二项式定理典型例题解析(二)

二项式定理典型例题解析

1.求（1+2x）9的展开式中所有无理项的系数之和.

r

rr2解：∵Tr+1=C9·2·x（0≤r≤9），

依题意r=1，3，5，7，9.

35577993∴所有无理项的系数之和S=2C1

9+2·C9+2C9+2C9+2C9.

设展开式中所有有理项的系数之和

0746T=C9+22C9+24C9+26C9+28C8

9，

则在（1+2x）9中，令x=1和x=－1分别为S+T=39，S－T=1， 1（39+1）. 2

2.证明下列各式: ∴S=

n1nn21n（1）1+2C1·Cn

n+2·Cn=3； n+4Cn+…+2－

2221nn（2）（C0

n）+（Cn）+…+（Cn）=C2n；

n123n（3）C1. n+2Cn+3Cn+…+nCn=n·2－

nn1n1n11证明：（1）在（a+b）n=C0·b+…+Cn+Cn

n·abn·a+Cn·an·b中，令a=1，－－

b=2得

2n2n（1+2）n=1+C1

n·2+Cn·2+…+Cn·2，

nn2n即1+2C1

n+4Cn+…+2·Cn=3.

（2）∵（1+x）n·（1+x）n=（1+x）2n，

rnrn1rn1rn∴（C0·（C0

n+Cn·x+…+Cn·x+…+Cn·x）n+Cn·x+…+Cn·x+…+Cn·x）= （1+x）2n.

2nn而Cn

2n是（1+x）的展开式中x项的系数，由多项式的恒等定理，得 n1n12n20nC0+…+Cn

n·Cn+Cn·Cn+Cn·Cnn·Cn=C2n.

nm又∵Cm（0≤m≤n）， n=Cn

2221nn∴（C0

n）+（Cn）+…+（Cn）=C2n.

2n（3）证法一：令S=C1

n+2Cn+…+nCn，①

n121则S=nCn

n+（n－1）Cn+…+2Cn+Cn

1n1n1=nC0

n+（n－1）Cn+…+2Cn+Cn. ②

1n1n由①+②得2S=nC0

n+nCn+…+nCn+nCn

n1n=n（C0

n+Cn+…+Cn）=n·2.

n12n∴S=n·2n1，即C1. n+2Cn+…+nCn=n·2－－

证法二：∵kCk

n=k·(n1)!n1=n=nCk

n1， k!(nk)!(k1)!(nk)!

－12n01n11n1∴C1（C0=n·2n

n1+Cn1+…+Cn1）n+2Cn+…+nCn=nCn1+nCn1+…+nCn1=n得证.