凹多边形的几点思考
学习四边形这节时，老师详细地介绍了凸四边形，并提及另一种多边形——凹多边形。这种几何图形深深得吸引了我，于是我利用课余时间，做了一些探索和总结，发现许多有关凸四边形的定理和命题，在凹四边形上也同样适用：
一、顺次连接凹四边形的各边中点，得到的图形是平行四边形。 （凸四边形的各边中点顺次连接，得到的图形是平行四边形。）
已知：如图1—1：四边形ADCB 是任意凹四边形，点E ，F ，G ，H 分别是是AB,BC,CD,DA 的中点，连接EF,FG,GH,HE. 求证：四边形EHGF 是平行四边形。 证明：如图，连接AC ．
∵点E ，F ，G ，H 分别是是AB,BC,CD,DA 的中点 ∴EF ，HG 分别是△ABC 与△ACD 的中位线 ∴EF // HG
∴四边形EFGH 是平行四边形。
二、凹四边形的内角和为360°(凸四边形的内角和为360°) 。
图1-1
已知：如图2—11：四边形ACBD 是任意凹四边形。 求证: ∠A ＋∠ABC ＋∠C+∠1=360°
证明：如图, 连接BD.
∵∠A ＋∠ABD+∠ADB=180°, ∠C ＋∠CBD+∠CDB=180° ∴∠A ＋∠ABD+∠ADB +∠C ＋∠CBD+∠CDB =360°
B
即: ∠A ＋∠ABC ＋∠C+∠1=360°
图2-11
另一种证明方法如下：如图2-12连接AC ∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠1=∠DAB+∠ABC+∠BCD+
(360°-∠ADC) =∠DAB+∠ABC+∠BCD+(180°-∠ADC)+ 180° =(∠DAB+∠DAC)+∠ABC+(∠BCD+∠DCA)+ 180° =∠CAB+∠ABC+∠BCA+ 180°=180°+180°=360° 综上所述: 凹四边形的内角和为360°.
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B
图2-12
三、凹四边形的外角和为360°(凸四边形的外角和为360°) ∵四边形的内外角之和为180°
∴凹四边形的外角=4×180°-360°=360°
经过更加深入的探究，我还发现：凹多边形和凸多边形之间也有许多的相似之处，并且有较多的证明方法： 一、凹n 边形的对角线数为
n (n -3)
n (n -3)
(凸n 边形的对角线数为 ) 2
180⋅n -2180⋅(n -2)) n n ()二、凹边形内角和为 (凸边形的内角和为
由上述探讨可知当n =4时, 该结论成立. 现以凹五边形为例探究. （1）分割法
已知:如图3—11，五边形ABCDE 是任意凹五边形. 求证: ∠A ＋∠B ＋∠C+∠D +∠1=540°
证明：过点E 作EF ⊥BC, 垂足为点F 。连接AF ，DF 。 ∵∠FAB ＋∠ABF ＋∠BFA=180°, ∠FAE ＋∠AEF ＋ ∠EFA=180°, ∠DEF ＋∠EFD ＋∠FDE=180°, ∠DCF ＋∠CFD ＋∠FDC=180° ∴∠EAB ＋∠B ＋∠C+∠CDE +∠1
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图3-11
=(∠FAB ＋∠FAE)+∠B ＋∠C+(∠FDC+∠FDE)+( ∠AEF+∠DEF) = 360°-∠EFB +360°-∠EFC 又∵∠EFB+∠EFC=∠BFC ＝180°
∴∠EAB ＋∠B ＋∠C+∠CDE +∠1=720°-180°=540°=180°×(5-2) 由此证明可知. 点F 亦可以为边BC 上的任意点. 即所求证的命题正确。 （2）轴对称法
证明：如图3-12, 过点A ，D 作直线L, 以直线L 为对称轴，作点E 的对称点H. 连接AH,DH. 分别延长AE,DE 交BC 于点F,G.
∵∠H ＝∠AED （轴对称的性质） ∠FEG ＝∠AED ∴∠H ＝∠FEG
又∵∠1＝∠2＝∠3＋∠5＝∠4＋∠6 ∴∠EAB ＋∠B ＋∠C+∠CDE +∠1+∠2+∠FEG
=∠EAB ＋∠B ＋∠C+(∠3＋∠5)+∠CDE +(∠4＋∠6)+∠H =∠HAB ＋∠B ＋∠C+∠CDH+∠H=540°=180°×(5-2) 即所求证的命题正确。
图3-12
*注：若点A ，B ，H 共线，如图3-22. 上述证明过程仍然成立.
由此可推导得, 凹n 边形内角和=180
⋅(n -2)
综上所述, 该结论成立.
图3-22
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三、凹多边形外角和为360° (凸多边形的外角和为360°) ∵任意多边形的内外角之和为180° ∴凹多边形的外角=n ⋅180
-(n -2)⋅180 =2⨯180 =360
数学世界的领域，我们要去无限的探索，始终事实将会被我们所揭开。我相信，在更加全面、深入的探究下，会发现更多凹多边形的奥秘。
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