第二十六章 二次函数
【知识梳理】
1. 定义：一般地，如果y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ，那么y 叫做x 的二次函数. 2. 二次函数y =ax 2+bx +c 用配方法可化成：y =a (x -h )+k 的形式，其中
2
b 4ac -b 2
h =-，k =.
2a 4a
3. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a 的符号决定抛物线的开口方向：当a >0时，开口向上；当a
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y 轴（或重合）的直线记作x =h . 特别地，y 轴记作直线x =0.
4. 顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 5. 求抛物线的顶点、对称轴的方法
2
b 4ac -b ⎛⎫
y =ax 2+bx +c =a x +⎪+
2a ⎭4a ⎝
2
（1）公式法：，∴顶点是
·2·
b b 4ac -b 2
（-），对称轴是直线x =-.
2a 2a 4a
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x -h )+k 的形式，得
2
到顶点为(h , k ) ，对称轴是直线x =h .
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 6. 抛物线y =ax 2+bx +c 中，a , b , c 的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 2中的a 完全一样.
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线
x =-
b b
，故：①b =0时，对称轴为y 轴；②>0（即a 、b 同号）时，对称轴在2a a
b
y 轴左侧；③
a
（3）c 的大小决定抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴交点的位置.
2
当x =0时，y =c ，∴抛物线y =ax +bx +c 与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：
①c =0，抛物线经过原点; ②c >0, 与y 轴交于正半轴；③c
轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 7. 用待定系数法求二次函数的解析式
2
（1）一般式：y =ax +bx +c . 已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.
b
（2）顶点式：y =a (x -h )+k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
2
（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2). 12. 直线与抛物线的交点
2
（1）y 轴与抛物线y =ax +bx +c 得交点为(0, c ).
（2）与y 轴平行的直线x =h 与抛物线y =ax 2+bx +c 有且只有一个交点
(h , ah +bh +c ).
（3）抛物线与x 轴的交点
二次函数y =ax 2+bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二次方程ax +bx +c =0的两个实数根. 抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点⇔∆>0⇔抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔∆=0⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔∆
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点. 当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax +bx +c =k 的两个实数根.
（5）一次函数y =kx +n (k ≠0)的图像l 与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图像G 的
2
2
2
交点，由方程组
kx +n =ax +bx +c
2
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G
有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.
（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax +bx +c 与x 轴两交点为
2
A (x 1，0)，B (x 2，0)，由于x 1、x 2是方程ax 2+bx +c =0的两个根，故
b c x 1+x 2=-, x 1⋅x 2=
a a
AB =x 1-x 2=【能力训练】
x 1-x 22
=
x 1-x 22
b 2-4ac ∆⎛b ⎫4c
-4x 1x 2= -⎪-==
a a a a ⎝⎭
2
1．二次函数y=－x 2＋6x －5，当x 时， y 2 B．m -1 C．-1
2
·4·
A ．x =2 B ．x =－2 C ．x =－1 D ．x =1
4． 二次函数y=x2+2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．－3和5 D ．3和－5 5．抛物线y=x2－x 的顶点坐标是（ ）
11111
A. (1, 1) B . C (, ) D (- ) . (,
22424
)
2
6．二次函数y =ax +bx +c 的图象，如图1－2－40所示，根据图象可得a 、b 、c 与0的大小
关系是（ ）
A ．a ＞0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＞0，b ＞0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＜0
7．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一
跳，函数h=3．5 t－4．9 t2(t的单位s ；h 中的单位：m ）可以描述他跳跃时 重心高度的变化．如图，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ） A ．0．71s B ．0.70s C ．0.63s D ．0．36s
8．已知抛物线的解析式为y=－（x —2）2＋l ，则抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（－2，1）B ．（2，l ）C ．（2，－1）D ．（1，2）
9．若二次函数y=x2－x 与y=－x 2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ） A ．这两个函数图象有相同的对称轴 B ．这两个函数图象的开口方向相反 C ．方程－x 2+k=0没有实数根 1 D ．二次函数y=－x 2＋k 的最大值为
2
