122

32253216；（4）原式=3m2n3m2n。 22

23．解：（1）原式=49×321；（2）原式=1241；

142525（3）原式=215(27)27；

3

4

3

（4）原式=

2894



7227

42

2

；

（5）原式=4532242822；（6）原式=6636656。

22

1

24．解：∵x—1≥0, 1—x≥0,∴x=1，∴y

2y1y1

二次根式（二）

1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 6．C 7．A 8．D 9．B 10．C 11．x

2

22．解：原式=(54634)3(24)24；

23．解：原式=(3x2x)3x1；

3

322214224．解：原式1

21

14

14

34

25．解：原式=31314； 26．解: x

2(1)

(1)(31)

31,

原式(31)2(31)142311633

27．解：18x0,8x10,18x8x10x原式=

11

821128

11

821128

1

424

1

24

1

，∴y1。∴ 82

25

4

4

953

1422

28．解：登山者看到的原水平线的距离为d18

88

5

5

n2n，现在的水平线的距离为d28 55

d1

d2

22

29 ⑴

176

= ⑵

132=32 ⑶

1n1n

=n1n