10．抛物线y=x2 +2x－3与x 轴的交点的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 11．抛物线y=（x —l ）2 +2的对称轴是（ ）
A ．直线x =－1 B ．直线x =1 C ．直线x =2 D ．直线x=2
2
12．已知二次函数y =ax +bx +c 的图象如图所示，则在“① a ＜0，②b
＞0，③c ＜ 0，④b 2－4ac ＞0”中，正确的判断是（ ） A 、①②③④ B 、④ C 、①②③ D 、①④
2
13．已知二次函数y =ax +bx +c (a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=－2时，x 的值只能取0．其中正确的个数是（ ） A ．l 个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
14．如图，抛物线的顶点P 的坐标是（1，－3），则此抛物线对应的二次函数有（）
A ．最大值1 B ．最小值－3 C ．最大值－3 D ．最小值1
2
15．用列表法画二次函数y =ax +bx +c 的图象时先列一个表，当表中对自变量x 的值以相等
间隔的值增加时，函数y 所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650．其中有一个值不正确，这个不正确的值是（ ） A ．506 B ．380 C ．274 D ．182
16．将二次函数y=x2－4x+ 6化为 y=(x—h) 2+k 的形式：y=___________ 17．把二次函数y=x2－4x+5化成y=(x—h) 2+k 的形式：y=___________ 18．若二次函数y=x2－4x+c的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c=__ _________________（只要求写一个）．
19．抛物线y=(x－1) 2+3的顶点坐标是____________．
20．二次函数y=x2－2x －3与x 轴两交点之间的距离为_________. 21. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A （－1,0）、B （3,0）、C （0,3）三点，
(1)求抛物线的解析式和顶点M 的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。 (2)若点（x 0,y 0）在抛物线上，且0≤x0≤4,试写出y 0的取值范围。
22．华联商场以每件30元购进一种商品，试销中发现每天的销售量y （件）与每件的销售价
x （元）满足一次函数y=162－3x ；
（1）写出商场每天的销售利润w （元）与每件的销售价x （元）的函数关系式；
（2）如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？
·6·
23．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系）． 根据图像提供的信息，解答下列问题： （1）求累积利润s （万元）与时间t （月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
24．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面
（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥
)
AB 的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD 的宽为10米，
280千米，（桥长忽略不计）货车以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶到1小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时0. 25米的速度持续上涨，（货车接到通
知时水位在CD 处），当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行；试问：汽车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米？
25. 已知直线y ＝－2x ＋b(b≠0) 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B; 一抛物线的解析式为y ＝x 2－(b＋10)x ＋c.
⑴若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线y ＝－2x ＋b 上，试确定这条抛物线的解析式； ⑵过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线y ＝－2x ＋b 的解析式.
26．已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下，与x 轴交于A(x1,0) 和B(x2,0) 两点，其中x l
(1)求m 的取值范围；
(2)若x 12+ x22=10，求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线；
27．如图，等腰梯形ABCD 的边BC 在x 轴上，点A 在y 轴的正方向上，A ( 0, 6 )，D ( 4，6) ，且AB=210 . （1）求点B 的坐标；
（2）求经过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；
1
（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P ，使得S △PBD =梯形ABCD 。若存在，请求出该
2点坐标，若不存在，请说明理由.
28．数学活动小组接受学校的一项任务：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为6０米的木栅栏围成一块生物园地，设计一个方案使生物园的面积尽可能大。
(1)活动小组提交如图的方案。设靠墙的一边长为 x 米，则不靠墙的一边长为(60－2x) 米，面积y= (60－2x) x米2．当x=15时，y 最大值 =450米2。
(2)机灵的小明想：如果改变生物园的形状，围成的面积会更大吗？请你帮小明设计两个方案，要求画出图形，算出面积大小；并找出面积最大的方案．
请
·8·
答案:
1．>5 2. D 21. (1) (1,4) (2) –5≤y 0≤4 22. (1) W= –3x 2+252x–4860 (2) W
最大
=432（元）
1
23. (1) S= t 2–2t (t >0) (2) 当S=30时，t=10 (3) 当T=8时，S=16
224. (1) y= –
12x 25
(2) 水位约4小时上涨到0, 按原速不能安全通过此桥. 若要通过需超过60千米/小时 25. (1) y=x2–4x –6 或 y=x2–10
(2) y= –2x –2 (提示，Rt △ABC 中，OB 2=OA·OC 7
26. (1) 1
31
27 (1) B(–2, 0) (2) y= – x 2+2x+6
2
(3) 由抛物线的对称性可知抛物线必过点C ，因此，P 点必定在直线BD 下方， P 1 (1+21 ，21 –3) P 2（1–21 ，–21 –3）
28．以围墙的一部分为一边，往外围成一个正多边形（五、六、„„）R 的一半，
1
如图S= ×103 ×（20+10×2＋20）=3003 ≈520米
2围成半圆面积最大，最大的面积为：573米2
2